Problem P. 5737. (May 2026)
P. 5737. A point charge of mass \(\displaystyle m\) and charge \(\displaystyle Q\) is situated at a distance \(\displaystyle d\) above a well-conducting plane metal sheet. It is given an initial velocity \(\displaystyle v_0\) in a direction parallel to the plane of the sheet. After what time, and at what point, does the charge strike the metal sheet? (Gravitational force is negligible compared to electrical forces.)
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vizsgáljuk először egy kezdetben álló, a fémlemeztől \(\displaystyle x\) távolságban lévő ponttöltés esetét. (Az indulás pillanatában \(\displaystyle x=d\).) A töltés elektromos tere megosztást hoz létre a fémlapban, amelynek töltései úgy mozdulnak el, hogy az eredő elektromos térerősség közvetlenül a fém felülete fölött merőleges legyen a fémlemez síkjára. (A fémlemez belsejében és a lemez alatt az eredő elektromos térerősség nulla.)
A fémlemez fölött az elektromos mező éppen olyan, mintha a \(\displaystyle Q\) nagyságú ponttöltésen kívül a lemez síkjára tükrözött helyzetben egy \(\displaystyle -Q\) töltésű, másik pontszerű töltés is jelen lenne. Ezt a fiktív (a valóságban nem létező) töltést tükörtöltésnek nevezik.
Ha a valódi töltés a lemeztől \(\displaystyle x\) távolságra van felfelé, akkor a rá ható elektrosztatikus erő (a töltés és a tükörtöltés közötti Coulomb-erő)
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle F_x(x)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{(2x)^2}=-\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{x^2}.\) |
Ez az erő \(\displaystyle x\) tengely irányú; a negatív előjel azt fejezi ki, hogy lefelé, a fémlemez irányába mutat.
1. ábra
Az (1) képletben szereplő vonzóerő hatására a pontszerű, töltött test, ha a fémlemeztől \(\displaystyle d\) távolról kezdősebesség nélkül elengedjük, a fémlemez felé gyorsul, és valamekkora \(\displaystyle T\) idő alatt becsapódik a lemezbe. (A mozgás nem egyenletesen gyorsuló, ezért annak ismert út-idő képletét nem alkalmazhatjuk.) Ha valamilyen más módszerrel meghatározzuk \(\displaystyle T\) értékét, abból már a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökött test \(\displaystyle \ell\) vízszintes elmozdulását is megkapjuk (\(\displaystyle \ell=v_0T)\), hiszen a tükörtöltés nem fejt ki vízszintes irányú erőt, ezért a lemezzel párhuzamos irányú mozgás egyenletes.
A becsapódásig eltelő idő kiszámítására kétféle módszert is megadunk.
I. módszer. Az (1) erőtörvény ugyanolyan alakú, mint a Newton-féle gravitációs erő, mindkettő a távolság négyzetével fordítottan arányos nagyságú vonzóerő. Ezen hasonlóság miatt az elektrosztatikus erőtérben mozgó pontszerű testre is érvényesek Kepler törvényei. Ezekre hivatkozva állíthatjuk, hogy a kis test pályája ellipszis, melynek egyik fókuszpontja az erőtér \(\displaystyle C\) centruma, továbbá azt is tudjuk, hogy a különböző excentricitású, de azonos nagytengelyű ellipszisek mentén a mozgás periódusideje ugyanakkora.
Két ,,elfajult'' ellipszist vizsgálunk. Az egyik egy \(\displaystyle d\) átmérőjű kör, ami nulla excentricitású ellipszisnek is tekinthető. (Az ellipszis excentricitása \(\displaystyle e=\sqrt{1-(b/a)^2}\), ahol \(\displaystyle a\) a fél nagytengely, \(\displaystyle b\) pedig a fél kistengely hossza.) Ezen kör mentén egyenletesen mozgó test mozgásegyenlete:
\(\displaystyle \frac{1}{16\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{(d/2)^2}=m\,\frac{d}{2}\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2,\)
ahonnan kifejezhetjük a körmozgás periódusidejét:
\(\displaystyle T_0=2\pi\sqrt{{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}}.\)
Kepler III. törvénye szerint ugyanekkora a keringési idő egy \(\displaystyle d\) nagytengelyű és nagyon kicsi (határesetben nulla) kistengelyű ellipszispályán történő mozgásnál is. A teljesen elfajult, \(\displaystyle e=1\) excentricitású ,,ellipszis'' \(\displaystyle d\) hosszúságú egyenes szakasz lesz, amely mentén történő mozgás kérdéses \(\displaystyle T\) ideje az indulástól a becsapódásig a teljes \(\displaystyle T_0\) periódusidő fele.
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T=\frac{T_0}{2}=\frac{\pi d}{\vert Q\vert}\sqrt{2\pi\varepsilon_0md}.\) |
2. ábra
II. módszer. Az elektrosztatikus és a gravitációs mező analógiájának felismerése és felhasználása nélkül, ,,nyers erővel'' is meghatározhatjuk a becsapódás \(\displaystyle T\) idejét, ha az energiamegmaradás törvényéből kiszámítjuk a töltött test pillanatnyi sebességét a hely függvényében, majd annak reciprokát integráljuk a megtett út szerint.
Az (1) összefüggéssel megadott erőtörvényhez tartozó potenciális energia:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle U(x)=-\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{x}.\) |
Az elektrosztatikus energia és a mozgási energia összege a mozgás során állandó marad. Az \(\displaystyle x=d\) távolságból kezdősebesség nélkül induló test \(\displaystyle v(x)\) sebességére a lemeztől \(\displaystyle x\) távolságban fennáll, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle U(d)+0=U(x)+\frac{1}{2}mv^2(x).\) |
Innen kiszámítható a kicsiny test sebessége:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle v(x)=-\sqrt{\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{d}\right)}.\) |
Megjegyzés. Figyelemre méltó, hogy a (3) összefüggésben szereplő potenciális energia nem egyezik meg a valódi töltés és a tőle \(\displaystyle 2x\) távol lévő tükörtöltés közötti, naiv módon számolt \(\displaystyle -\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{2x}\) Coulomb-energiával, annak éppen a fele.
A kettes faktor eltérésnek a következő a magyarázata. Két valódi töltés kölcsönhatási energiája (egy előjeltől eltekintve) azzal a \(\displaystyle W\) munkával egyezik meg, amennyit a töltések egymástól nagyon távolságra (,,végtelen messzire'') történő elmozdítása során végzünk. Ha a két töltést a felezőpontjukra szimmetrikusan húzzuk szét, akkor mindegyikük mozgatásakor \(\displaystyle W/2\) munkát végzünk. Ha viszont a nagy méretű fémlemez közeléből távolítunk el nagyon messzire egy valódi töltést, a fiktív tükörtöltés is eltávolodik a lemeztől, anélkül, hogy azon munkát végeznénk. A teljes munkavégzés ilyenkor \(\displaystyle W/2\), és így minden \(\displaystyle x\) értékhez tartozó potenciális energia is csak a fele a valódi töltésekre vonatkozó Coulomb-energiának.
Osszuk fel – gondolatban – a töltött test pályáját (indulástól a becsapódásig) sok kicsi, \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú darabra. Az \(\displaystyle i\)-edik darabon (\(\displaystyle i=1,2,\ldots,n\)) a sebességet közelítőleg állandónak, \(\displaystyle v(x_i)\) nagyságúnak tekintjük, akkor a mozgás teljes időtartama
\(\displaystyle T\approx\sum_{i=1}^n\frac{\Delta t_i}{\Delta x}\,\Delta x\approx\sum_{i=1}^n\frac{1}{v(x_i)}\,\Delta x\approx\int _d^0\frac{1}{v(x)}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0m}{Q^2}}\int_0^d\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{d}}}\,\mathrm{d}x.\)
Érdemes a fémlemeztől mért távolságot \(\displaystyle x=\xi d\) alakban felírni, ahol \(\displaystyle 0<\xi\le 1\) egy dimenziótlan változó. Ezzel a kérdéses idő
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle T\approx\sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}\int_0^1\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\xi}-1}}\,\mathrm{d}\xi.\) |
(Belátható, hogy a fenti közelítés annál jobb, minél kisebb részekre osztjuk fel a töltött test pályáját.)
A (6) összefüggésben szereplő integrál numerikus közelítésben 1,57 nagyságúnak adódik, de pontosan is kiszámítható az értéke, ami \(\displaystyle \pi/2\). Így a keresett időtartam (2)-vel egyezően
\(\displaystyle T=\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}.\)
Eközben a test vízszintes irányban
\(\displaystyle \ell=v_0T=\pi v_0\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}\)
távolságra mozdul el, az elengedés helyétől ekkora távolságra fog becsapódni a fémlemezbe.
Statistics:
13 students sent a solution. 5 points: Horváth Zsombor, Mezei Marcell, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel (6 students). 4 points: Sümeghi Nándor , Vincze Anna (2 students). 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2026