Problem P. 5740. (May 2026)

P. 5740. In air at room temperature and atmospheric pressure, the mean free path of nitrogen molecules is approximately 65 nm. Estimate the average displacement of a nitrogen molecule from its initial position in 1 hour.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle T\) hőmérsékleten az egy szabadsági fokra jutó energia \(\displaystyle \tfrac{1}{2}kT\), amiből egy nitrogén molekula átlagos sebessége

\(\displaystyle \overline{v}=\sqrt{\frac{3kT}{m}},\)

ahol \(\displaystyle m=4{,}67\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}\) a nitrogén molekula tömege, és \(\displaystyle k=1{,}38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) a Boltzmann-állandó. \(\displaystyle T=24\,^\circ\mathrm{C}=297\,\mathrm{K}\)-t véve \(\displaystyle \overline{v}=513\,\mathrm{m/s}\) adódik. Ezzel a sebességgel mozogva egy molekula a \(\displaystyle \Delta s=65\,\mathrm{nm}\) szabad úthossznyi távolságot \(\displaystyle \tau=\Delta s/\overline{v}=1{,}27\cdot 10^{-10}\,\mathrm{s}\) alatt teszi meg, tehát átlagosan ennyi idő telik el az ütközések között. Ennek megfelelően egy molekula \(\displaystyle N=2{,}84\cdot 10^{13}\)-szor ütközik egy óra alatt.

A kérdés tehát az, milyen messze lesz egy molekula a kiinduló pontjától \(\displaystyle N\) ütközés után. A becslésünk során feltételezzük, hogy kiszemelt molekula a soron következő ütközések között mindig \(\displaystyle \Delta s\) utat tesz meg, és hogy az ütközések során nincs kitüntetett irány, az ütközés előtti és az ütközés utáni sebesség egymáshoz viszonyított iránya ugyanazzal a valószínűséggel vehet fel bármilyen értéket. Ebből következik, hogy két egymást követő ütközés közötti \(\displaystyle \boldsymbol{\Delta s}\) elmozdulás \(\displaystyle <\!\boldsymbol{\Delta s}\!>\) várható értéke, így a teljes elmozdulás várható értéke is nulla, ezért érdemes a kiindulástól mért távolság négyzetének a várható értékével foglalkozni. (A szokásos módon a vektor mennyiségeket félkövér, ezek nagyságát normál betűkkel, egy mennyiség várható értékét, tehát a lehetséges értékeknek a megvalósulás valószínűségével súlyozott átlagát pedig a mennyiség \(\displaystyle <\ldots >\) csúcsos zárójelbe tételével jelöljük.) Legyen \(\displaystyle \boldsymbol{r}_n\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}_{n+1}\) a molekula pozíciója az \(\displaystyle n\)-edik és \(\displaystyle n+1\)-edik ütközés mentes szakasz megtétele után! Nyilván

\(\displaystyle r^2_{n+1}=r^2_n+2\boldsymbol{r}_n\boldsymbol{\Delta s}+(\Delta s)^2,\)

következésképp az egyes tagok várható értékére is igaz, hogy

\(\displaystyle <\!r^2_{n+1}\!>=<\!r^2_n\!>+2<\!\boldsymbol{r}_n\boldsymbol{\Delta s}\!>+(\Delta s)^2.\)

Könnyen beláthatjuk, hogy a jobb oldal második tagja nulla. Mivel \(\displaystyle \boldsymbol{\Delta s}\) iránya \(\displaystyle \boldsymbol{r}_n\)-től függetlenül ugyanakkora valószínűséggel bármi lehet, a szorzat minden lehetséges értéke és annak a mínusz egyszerese azonos súllyal szerepel benne, tehát

\(\displaystyle <\!\boldsymbol{r}_n\boldsymbol{\Delta s}\!>=0,\)

így

\(\displaystyle <\!r^2_{n+1}\!>= <\!r^2_n\!>+(\Delta s)^2.\)

Ez egy rekurziós formula, aminek a megoldása

\(\displaystyle <\!r^2_n\!>=n(\Delta s)^2.\)

Ennek alapján \(\displaystyle r_N\) becsült értéke

\(\displaystyle r_N\simeq\sqrt{<\!r^2_N\!>}=\sqrt{N}\Delta s=0{,}35\,\mathrm{m}.\)

Statistics:

8 students sent a solution.
5 points:	Ferencz Kevin, Horváth Zsombor, Mezei Marcell, Török Tibor, Vincze Anna	(5 students).
4 points:	Rajtik Sándor Barnabás	(1 student).
3 points:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2026