Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.


K. 583. Egy egész számot nevezzünk prímának, ha igaz rá, hogy az első számjegye prím, az első két számjegyének összege is prím, az első három számjegyének összege is prím és így tovább. Határozzuk meg a csupa különböző számjegyekből álló príma számok közül a legnagyobbat.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 584. A Mikulás nagyon erős, ám puttonyában legfeljebb 100 kg ajándékot bír felvinni az emeletre. A Toldi utca 6-ba háromféle ajándékcsomagot vitt: A, B és C típusút. Mind a három fajta csomag egész kilogramm tömegű. Nyolc A-t és nyolc B-t egyszerre fel tud vinni, de abban a körben már semelyik ajándékból sem vihet többet (sem A-ból, sem B-ből, sem C-ből). Hasonlóképpen nem terhelheti meg jobban már a puttonyát, ha 10 A-t, 4 B-t és 4 C-t visz fel egyszerre. Hány kg-os lehet az A, B és C típusú ajándék?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 585. András felír a táblára három (nem feltétlenül különböző) pozitív egész számot, melyek \(\displaystyle 2018\)-nál kisebbek. Egy lépésben András a táblán lévő számokat (\(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\)) letörli és ezen számok helyett az

\(\displaystyle \frac{A+B}2,\quad \frac{B+C}2, \quad \frac{A+C}2 \)

számokat írja fel a táblára. Ezt a lépést összesen \(\displaystyle 11\)-szer megismételve három olyan egész szám van a táblán, melyek közül az egyik a \(\displaystyle 100\). Melyik a táblán lévő másik két szám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 586. Egy szabályos hatszög egy belső pontja három egymást követő csúcstól rendre 4, 4 és 8 egységnyire van. Hány egység a hatszög egy oldala?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 587. A 2014, 2015, 2016 és 2017 számok közül hány áll elő hat, nem feltétlenül különböző páratlan szám négyzetének összegeként?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 588. Legyenek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) olyan négyjegyű számok, melyekre \(\displaystyle A > B\), továbbá \(\displaystyle A\) számjegyeinek sorrendjét megfordítva \(\displaystyle B\)-t kapjuk. Mi lehet \(\displaystyle A-B\) legkisebb, illetve legnagyobb értéke?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.


C. 1469. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasság talppontja \(\displaystyle T\) (az \(\displaystyle AB\) oldal belső pontja), \(\displaystyle R\) pedig a szögfelezőé: \(\displaystyle AB=10\), \(\displaystyle AT=3\), \(\displaystyle AR=4\). Határozzuk meg a háromszög oldalainak a hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1470. Mekkora annak a két egyforma gömbnek a sugara, amelyek középpontjai az egységkocka szomszédos lapjainak középpontjai, és érintik egymást?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1471. Igazoljuk, hogy minden négynél nagyobb kettő-hatvány felírható két páratlan négyzetszám különbségeként. Például \(\displaystyle 32=81-49\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1472. Egy társasjátékban különböző kártyákat lehet gyűjteni, ezeken más-más dolgok találhatók. Minden kártyán az alábbi kilenc dolog közül szerepel pontosan kettő: színek (piros, fehér vagy zöld), elemek (levegő, föld, tűz vagy víz), vagy állatok (nyúl vagy bárány), de egy kategóriából legfeljebb egy lehet rajta. Hányféleképpen tudunk négy kártyát kiválasztani úgy, hogy azokon összesen nyolc különböző dolog legyen, ha a játék minden lehetséges lapot tartalmaz?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1473. Mennyi annak a \(\displaystyle 2a\) alapú számrendszerbeli \(\displaystyle abc\) számnak az alapja, amelyről tudjuk, hogy \(\displaystyle c-b=b-a=1\), és értéke megegyezik a tízes számrendszerbeli \(\displaystyle (29a^{2}+9a+9)\)-cel?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1474. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjait jelölje \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\), amelyek az oldalakat \(\displaystyle BP:PA=1:2\) és \(\displaystyle AQ:QC=3:1\) arányokban osztják. Határozzuk meg, hogy \(\displaystyle R\) milyen arányban osztja a \(\displaystyle BC\) oldalt.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1475. Legfeljebb mekkora lehet egy egységnyi sugarú gömbbe írt henger palástjának felszíne?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.


