Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


K. 629. Hét kiskacsa slattyog a tó felé egymás mögött: Lópi, Hápi, Tápi, Kepi, Bipi, Pepi és Szipi. Minden nap ugyanabban a sorrendben szoktak menni, de most fordított sorrendben sorakoztak föl egymás mögött. A következőket tudjuk a jelenlegi sorrendjükről:

A Lópi előtt menő kacsák hatféle sorrendben rendeződhetnének egyes oszlopba.

Bipi előtt feleannyian mennek, mint mögötte.

Pepi és Tápi között egy híján kétszer annyi kacsa megy, mint Szepi és Hápi között.

Kepi mögött megy Hápi és Tápi is.

Milyen sorrendben szoktak haladni a kacsák a tóra?

(6 pont)

megoldás


K. 630. Egy parti végén, mikor már mindenki indul hazafelé, a nők a nőkkel, a férfiak a férfiakkal kezet fognak. A búcsúzkodás közben betoppan a házigazda egyik barátja, aki mindazokkal kezet fog (férfiakkal és nőkkel is), akiket ismer. Összesen 83 kézfogás történt. Tudjuk, hogy a partin résztvevő férfiak közül 5-nek ott volt a felesége is. Hány embert ismerhet a házigazda betoppanó barátja?

(6 pont)

megoldás


K. 631. Indokoljuk lépésről lépésre, hogy igaz a következő állítás: ha tíz pozitív egész szám szorzata három nullára végződik, akkor van közöttük hat olyan szám, amelyek szorzatára ugyanez teljesül.

(6 pont)

megoldás


K. 632. Egy apa egy kosár szilvát osztott szét a fiai között a következő módon: az elsőnek adott 2-t, és a maradék \(\displaystyle n\)-ed részét, a másodiknak 4-et és a maradék \(\displaystyle n\)-ed részét, a harmadiknak 6-ot és a maradék \(\displaystyle n\)-ed részét, és így tovább. Az utolsó részt magának tartotta meg. Az osztozkodás végére az derült ki, hogy mindenki egyforma mennyiségű szilvát kapott. Mennyi legyen \(\displaystyle n\) értéke, hogy a fenti osztozkodás megvalósítható legyen, ha legalább 2 fia van az apának?

(6 pont)

megoldás


K. 633. Dorka gondolt egy egész számra, amely legalább 3 és legfeljebb 25. Annának megmondta, hogy az a szám négyzetszám-e, prím-e, és 5 többszöröse-e. Anna a válaszokból már egyértelműen tudta, hogy Dorka melyik számra gondolt. Melyik számra gondolhatott Dorka?

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


C. 1560. Egy iskola hat osztálya kirándulni megy Pécsre, Szegedre, Debrecenbe vagy Miskolcra. (Egy osztály csak egy városba látogat el.) Mindegyik helyszínre legalább egy osztálynak kell utaznia. Hányféleképpen választhatnak úti célt?

(5 pont)

megoldás


C. 1561. Mekkorák lehetnek egy háromszög szögei, ha a háromszögbe írt kör érintési pontjai által meghatározott háromszög hasonló az eredetihez?

(5 pont)

megoldás


C. 1562. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle n\) egész szám esetén \(\displaystyle n^2+1\) osztható 5-tel, akkor az \(\displaystyle {(n-1)}^2+1\) és \(\displaystyle {(n+1)}^2+1\) számok közül az egyik szintén osztható 5-tel.

(5 pont)

megoldás


C. 1563. Egy félszabályos háromszöget elforgatunk a derékszögű csúcsa körül \(\displaystyle 30^{\circ}\)-kal, majd újra \(\displaystyle 30^{\circ}\)-kal. Mekkora a három háromszög közös része által alkotott síkidom területe? (Félszabályosnak hívunk egy háromszöget, ha szögei \(\displaystyle 30^{\circ}\), \(\displaystyle 60^{\circ}\), illetve \(\displaystyle 90^{\circ}\).)

(5 pont)

megoldás


C. 1564. Egy \(\displaystyle 6 \times 6\)-os négyzetrácsot rácsvonalak mentén \(\displaystyle n\) darab különböző területű téglalapra bontottunk föl. Adjunk példát a fölbontásra minden lehetséges \(\displaystyle n>1\) érték esetén.

(5 pont)

megoldás


C. 1565. Egy trapéz oldalai (valamilyen sorrendben) \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), illetve \(\displaystyle 6\) egység hosszúak. Adjuk meg a területének lehető legnagyobb értékét.

(5 pont)

megoldás


C. 1566. Kétgyermekes családok körében gyakoribb-e az, hogy a testvérek különböző neműek, mint az, hogy azonos neműek? (Feltesszük, hogy minden gyermeknél \(\displaystyle p\) a valószínűsége annak, hogy fiú születik.)

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


B. 5046. Legyen \(\displaystyle n\ge3\), és tekintsük azt a gráfot, amelynek csúcsai az \(\displaystyle (i,j)\) rácspontok, ahol \(\displaystyle 1\le i,j\le n\), és a különböző \(\displaystyle (i,j)\) és \(\displaystyle (k,l)\) pontokat akkor kötjük össze éllel, ha \(\displaystyle i^2+j^2+k^2+l^2\) osztható \(\displaystyle 3\)-mal. Mely \(\displaystyle n\)-ekre lehet a gráf éleit úgy bejárni, hogy mindegyik élen pontosan egyszer haladunk át?

