Problem P. 5734. (May 2026)
P. 5734. A point-like ball of mass \(\displaystyle m\) can move without friction along a long horizontal rod. A string attached to the ball passes through a small ring situated at a depth \(\displaystyle h\) below the rod, and a weight of mass also \(\displaystyle m\) is attached to its free end. When the inclined segment of the string makes an angle \(\displaystyle \alpha=60^\circ\) with the vertical, the ball is released from rest.
a) By what factor is the tension in the string greater as the ball passes above the ring than at the instant immediately after release?
b) What is the period of small oscillations of the ball about its equilibrium position?
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) Az elengedés előtt a fonalat nyilván \(\displaystyle mg\) erő feszíti. Az elengedéskor az erő hirtelen valamekkora \(\displaystyle K\) értékre változik, miközben a golyó vízszintesen jobbra \(\displaystyle a_1\), a nehezék pedig függőlegesen lefelé \(\displaystyle a_2\) gyorsulással kezd el mozogni (1. ábra).
1. ábra
A mozgásegyenletek:
$$\begin{gather*} K\sin\alpha=ma_1,\\ mg-K=ma_2, \end{gather*}$$a fonál nyújthatatlanságának feltétele pedig
\(\displaystyle a_2=a_1\sin\alpha.\)
Ezekből az egyenletekből kapjuk, hogy
\(\displaystyle K=\frac{mg}{1+\sin^2\alpha}=\frac{mg}{1+\frac{3}{4}}=\frac{4}{7}mg.\)
A karika fölötti \(\displaystyle O\) ponton történő áthaladáskor a golyó \(\displaystyle v\) sebességét az energiamegmaradás törvényéből határozhatjuk meg. Mivel a nehezék az indulási helyzetéhez képest
\(\displaystyle \frac{h}{\cos\alpha}-h=h\)
távolságnyit süllyed és a sebessége a kérdéses pillanatban nulla, fennáll
\(\displaystyle mgh=\frac{1}{2}mv^2,\qquad\textrm{vagyis}\qquad v=\sqrt{2gh}.\)
Jelöljük teljes hosszában függőleges helyzetű fonalat feszítő erőt \(\displaystyle K'\)-vel, a golyó gyorsulását \(\displaystyle a_1'\)-vel, a nehezék gyorsulását pedig \(\displaystyle a_2'\)-vel. Mivel a golyóra ebben a helyzetben nem hat vízszintes irányú erő, \(\displaystyle a_1'\) nyilván nulla. A golyó elmozdulása az \(\displaystyle O\) ponton történő áthaladása után egy kicsiny \(\displaystyle t\) idővel később jó közelítéssel
\(\displaystyle x(t)=vt.\)
A nehezék a \(\displaystyle t\) időpontban a legmélyebb (a 2. ábrán vízszintes szaggatott vonallal jelölt) helyzetéhez viszonyítva bizonyos \(\displaystyle y(t)\) távolsággal magasabban lesz.
2. ábra
A fonál hosszának állandósága miatt fennáll:
\(\displaystyle y(t)=\sqrt{x^2+h^2}-h=\frac{\left[x(t)^2+h^2\right]-h^2}{\sqrt{x(t)^2+h^2}+h}\approx\frac{x(t)^2}{2h}=\frac{1}{2}\frac{v^2}{h}t^2.\)
Innen leolvashatjuk, hogy a nehezék a legmélyebb helyzetében \(\displaystyle a_2'=\tfrac{v^2}{h}=2g\) nagyságú, függőlegesen felfelé irányuló gyorsulással mozog (3. ábra).
3. ábra
A nehezék mozgásegyenlete a golyó \(\displaystyle O\) ponton való áthaladásakor:
\(\displaystyle K'-mg=ma_2'=2mg,\qquad\textrm{vagyis}\qquad K'=3mg.\)
Ezek szerint a legnagyobb és a legkisebb fonálerő keresett aránya:
\(\displaystyle \frac{K'}{K}=\frac{21}{4}=5{,}25.\)
b) Vizsgáljuk most a golyó kis amplitúdójú rezgéseit az egyensúlyi helyzet (az \(\displaystyle O\) pont) körül. Jelöljük a golyó pillanatnyi kitérését \(\displaystyle x^*\)-gal, a gyorsulásának nagyságát \(\displaystyle a^*\)-gal, a fonalat feszítő erőt pedig \(\displaystyle K^*\)-gal (4. ábra).
4. ábra
Ha \(\displaystyle x^*\ll h\), a nehezék elmozdulása \(\displaystyle (x^*)^2/(2h)\) ,,másodrendűen kicsi'', tehát a gyorsulása jó közelítéssel nullának vehető. A nehezék mozgásegyenlete:
\(\displaystyle mg-K^*=ma_2^*=0,\qquad\textrm{tehát}\qquad K^*\approx mg.\)
A golyó mozgásegyenletében a fonálerő vízszintes komponense jelenik meg:
\(\displaystyle ma_1^*=-K^*\frac{x^*}{\sqrt{h^2+(x^*)^2}}\approx -\frac{mg}{h}x^*,\)
azaz
\(\displaystyle a_1^*=-\frac{g}{h}\,x^*.\)
(A negatív előjel a gyorsulás és a kitérés ellentétes irányát veszi figyelembe.) Ha a fenti képletet összevetjük a harmonikus rezgőmozgás
\(\displaystyle a_1^*=-\omega^2\,x^*\)
összefüggésével, leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle \omega=\sqrt{g/h}\), és így a rezgések periódusideje:
\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}.\)
Ez éppen akkora, mint egy \(\displaystyle h\) fonálhosszúságú matematikai inga lengésideje.
Statistics:
8 students sent a solution. 5 points: Ferencz Kevin, Patócs 420 Péter, Szécsi Bence, Zádori Gellért (4 students). 4 points: Mezei Marcell (1 student). 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2026