B. 4939. Mutassuk meg, hogy egy konvex 2018-szöget nem lehet háromszögekre darabolni úgy, hogy minden keletkező háromszög szögei fokokban mérve egészek legyenek.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4940. Milyen értékeket vehet fel az \(\displaystyle x+y+z\) összeg, ha

\(\displaystyle x^4 + 4y^4 + 16 z^4 + 64 = 32xyz? \)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4941. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének \(\displaystyle O\) középpontját tükrözzük a magasságok talppontjaira. Igazoljuk, hogy e három pont által meghatározott kör ugyanakkora sugarú, mint az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4942. A nemzetközi kombinatorikai konferenciára érkező száz matematikust egy szállodában helyezik el, ahol a szobák egytől százig vannak megszámozva. A recepciós azt tervezi, hogy a matematikusokat érkezésük sorrendjében az adott sorszámú szobába küldi. Az elsőnek érkező vendégnek viszont elfelejti a megfelelő utasítást megadni, így ő a szobák közül véletlenszerűen választ egyet. Végül a recepciós a többieknek azt az utasítást adja, hogy az érkezési sorszámuknak megfelelő szobát egyesével foglalják el; illetve ha az már foglalt, akkor válasszanak a szabad szobák közül egyet tetszés szerint. Hányféleképpen költözhettek be a szobákba a vendégek?

Javasolta: Faragó András és Káspári Tamás (Paks)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4943. Egy téglatest alakú tégla egyik lapjának mindegyik csúcsában van egy-egy hangya. A hangyák mindegyike a szemközti csúcshoz, azaz a saját csúcsához tartozó testátló másik végpontjába szeretne eljutni. Át tudnak-e menni a hangyák a tégla felszínén a szemközti csúcsba úgy, hogy az útvonalaik ne messék egymást és mind a négy hangya a lehető legrövidebb úton haladjon?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4944. Jelölje \(\displaystyle t\) egy konvex \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkidomba írt (valamely) maximális területű háromszög területét, míg \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle \mathcal{S}\) köré írt (valamely) minimális területű háromszög területét. Mekkora a \(\displaystyle \frac{T}{t}\) hányados maximuma?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4945. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle n\) pozitív egészeket, amelyekre

\(\displaystyle 1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+ 3\cdot 2^2+ \ldots + n\cdot 2^{n-1} \)

négyzetszám.

Németh László (Fonyód) javaslata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4946. Az \(\displaystyle f(x)\) valós együtthatós polinomra igaz, hogy minden, \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben \(\displaystyle 5\)-re vagy \(\displaystyle 8\)-ra végződő \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén \(\displaystyle f(k)\) értéke egész szám.

\(\displaystyle a)\) Igazoljuk, hogy \(\displaystyle f(0)\) egész szám.

\(\displaystyle b)\) Mutassunk példát olyan \(\displaystyle f(x)\) polinomra, amire a fenti feltételek teljesülnek, de \(\displaystyle f(1)\) nem egész szám.

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4947. Igazoljuk, hogy egy kockát a keletkező darabok egybevágóságától eltekintve egyféleképpen lehet pontosan öt darab tetraéderre darabolni.

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.


A. 719. Legyen \(\displaystyle ABC\) nem egyenlőszárú háromszög körülírt körének, illetve beírt körének középpontja \(\displaystyle O\), illetve \(\displaystyle I\). Az \(\displaystyle A\)-val szemköztes hozzáírt kör \(\displaystyle BC\)-t \(\displaystyle A_1\)-ben érinti, a \(\displaystyle B\)-vel szemköztes hozzáírt kör \(\displaystyle CA\)-t \(\displaystyle B_1\)-ben érinti, továbbá a \(\displaystyle C\)-vel szemköztes hozzáírt kör \(\displaystyle AB\)-t \(\displaystyle C_1\)-ben érinti. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle AB_1C_1\) háromszög magasságpontja, \(\displaystyle H\) pedig az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle PA_1\) felezőpontja, akkor \(\displaystyle HM\) és \(\displaystyle OI\) párhuzamosak.

Javasolta: Michael Ren (Andover, Massachusetts, USA)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 720. Egy pozitív egész számot elevennek nevezünk, ha van \(\displaystyle 10^{10^{100}}\)-nál nagyobb prímosztója. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle S\) eleven pozitív egészekből álló végtelen halmaz, akkor létezik olyan végtelen \(\displaystyle T\) részhalmaza, melynek bármely véges nemüres részhalmazában az elemek összege eleven szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 721. Legyen \(\displaystyle n\ge 2\) pozitív egész szám, továbbá \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) olyan pozitív valós számok, melyek összege \(\displaystyle 1\), négyzetösszege pedig \(\displaystyle S\). Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle b_i=\frac{a_i^2}{S}\) (\(\displaystyle i=1,\dots,n\)), akkor tetszőleges \(\displaystyle r>0\) mellett

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{{(1-a_i)}^r}\le \sum_{i=1}^n \frac{b_i}{{(1-b_i)}^r}. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)