Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


K. 619. Legfeljebb hány prímet lehet megadni úgy, hogy közülük bármely három összege is prím legyen?

(6 pont)

megoldás


K. 620. Öt pozitív egész szám összege 20. Az öt szám páronként vett különbségeinek abszolút értéke: 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10. Adjuk meg az összes ilyen számötöst.

(6 pont)

megoldás


K. 621. Egy kilenc fős matekszakkörön az ábrán látható \(\displaystyle 3\times3\)-as osztású négyzet alakú zászlót terveznek. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat festik fel a kilenc tartományba úgy, hogy mindegyik oszlopban, sorban és átlóban a számok összege osztható legyen 3-mal. Hányféle különböző zászlót készíthetnek?

(6 pont)

megoldás


K. 622. A QUARTO játék 16 figurájának mindegyike különbözik valamiben a többitől. A figurák négy szempont alapján is két egyforma csoportra oszthatók:

– magas vagy alacsony;

– sötét vagy világos;

– kerek vagy szögletes;

– a teteje lyukas vagy sima.

El lehet-e helyezni a 16 figurát egy kör mentén úgy, hogy a szomszédosok pontosan két tulajdonságban egyezzenek meg?

(6 pont)

megoldás


K. 623. Az \(\displaystyle ABCD\) egy négyzet alakú papírlap, melynek felénk eső fele piros, a hátulja pedig fehér. Az \(\displaystyle AC\) átlójának \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle F\). A papírlapot az \(\displaystyle AC\)-re merőleges egyenesek mentén kettéhajtjuk úgy, hogy mindig hátulról előrefelé hajtunk (tehát a papír túloldala kerül felülre). Az első hajtás során az \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle F\)-re kerül, a második hajtás során a \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle E\)-re. A papír felénk eső látható részén mekkora a piros és a fehér területek aránya a kétszer összehajtott papírlapon?

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


C. 1532. Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számokra

\(\displaystyle a+b+c\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}, \)

akkor közülük valamelyik szám legalább 1.

(5 pont)

megoldás


C. 1533. Egy derékszögű háromszög kerülete \(\displaystyle k\), egyik befogója \(\displaystyle b\), a vele szemközti szög pedig \(\displaystyle \beta\). Tekintsük azt a háromszöget, amelynek \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögének szárain levő oldalainak hossza \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle b\cdot\sqrt{2}\,\). Határozzuk meg a legkisebb szögét.

(5 pont)

megoldás


C. 1534. Oldjuk meg az \(\displaystyle 5x^2+y^2-4xy+24 \le 10x-1\) egyenlőtlenséget a valós számpárok halmazán.

(5 pont)

megoldás


C. 1535. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög területét mindkét átlója felezi, akkor ez a négyszög paralelogramma.

(5 pont)

megoldás


C. 1536. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

\(\displaystyle xy =x+y+5,\)

\(\displaystyle x^2+y^2 =5.\)

(5 pont)

megoldás


C. 1537. A \(\displaystyle 6\) egység sugarú \(\displaystyle k_1\) kör és a \(\displaystyle 3\) egység sugarú \(\displaystyle k_2\) kör kívülről érintik egymást, valamint belülről érintik a 9 egység sugarú \(\displaystyle k\) kört. A \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) egyik közös külső érintője a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQ\) szakasz hosszát.

(Horvát feladat)

(5 pont)

megoldás


C. 1538. Az Iker Asztalitenisz Klub edzésére egyik nap hat ikerpár ment el. Az edzők szerették volna, ha a próbameccseket úgy játszanák, hogy semelyik ikerpár két tagja ne játsszon egy asztalnál.

\(\displaystyle a)\) Hányféleképpen lehet beosztani a gyerekeket forgót játszani két különböző asztalhoz?

\(\displaystyle b)\) Hányféleképpen lehet három különböző asztalhoz, a páros mérkőzésekre négyesével elosztani a sportolókat? (Itt is csak az számít, hogy kik kerülnek egy asztalhoz.)

(Angol feladat nyomán)

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


B. 5014. A Bergengóc Parlamentben a választások után \(\displaystyle 50 < n < 100\) képviselő van, mindannyian egyetlen párt, a Kék Párt színeiben. (A Kék Pártnak egyetlen elnöke van.) A házszabály alapján egy parlamenti párt két pártra osztható a következő feltételek szerint:

  • A megszűnő párt elnöke nem lehet tagja az utódpártoknak, parlamenti mandátuma megszűnik, és nem választanak helyette új képviselőt (azaz a parlamenti képviselők száma csökken).
  • A többi párttag eldöntheti, hogy melyik utódpártnak lesz a tagja.
  • Mindkét utódpártnak legalább egy-egy képviselő tagja kell, hogy legyen.
  • Mindkét utódpártnak a párt képviselői közül egy-egy pártelnököt kell választania.

