Problem P. 5741. (May 2026)
P. 5741. The \(\displaystyle I(U)\) characteristic of an incandescent lamp is shown in the figure.
a) Plot the temperature of the filament as a function of the power dissipated. Assume that the resistance of the filament is proportional to the absolute temperature, and that the ambient temperature is \(\displaystyle 27~{}^\circ\mathrm{C}\).
b) The filament loses heat by two mechanisms: thermal conduction and thermal radiation. Determine the effective radiating surface area of the filament.
Assume that the filament behaves as a black body.
(6 pont)
Deadline expired on June 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) A grafikonról leolvasható \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle I\) értékpárokból
\(\displaystyle R=\frac{U}{I}\quad\textrm{és}\quad P=UI\)
értékek kiszámolhatók. Nagyon kis \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle I\) esetében \(\displaystyle R_0\approx 2\,\Omega\). Ekkor a teljesítmény még nagyon kicsi, így az izzószál hőmérséklete \(\displaystyle T_0\approx 300\,\mathrm{K}\). Ez alapján az izzószál hőmérséklete nagyobb teljesítmények esetén a
\(\displaystyle T=\frac{R}{R_0}T_0\)
összefüggéssel meghatározható. Az 1. táblázatba foglalt adatokat ábrázolva megkapjuk az 1. ábrán látható grafikont.
| \(\displaystyle U\,(\mathrm{V})\) | 0 | 0,02 | 0,25 | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | 3,00 | 4,60 |
| \(\displaystyle I\,(\mathrm{A})\) | 0 | 0,010 | 0,060 | 0,084 | 0,113 | 0,138 | 0,161 | 0,200 | 0,256 |
| \(\displaystyle R\,(\Omega)\) | 2,00 | 4,00 | 5,95 | 8,85 | 10,9 | 12,4 | 15,0 | 18,0 | |
| \(\displaystyle P\,(\mathrm{W})\) | 0 | 0 | 0,014 | 0,042 | 0,113 | 0,207 | 0,322 | 0,600 | 1,180 |
| \(\displaystyle T\,(\mathrm{K})\) | 300 | 300 | 600 | 895 | 1325 | 1630 | 1865 | 2250 | 2700 |
1. táblázat
1. ábra
b) Egyensúlyi állapotban a leadott hőteljesítmény megegyezik a felvett elektromos teljesítménnyel:
\(\displaystyle P=c_1(T-T_0)+c_2(T^4-T_0^4),\)
ahol \(\displaystyle c_1\) a hővetést jellemző konstans (amely függ az izzó anyagától és méreteitől), \(\displaystyle c_2=\sigma A_\mathrm{eff}\), ahol \(\displaystyle \sigma=5{,}67\cdot 10^{-8}\,\mathrm{\tfrac{W}{m^2K^4}}\) a Stefan–Boltzmann-állandó és \(\displaystyle A_\mathrm{eff}\) az izzószál effektív sugárzó felülete, valamint \(\displaystyle T_0=300\,\mathrm{K}\) a környezet hőmérséklete.
Az adatainkból \(\displaystyle c_1\) és \(\displaystyle c_2\) értékét kell meghatároznunk. Egészen kis hőmérsékleteken a második tag elhanyagolható az első mellett, így ha a grafikon legelejére egyenest illesztünk (2. ábra), annak \(\displaystyle m\) meredekségéből a \(\displaystyle c_1\) állandó meghatározható:
\(\displaystyle m\approx 20000\,\mathrm{\frac{K}{W}}\qquad\rightarrow\qquad c_1=\frac{1}{m}\approx 5\cdot 10^{-5}\,\mathrm{\frac{W}{K}}.\)
2. ábra
Ezután az elektromos teljesítményből levonhatjuk az első, \(\displaystyle P_\mathrm{v}=c_1(T-T_0)\) tagot, és (nagyobb hőmérsékletekre) megkapjuk a \(\displaystyle P_\mathrm{s}\) sugárzó teljesítményt (2. táblázat).
| \(\displaystyle P\,(\mathrm{W})\) | 0,113 | 0,207 | 0,322 | 0,600 | 1,180 |
| \(\displaystyle T\,(\mathrm{K})\) | 1325 | 1630 | 1865 | 2250 | 2700 |
| \(\displaystyle P_\mathrm{v}\,(\mathrm{W})\) | 0,051 | 0,067 | 0,078 | 0,97 | 0,120 |
| \(\displaystyle P_\mathrm{s}\,(\mathrm{W})\) | 0,062 | 0,140 | 0,244 | 0,503 | 1,060 |
| \(\displaystyle T^4-T_0^4\,(10^{12}\,\mathrm{K^4})\) | 3,1 | 7,1 | 12,0 | 25,6 | 52,8 |
2. táblázat
Ezt \(\displaystyle T^4-T_0^4\) függvényében ábrázoljuk, és a pontokra origón átmenő egyenest illesztünk (3. ábra).
3. ábra
Az illesztett egyenes meredeksége
\(\displaystyle c_2\approx 2\cdot10^{-14}\,\mathrm{\frac{W}{K^4}},\)
amiből az izzószál effektív sugárzó felülete
\(\displaystyle A_\mathrm{eff}=\frac{c_2}{\sigma}\approx 3{,}5\cdot 10^{-7}\,\mathrm{m^2}=0{,}35\,\mathrm{mm^2}.\)
Statistics:
6 students sent a solution. 5 points: Török Tibor (1 student). 4 points: 2 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2026