Problem P. 5738. (May 2026)
P. 5738. A circular wire loop of radius \(\displaystyle d\) is formed from a thin wire. A small conducting ring of radius \(\displaystyle r\) (with \(\displaystyle r \ll d\)) and resistance \(\displaystyle R\) is placed at its centre, with their axes coinciding. A steady current of magnitude \(\displaystyle I\) flows in the loop. What total charge passes through a given cross-section of the small ring as it is moved very far away from the loop? (Self-inductive effects may be neglected.)
(4 pont)
Deadline expired on June 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A körvezető árama olyan mágneses teret hoz létre, amely a tengely mentén a középponttól távolodva folyamatosan csökkenve nullához tart, ezért a kis hurokban az elmozdítás közben egyre kiesebb lesz a fluxus. Ez a csökkenő fluxus a gyűrűben elektromotoros erőt indukál, amely pedig áramot hoz létre. A feladat a gyűrű egy adott keresztmetszetén ennek hatására áthaladó töltésmennyiség meghatározása.
Ha a gyűrű fluxusa a mozgatás során egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle \Delta\Phi\)-vel változik, akkor a gyűrűben
\(\displaystyle U_\mathrm{i}=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\)
elektromotoros erő indukálódik. Ennek hatására a gyűrűben
\(\displaystyle I=\frac{U_\mathrm{i}}{R}\)
nagyságú áram fog folyni, amely a kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt
\(\displaystyle \Delta Q=I\Delta t=-\frac{1}{R}\Delta\Phi\)
töltés áthaladását jelenti a gyűrű egy adott keresztmetszetén. Azt látjuk tehát, hogy az áthaladó töltésmennyiség arányos a fluxus megváltozásával. Így a teljes töltésmennyiség a fluxus teljes megváltozásával lesz arányos:
\(\displaystyle Q=-\frac{1}{R}(\Phi_\infty-\Phi_0).\)
A körvezető középpontjában
\(\displaystyle B=\frac{\mu_0I}{2d}\)
a mágneses indukció, amely az \(\displaystyle r\ll d\) sugarú kicsiny gyűrűben
\(\displaystyle \Phi_0=Br^2\pi=\frac{\mu_0Ir^2\pi}{2d}\)
fluxust hoz létre. A körvezetőtől nagy távolságra a mágneses tér elhanyagolható, így \(\displaystyle \Phi_\infty=0\). Ezek alapján a keresett töltésmennyiség:
\(\displaystyle Q=\frac{\mu_0Ir^2\pi}{2dR}.\)
Megjegyzések. 1. Ugyanerre a megoldásra jutunk, ha az indukált elektromotoros erőt deriválással, majd a töltést integrálszámítással határozzuk meg. Az indukált elektromotoros erő:
\(\displaystyle U_\mathrm{i}(t)=-\frac{\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t}=-\dot\Phi(t),\)
ahol \(\displaystyle \dot\Phi(t)\) a fluxus idő szerinti deriváltja. Az áramot a megoldáshoz hasonlóan az Ohm-törvénnyel kaphatjuk meg:
\(\displaystyle I(t)=\frac{U_\mathrm{i}(t)}{R},\)
majd a töltést az áram idő szerinti integráljaként fejezhetjük ki:
\(\displaystyle Q=\int\limits_{t_1}^{t_2}I(t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{R}\int\limits_{t_1}^{t_2}\dot\Phi(t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{R}\left((\Phi(t_2)-\Phi(t_1)\right).\)
Az utolsó lépésben a Newton–Leibniz-tételt alkalmaztuk.
2. Ha a gyűrűt a közös tengely mentén elforgatás nélkül távolítjuk, akkor a gyűrű fluxusa folyamatosan csökken és az áram iránya mindvégig ugyanolyan lesz. Az egy adott keresztmetszeten áthaladó előjelesen összegzett töltésmennyiség azonban ettől függetlenül a kiszámított értékkel egyezik meg, hiszen ez csak a gyűrűn áthaladó fluxus kezdeti és végállapotától függ.
Statistics:
4 students sent a solution. 4 points: Ferencz Kevin, Kossár Benedek Balázs, Simon János Dániel (3 students).
Problems in Physics of KöMaL, May 2026