KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


K. 217. Egy négyzetrácsos játékterületen háromféle bombát helyezhetünk el. A bombák felrobbantásukkor saját mezőjüket, valamint az őket körülvevő mezőket (és azok tartalmát) robbantják fel. Az ábra azt mutatja, hogy a háromféle bomba milyen hatókörben robbantja fel a játékmezőket (a bombák helyét és típusát az ábrákban látható számok jelzik). Ha egy bomba által felrobbantott mező egy másik bombát tartalmaz, akkor az is fel fog robbanni, és hatósugarának megfelelően esetlegesen további mezőket robbant fel. Helyezzünk el 2-2 db 1-es, 2-es és 3-as típusú bombát egy játékmezőn úgy, hogy közülük valamelyiket felrobbantva minél több mező robbanjon fel.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 218. Egy téglalapot az oldalaival párhuzamos vonalakkal kisebb téglalapokra daraboltunk. A daraboló vonalak egymástól való távolsága változó (az ábra nem tükrözi a vonalak egymástól való távolságának arányát). Néhány téglalapba beleírtuk, hogy hány egység a területe. Mekkora az y-nal jelölt téglalapterület?

14 6 20
21
52 39
20 30
40 y

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 219. Vettünk öt különböző pozitív egész számot, és páronként összeszorozva őket az alábbi értékeket kaptuk: 6, 10, 15, 24, 36, 42, 60, 105, 63, 252. Melyek ezek a számok?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 220. Keressük meg az összes olyan (nem feltétlenül különböző) pozitív egész számból álló számötöst, amelyek összege egyenlő a szorzatukkal.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 221. Napvédő krém használata nélkül Napsugár 12 perc napozás után ég le. A napozás időtartamának elejére Napsugár 12-es fényvédő faktorú nem vízálló napvédő krémmel kente be magát, majd lezuhanyozott. A hátralevő időre 20-as fényvédő faktorú krémet kent magára. Így összesen 208 percig lehetett a napon leégés nélkül. Hány percig napozott az egyik, illetve a másik krém használata mellett? (A fényvédő faktor azt mutatja meg, hogy a krémen keresztül a bőrhöz a káros [UV-B] sugarak hányadrésze jut el, azaz például a 20-as krém a testet érő sugárzás egy huszad részét engedi át a bőrre.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 222. Az alábbi ábrán négy kocka kiterített felületét látjuk. Mindegyik kocka bizonyos lapjaira vonalakat festettünk, ezek a hálózaton is fel vannak tüntetve. (Egyik vonaldarab sem halad a kocka élein.) Melyik kockán lesz a festett vonalak együttese önmagába záródó folytonos vonal?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


C. 1000. Egy kerek asztalnál hazugok és igazmondók ülnek, összesen 30-an. Tudjuk, hogy minden hazudós két szomszédja közül pontosan az egyik hazudós. A 30 ember közül 12-en azt mondják, hogy nekik pontosan egy hazudós szomszédjuk van, a többiek pedig azt, hogy mindkét szomszédjuk hazudós. Hány hazudós ül az asztalnál?

Kárpátaljai feladat nyomán

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1001. Egy egész számnak két prímosztója van. Osztóinak száma 6, osztóinak összege 28. Melyik ez a szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1002. Határozzuk meg azokat derékszögű háromszögeket, amelyek oldalainak mérőszáma egész, és kerületük és területük mérőszáma egyenlő.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1003. Egy nagykereskedő, aki háztartási vegyiárut és papírárut forgalmaz, egy 12 m3 térfogatú, 5 tonna áru befogadására alkalmas konténerrel rendelkezik. A vegyiáru tonnánként 1 m3, a papíráru pedig 3 m3 térfogatú. A haszon a vegyiárun tonnánként százezer, a papírárun kétszázezer forint.