Javasolta: Pálfy Máté (Budapest)

(4 pont)

megoldás


B. 5047. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben a \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle AC\) befogó belsejében, az \(\displaystyle E\) pont az \(\displaystyle AB\) átfogó \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán helyezkedik el. Az \(\displaystyle ADE\) és a \(\displaystyle BCE\) kör második, \(\displaystyle E\)-től különböző metszéspontja \(\displaystyle F\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CFD\sphericalangle=90^\circ\).

(4 pont)

megoldás


B. 5048. Egy konvex sokszög alapú gúla oldallapjainak területe egyenlő. Válasszuk ki az alaplap egy tetszőleges pontját, majd tekintsük a pontnak az oldallapoktól vett távolságainak az összegét. Bizonyítsuk be, hogy ez az összeg nem függ a pont választásától.

(Horvát feladat)

(3 pont)

megoldás


B. 5049. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan pozitív egész \(\displaystyle (a,b)\) pár létezik, amelyre

\(\displaystyle 2019 < \frac{2^a}{3^b} < 2020. \)

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás


B. 5050. Oldjuk meg a

\(\displaystyle \cos3x+\cos^2x=0 \)

egyenletet.

(3 pont)

megoldás


B. 5051. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög oldalai \(\displaystyle AB=8\), \(\displaystyle BC=5\), \(\displaystyle CD=17\) és \(\displaystyle DA= 10\). Az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle BE:ED=1:2\). Mekkora a négyszög területe?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás


B. 5052. Kezdő és Második egy kezdetben üres \(\displaystyle 19\times 19\)-es táblázat mezőibe ír felváltva egy-egy számot, 0-t vagy 1-et. Amikor már az összes mező ki van töltve, kiszámolják a sorösszegeket és az oszlopösszegeket. A legnagyobb sorösszeg legyen \(\displaystyle A\), a legnagyobb oszlopösszeg pedig \(\displaystyle B\). Ha \(\displaystyle A>B\), akkor Kezdő nyer; ha \(\displaystyle A<B\), akkor Második; ha pedig \(\displaystyle A=B\), akkor döntetlen a játék eredménye. Van-e valakinek nyerő stratégiája?

(6 pont)

megoldás


B. 5053. Az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder beírt gömbjét jelölje \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle BCD\) laphoz írt gömbjét \(\displaystyle G_A\). A \(\displaystyle G\) lapsíkokon levő érintési pontjai által meghatározott tetraéder legyen \(\displaystyle T\), míg \(\displaystyle G_A\) lapsíkokon levő érintési pontjai által meghatározott tetraéder legyen \(\displaystyle T_A\). Mutassuk meg, hogy a gömbök és a tetraéderek térfogataira

\(\displaystyle \frac{V^3(T)}{V^3(T_A)}=\frac{V^2(G)}{V^2(G_A)}. \)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


A. 758. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben \(\displaystyle AB=BC=\frac1{\sqrt2}DA\), és az \(\displaystyle ABC\sphericalangle\) derékszög. A \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle C\) merőleges vetülete \(\displaystyle AD\)-re \(\displaystyle F\), és \(\displaystyle B\) merőleges vetülete \(\displaystyle CD\)-re \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle H\) középpontú \(\displaystyle BCF\) kör és a \(\displaystyle BG\) egyenes 2. metszéspontja \(\displaystyle K\), a \(\displaystyle BHC\) kör és a \(\displaystyle HK\) egyenes 2. metszéspontja \(\displaystyle L\). \(\displaystyle BL\) és \(\displaystyle CF\) metszéspontja \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle BFM\) háromszög Feuerbach-körének középpontja \(\displaystyle N\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle BNE\sphericalangle\) derékszög.

Javasolta: Fehér Zsombor (Cambridge)

(7 pont)


A. 759. Véletlenszerűen kiválasztjuk (egyenletes eloszlással) az \(\displaystyle 1, 2,\ldots,n\) számok egy permutációját. Bizonyítandó, hogy a permutációban a leghosszabb növő részsorozat hosszának várható értéke legalább \(\displaystyle \sqrt{n}\,\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(7 pont)


A. 760. Egy bűvész és a segédje a következő trükköt hajtja végre.

Legyen \(\displaystyle k\) egy pozitív egész. Egy néző \(\displaystyle n=k!+k-1\) darab golyót kap, melyek az \(\displaystyle 1, 2,\ldots, n\) számokkal vannak ellátva. A bűvész szemét bekötik, és a néző sorba rakja a golyókat. A segéd megnézi golyókat, kiválaszt \(\displaystyle k\) egymás mellett lévő golyót, és letakarja egy kendővel. Ezután a bűvész szeméről leveszik a kötést, aki megnézi a golyók sorozatát, és megmondja a letakart golyók pontos sorrendjét.

Adjunk meg egy stratégiát a bűvész és a segédje számára, amely mindig működik.

(Egzisztenciabizonyításra csak részpontszám jár. Teljes pontszám konstruktív módszerre adható, amely \(\displaystyle n\) függvényében polinomiális lépésszámban megadja a módszert. Azt nem kell külön indokolni, hogy a megadott konstruktív módszer polinomiális lépésszámmal fut.)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária) és Palmer Mebane (USA)

(7 pont)


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)