Ha legalább egy pártszakadás után minden utódpártnak ugyanannyi tagja van, akkor a parlamentet feloszlatják. Mi legyen az \(\displaystyle n\) értéke, hogy ez az eset ne fordulhasson elő?

(3 pont)

megoldás


B. 5015. Három egységsugarú kör átmegy egy közös ponton. Második metszéspontjaik \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\). Mekkora az \(\displaystyle ABC\) kör sugara?

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(3 pont)

megoldás


B. 5016. Adott egy \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög. Úgy jelöljük ki az \(\displaystyle AD\) oldal \(\displaystyle E_1\), a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle F_1\), az \(\displaystyle AC\) átló \(\displaystyle E_2\) és a \(\displaystyle BD\) átló \(\displaystyle F_2\) pontját, hogy

\(\displaystyle AE_1:E_1D=BF_1:F_1C=AE_2:E_2C=BF_2:F_2D=AB:CD. \)

Tudjuk, hogy semelyik két pont nem esik egybe. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle E_1F_1\) és \(\displaystyle E_2F_2\) egyenesek merőlegesek egymásra.

(4 pont)

megoldás


B. 5017. Van-e olyan \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) függvény, amely teljesíti a következő tulajdonságokat?

(1) \(\displaystyle x_1\ne x_2\) esetén \(\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)\) teljesül,

(2) léteznek olyan \(\displaystyle a,b>0\) konstansok, melyekre bármely \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) esetén

\(\displaystyle f(x^2)- \big(f(ax+b)\big)^2\ge \frac14. \)

(4 pont)

megoldás


B. 5018. A szultán birodalmának mind az 1024 matematikusát börtönbe zá­ratta. Mindegyikük csak a saját réztalléros érméjét tarthatta meg. A matematikusok tudják, hányan vannak, de semmiféle módon nem képesek kommunikálni egymással.

A szultán a születésnapján nagy kegyesen a következő játékot ajánlotta a matematikusoknak: az udvaron egyenként vagy 0-t, vagy 1-et mondanak. Ha a mondott számok összege 1, akkor szabadon bocsátja őket.

(A matematikusok nem adhatnak jelet egymásnak, nem tudják, hogy őket hányadiknak vitték ki, vagy hogy az előttük az udvaron lévők mit csináltak.)

Mekkora eséllyel szabadulhatnak ki a matematikusok?

(5 pont)

megoldás


B. 5019. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögben \(\displaystyle AB+BC=AD+DC\) és \(\displaystyle {BA+AC}= {BD+DC}\) teljesül. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle ABCD\) téglalap.

(6 pont)

megoldás


B. 5020. Tükrözzünk egy parabolát a fókuszán átmenő, tengelyével \(\displaystyle \alpha\) szöget bezáró egyenesre. Mutassuk meg, hogy a parabola és tükörképe \(\displaystyle \alpha\) szögben metszi egymást.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás


B. 5021. Legyen a 3-mal nem osztható \(\displaystyle n\) pozitív egész szám 3-mal osztva 1 maradékot adó pozitív osztóinak összege \(\displaystyle A(n)\), illetve 3-mal osztva 2 maradékot adó pozitív osztóinak összege \(\displaystyle B(n)\). Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle n\) számokat, melyekre \(\displaystyle \big|A(n)-B(n)\big|<\sqrt{n}\,\).

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


A. 746. Legyen \(\displaystyle p\) prímszám. Hány megoldása van az \(\displaystyle x^2+y^2+z^2+1\equiv 0\pmod{p}\) kongruenciának a modulo \(\displaystyle p\) maradékosztályok körében?

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A. 747. Egy \(\displaystyle n\) csúcsú egyszerű gráfban bármely \(\displaystyle k\) csúcsnak páratlan sok közös szomszédja van. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle n+k\) csak páratlan lehet.

Javasolta: Imolay András, Matolcsi Dávid, Schweitzer Ádám és Szabó Kristóf (Budapest)

(7 pont)


A. 748. Rögzített az \(\displaystyle \Omega\) kör és belsejében az \(\displaystyle \omega\) kör. Az egymástól különböző \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) pontok úgy mozognak az \(\displaystyle \Omega\) kerületén, hogy az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle DE\) szakaszok érintik \(\displaystyle \omega\)-t. Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek a \(\displaystyle P\) pontban, a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle DE\) egyenesek a \(\displaystyle Q\) pontban metszik egymást. Legyen \(\displaystyle R\) a \(\displaystyle BCP\) és \(\displaystyle CDQ\) körök második, \(\displaystyle C\)-től különböző metszéspontja. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle R\) egy körön vagy egy egyenesen mozog.

Javasolta: Carlos Yuzo Shine (Sao Paolo)

(7 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)