Legfeljebb mekkora haszonra tehet szert egy konténernyi áru eladásával a kereskedő?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1004. Az ABCD négyzet A csúcsára illeszkedő tetszés szerinti egyenesre merőlegeseket állítottunk a B és D pontokból, melyeknek talppontja rendre B1 és D1. Igazoljuk, hogy AB12+AD12=BB12+DD12.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


B. 4202. Egy papírlapra felírtuk a számokat 1-től 2009-ig. A második lépésben mindegyik szám kétszeresét is felírtuk a papírra, majd kiradíroztuk azokat a számokat, amelyek kétszer is szerepeltek. Ezt a lépést ismételgetjük olyan módon, hogy az i-edik lépésben a papíron éppen látható számok mindegyikének i-szeresét is felírjuk a papírra, majd kiradírozzuk azokat a számokat, amelyek kétszer is szerepelnek. Bizonyítsuk be, hogy a papírlapon minden lépés után legalább 2009 szám lesz.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4203. Két egymást metsző kört az egyik közös érintő az A és B pontokban érinti, a középpontjaikat összekötő szakasz pedig a C, illetve D pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ABCD húrnégyszög.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4204. Adott négy pozitív szám: a, b, c, d. Az ab, ac, ad, bc, bd, cd szorzatok közül ötnek az értékét ismerjük, ezek 2, 3, 4, 5 és 6. Mennyi a hatodik szorzat értéke?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4205. Az A, B, C, D pontok úgy mozognak a síkban, hogy AD=BC=2 és AC=BD=4 mindig teljesül, továbbá az AC és BD szakaszok metszik egymást. Hogyan függ az AB távolságtól a CD távolság?

(Műszaki Egyetem feladatgyűjteményéből)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4206. Legyen p>3 prímszám, k és m pedig nemnegatív egész számok. Igazoljuk, hogy pk+pm nem lehet négyzetszám.

Javasolta: Kutas Péter

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4207. Igaz-e, hogy minden sokszögnek van olyan csúcsa, amelyből húzható a sokszög belsejében haladó átló egy hozzá -- a nem szomszédosak közül -- legközelebb levő csúcsba?

Javasolta: Maga Péter

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4208. Legyen n pozitív egész szám. Határozzuk meg a


\sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}

szám tizedesvessző utáni első számjegyét.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4209. Az ABC hegyesszögű háromszögben az A-ból, illetve B-ből induló magasságok talppontjai A1, illetve B1; a háromszög magasságpontja M. A B-ből induló súlyvonal az A1B1 egyenest a P pontban metszi. Igazoljuk, hogy a BPM\sphericalangle akkor és csak akkor derékszög, ha B1C=3AB1.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4210. Az a, b, c oldalú, t területű hegyesszögű háromszögre abc=a+b+c teljesül. Bizonyítsuk be, hogy


1<t\le \frac{3\sqrt{3}}{4}\,.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4211. Mutassuk meg, hogy nincs olyan racionális együtthatós polinom, amely pontosan egy egész helyen vesz fel nem egész értéket. Létezik-e ilyen tulajdonságú valós együtthatós polinom?

Javasolta: Maga Péter

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


A. 488. P1P2P3 háromszög köré írt kör középpontja O, a Q pont a háromszög belsejében helyezkedik el. Minden egyes i=1,2,3-ra jelöljük ti-vel, illetve Oi-vel a QPi+1Pi+2 háromszög területét, illetve köréírt körének középpontját. (A csúcsokat ciklikusan számozzuk, tehát P4=P1 és P5=P2.) Igazoljuk, hogy


t_1\cdot \overrightarrow{OO_1} + t_2\cdot \overrightarrow{OO_2} + t_3\cdot
\overrightarrow{OO_3} = 0.

Német versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 489. Létezik-e olyan nemkonstans polinom, amelynek értéke minden egész helyen négyzetmentes egész szám?

(5 pont)

statisztika


A. 490. Egy szabályos háromszög alapú hasáb oldallapjai négyzetek. A hasábot letesszük az asztallapra, majd úgy görgetjük, hogy valamelyik éle mindig az asztallapon maradjon. Néhány gördítés után a hasáb ugyanazt a szabályos háromszöget fedi az asztallapon, mint a kiinduláskor. Igazoljuk, hogy ekkor a hasáb minden egyes csúcsa a kiindulási helyzetében van.

Javasolta: Csirmaz László (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley