Problem P. 5735. (May 2026)
P. 5735. What is the minimum time interval, as observed from the Earth, between Mars being in opposition and subsequently in quadrature? As seen from the Earth, Mars is in opposition when it lies in the direction opposite to the Sun, and in quadrature when its angular separation from the Sun is \(\displaystyle 90^\circ\). Assume that the Earth and Mars move in circular orbits of radii 1 AU and 1.5 AU, respectively, about the Sun, in the same direction and in the plane of the ecliptic.
(4 pont)
Deadline expired on June 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Kepler harmadik törvénye szerint \(\displaystyle T^2\sim a^3\). Felhasználva a feladatban megadott pályasugarakat (a körpálya közelítés miatt \(\displaystyle a=r\)) és a Föld \(\displaystyle T_\mathrm{F}=1\,\textrm{év}\) keringési idejét, a Mars keringési ideje
\(\displaystyle T_\mathrm{M}=\left(\frac{r_\mathrm{M}}{r_\mathrm{F}}\right)^\frac{3}{2}T_\mathrm{F}=(1{,}5)^\frac{3}{2}T_\mathrm{F}\approx 1{,}84\,\textrm{év}.\)
Jelölje a Mars és a Nap Földről látott szögtávolságát \(\displaystyle \varepsilon\), a heliocentrikus Föld–Mars szögtávolságot pedig \(\displaystyle \vartheta\) (1. ábra).
1. ábra
Oppozícióban \(\displaystyle \vartheta_\mathrm{opp}=0\). Kvadratúra esetében, ahol \(\displaystyle \varepsilon=90^\circ\) a 2. ábra alapján:
\(\displaystyle \cos\vartheta_\mathrm{kvad}=\frac{r_\mathrm{F}}{r_\mathrm{M}}.\)
Tehát a két helyzet közti heliocentrikus szögkülönbség:
\(\displaystyle \Delta\vartheta=\left|\vartheta_\mathrm{opp}-\vartheta_\mathrm{kvad}\right|=\arccos\frac{r_\mathrm{F}}{r_\mathrm{M}}\approx 0{,}84\approx 48{,}2^\circ.\)
2. ábra
A Nap inerciarendszerében tekintett szögsebességek \(\displaystyle \omega=2\pi/T\) módon számolhatók. A fenti \(\displaystyle \vartheta\) szög megváltozási ütemének meghatározásához üljünk át a Föld keringésével együtt forgó koordináta-rendszerbe! A Mars itteni, relatív keringési szögsebessége (szinodikus szögsebesség) épp a \(\displaystyle \vartheta\) szög megváltozási üteme. Mivel a két bolygó azonos irányban (prográd módon) kering:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{rel}=\omega_\mathrm{F}-\omega_\mathrm{M}=2\pi\left(\frac{1}{T_\mathrm{F}}-\frac{1}{T_\mathrm{M}}\right)\approx 2{,}86\,\textrm{év}^{-1}.\)
Így az oppozíciótól kvadratúráig tartó legkisebb idő:
\(\displaystyle \Delta t=\frac{\Delta\vartheta}{\omega_\mathrm{rel}}\approx 0{,}294\,\textrm{év}\approx 107\,\textrm{nap}.\)
Megjegyzések. 1. A 3. ábráról látszik, hogy a következő kvadratúrába az oppozíció után \(\displaystyle \Delta\vartheta_2=2\pi-\Delta\vartheta\) relatív szögelfordulás után kerül a Mars, amiből
\(\displaystyle \Delta t_2=\frac{\Delta\vartheta_2}{\omega_\mathrm{rel}}\approx 1{,}901\,\textrm{év}\approx 694\,\textrm{nap}.\)
3. ábra
Ezután mindkét esemény
\(\displaystyle T_\mathrm{szin}=\frac{2\pi}{\omega_\mathrm{rel}}\approx 2{,}196\,\textrm{év}\approx 802\,\mathrm{nap}\)
periódusidővel ismétlődik. (Ez a Mars szinodikus, Földhöz viszonyított keringési ideje.)
2. A feladat közelítései (körpályák, a Mars 1,5 CSE távolsága a Naptól, a két bolygó azonos síkban kering) miatt a valóságban ezek az értékek kicsit eltérnek az itt kiszámítottaktól.
Statistics:
15 students sent a solution. 4 points: Ferencz Kevin, Kossár Benedek Balázs, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Török Tibor (6 students). 3 points: Bús László Teodor, Kovács Andrea, Zádori Gellért (3 students). 2 points: 2 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2026