Problem P. 5731. (April 2026)
P. 5731. If a very high-energy gamma photon collides with a stationary electron, pair production may occur, and in some cases more than one electron-positron pair can be created.
a) What is the minimum energy of the gamma photon if \(\displaystyle n\) electron-positron pairs are created in the process?
b) What is the least velocity of the particles created after pair production?
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. a) Relativisztikusan kell számolni. A gamma-foton energiája akkor minimális, ha a keletkező \(\displaystyle 2n+1\) részecske egy kupacban repül a párkeltést kiváltó foton eredeti mozgásának irányában. Írjuk fel az impulzus- és az energiamegmaradási egyenleteket:
\(\displaystyle p=(2n+1)p_\mathrm{e}\qquad\textrm{és}\qquad pc+mc^2=\sqrt{((2n+1)p_\mathrm{e}c)^2+((2n+1)mc^2)^2},\)
ahol \(\displaystyle p\) a gamma-foton impulzusa, \(\displaystyle m\) az elektron vagy a pozitron tömege, \(\displaystyle p_\mathrm{e}\) pedig ezeknek az együtt mozgó részecskéknek az impulzusa. Az impulzusegyenletet felhasználva, továbbá az energiaegyenletet négyzetre emelve ezt kapjuk:
\(\displaystyle (pc+mc^2)^2=(pc)^2+\left((2n+1)mc^2\right)^2,\)
amiből
\(\displaystyle pc=hf=2n(n+1)mc^2.\)
A párkeltést kiváltó gamma-foton minimális energiája ennek megfelelően egyetlen elektron-pozitron pár esetén \(\displaystyle 4mc^2\), két pár esetén \(\displaystyle 12mc^2\), három pár esetén \(\displaystyle 24mc^2\) és így tovább. Láthatjuk, hogy a minimálisan szükséges energia a párok számával erősen növekszik. A foton energiája egyenesen arányos az impulzusával, és így a nagyobb energiához nagyobb impulzus is tartozik, amit a keletkező kupacnak kell elvinni.
b) A \(\displaystyle 2n+1\) részecskéből álló kupac sebessége így kapható meg:
\(\displaystyle hf+mc^2=pc+mc^2=2n(n+1)mc^2+mc^2=\frac{(2n+1)mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\)
amiből
\(\displaystyle v=\frac{2n(n+1)c}{2n(n+1)+1}.\)
Ennek megfelelően a keletkező kupac minimális sebessége egyetlen elektron-pozitron pár esetén \(\displaystyle \tfrac{4}{5}c\), két pár esetén \(\displaystyle \tfrac{12}{13}c\), három pár esetén \(\displaystyle \tfrac{24}{25}c\) és így tovább. A kupac sebessége a párok számának növekedtével erősen tart a \(\displaystyle c\) fénysebességhez.
II. megoldás. Relativisztikus részecskefizikában kényelmes, ha nem SI, hanem \(\displaystyle \hbar=c=1\) egységrendszerben számolunk. Ebben a rendszerben egy \(\displaystyle f\) frekvenciájú foton energiája is és az impulzusa is \(\displaystyle \omega\) nagyságú (ahol \(\displaystyle \omega=2\pi f\). Az energiát és az impulzust érdemes egy vektor (az energia-impulzus vektor) két komponensének tekinteni: \(\displaystyle P_\textrm{foton}=(\omega,\,\omega)\). Ugyanezek a mennyiségek egy álló elektronra \(\displaystyle P_\textrm{elektron}=(m,\,0)\), az \(\displaystyle n+1\) elektronból és \(\displaystyle n\) pozitronból álló ,,kupacra'' pedig \(\displaystyle P_\textrm{kupac}=(E,\,p)\). (\(\displaystyle m=510\,\mathrm{keV}\) az elektron tömege, ami megegyezik a pozitron tömegével.)
Az energia és az impulzus megmaradási törvénye szerint
\(\displaystyle P_\textrm{foton}+P_\textrm{elektron}=P_\textrm{kupac},\)
vagyis \(\displaystyle E=\omega+m\) és \(\displaystyle p=\omega\).
Egy részecske tömegének négyzete az energia négyzetének és az impulzus négyzetének különbségével egyenlő. Fotonra \(\displaystyle m_\textrm{foton}^2=\omega^2-\omega^2=0\), álló elektronra \(\displaystyle m_\textrm{elektron}^2=m^2-0\), a együtt mozgó kupacra pedig \(\displaystyle m_\textrm{kupac}^2=(2n+1)^2m^2\). Ennek megfelelően
\(\displaystyle (\omega+m)^2-\omega^2=(2n+1)^2m^2,\)
vagyis a gamma-foton szükséges legkisebb energiája
\(\displaystyle \omega=2n(n+1)m\approx n(n+1)\,\mathrm{MeV}.\)
Az egy kupacban mozgó (tehát egyetlen részecskének tekinthető) ,,nyaláb'' sebessége
\(\displaystyle v=\frac{p}{E}=\frac{\omega}{\omega+m}=\frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}.\)
Statistics:
Problem P. 5731. is not processed yet.
Problems in Physics of KöMaL, April 2026