Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


K. 634. Egy négyzetrácsos papíron egységoldalú négyzetek vannak. Rácsvonalak mentén kijelölünk egy téglalapot. Szeretnénk egy olyan zárt töröttvonalat rajzolni a téglalapba a rácsvonalakon haladva, hogy az a téglalapból ne lépjen ki, de az összes olyan rácsponton pontosan egyszer menjen át, amely a téglalap belsejébe vagy a határára esik. Meg tudjuk-e rajzolni a kívánt töröttvonalat, ha a téglalap mérete:

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 2019\times2020\) egység;

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2018\times2020\) egység?

Adjuk meg a lehetséges töröttvonalak hosszát is.

(6 pont)

megoldás


K. 635. Vegyünk egy konkáv négyszöget, és rajzoljuk meg a négyszög belsejében haladó átlóját. Az átló két háromszögre vágja a négyszöget. Igazoljuk, hogy pontosan akkor egyenlő a két háromszög területe, ha ezen átló egyenese felezi a másik átlót.

(6 pont)

megoldás


K. 636. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számjegyet, melyre az \(\displaystyle \overline{xyxyxyxy}\) alakú tízes számrendszerbeli nyolcjegyű szám prímtényezős felbontásának leírásakor minden leírt, \(\displaystyle 0\)-tól különböző számjegy ugyanannyiszor szerepel. (A prímtényezős felbontás leírásakor az azonos prímtényezőket nem vonjuk össze hatvánnyá, hanem teljes szorzatként írjuk ki.)

(6 pont)

megoldás


K. 637. Az \(\displaystyle 12345678901234567890\ldots 1234567890\) számból, amely 2020 számjegyből áll, kihúzzuk a páratlan helyen álló számjegyeket. A megmaradó 1010 számjegyből kihúzzuk a páros helyen álló számjegyeket, majd a kapott 505 számjegyből ismét a páratlan helyen álló számjegyeket, és így váltogatva addig folytatjuk, amíg csak 1 számjegy marad. Melyik számjegyet húzzuk ki utoljára?

(6 pont)

megoldás


K. 638. Fibonacci-szerű sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, melyekben a harmadik tagtól kezdve minden tag az őt közvetlenül megelőző két tag összege. Fibonacci-szerű sorozat pl. az 1, 1-gyel kezdődő \(\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots\) sorozat (ezt nevezik Fibonacci-sorozatnak), de pl. az 1, 3-mal kezdődő \(\displaystyle 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, \dots\) sorozat is. Keressük meg azt a csupa pozitív egész számból álló Fibonacci-szerű sorozatot, melynek tagja a 2010, és a 2010 előtt a lehető legtöbb tagot tartalmazza.

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


C. 1567. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán:

\(\displaystyle 2x^2-4xy+4y^2-8x+16=0. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

megoldás


C. 1568. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle D\), \(\displaystyle AC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle DEB\) és \(\displaystyle DEC\) háromszögek körülírható köreinek középpontjai pedig rendre \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) (tegyük fel, hogy \(\displaystyle P\ne Q\)). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle PQ\) egyenes merőleges \(\displaystyle BC\)-re.

Javasolta: Hegedűs Dániel (Gyöngyös)

(5 pont)

megoldás


C. 1569. Egy 24 fős osztályban páratlan sok gyereket hívnak Zsófiának. Tudjuk, hogy közülük aki a névsorban legelöl van, az annyiadik a névsorban, ahány Zsófia van, aki pedig a harmadik, annak a sorszáma háromszor ennyi. Tudjuk továbbá, hogy a névsorban minden Zsófia előtt vagy után szintén Zsófia van. Határozzuk meg, hogy az osztálynévsor hányadik helyein szerepelnek Zsófiák.

Hommer László (Kemence) feladata nyomán

(5 pont)

megoldás


C. 1570. Egy hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\), szemközti csúcsait összekötő átlói egyenlő hosszúak. Igazoljuk, hogy a hatszög forgásszimmetrikus.

Javasolta: Fried Katalin (Budapest)

(5 pont)

megoldás


C. 1571. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázatba egymást követően beírjuk \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle n^2\)-ig a pozitív egész számokat: az első sorba 1-től \(\displaystyle n\)-ig; a második sorba (\(\displaystyle n+1\))-től \(\displaystyle 2n\)-ig; és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy az egyik átlóban szereplő számok összege ugyanakkora, mint a másik átlóban.

(5 pont)

megoldás


C. 1572. Az \(\displaystyle ABCD\) trapézban jelöljük az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontját \(\displaystyle M\)-mel, az \(\displaystyle ABC\), illetve az \(\displaystyle ACD\) háromszögek körülírt köreinek középpontjait rendre \(\displaystyle N\)-nel, illetve \(\displaystyle P\)-vel. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) pontosan akkor esik egy egyenesre, ha \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma vagy húrtrapéz.

(5 pont)

megoldás


C. 1573. Mutassuk meg, hogy a

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n} \)

összeg osztható \(\displaystyle 23\)-mal minden pozitív egész \(\displaystyle n\) szám esetén.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


B. 5054. Vannak-e olyan \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egész számok, amelyekre

\(\displaystyle 20^k+19^k=2019^n-10^n? \)

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(4 pont)

megoldás


B. 5055. Adott a síkon a \(\displaystyle k\) kör. Mi azon háromszögek magasságpontjainak mértani helye, amelyeknek \(\displaystyle k\) a körülírt köre?

(3 pont)

megoldás


B. 5056. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f(x)=x^2+bx+c\) másodfokú függvényt. Tudjuk, hogy \(\displaystyle f\) zérushelyei a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) különböző prímszámok, továbbá \(\displaystyle f(p-q)=6pq\). Határozzuk meg a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) prímszámokat, valamint írjuk fel az \(\displaystyle f\) függvényt.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

megoldás


B. 5057. Az \(\displaystyle AB\) átfogójú derékszögű háromszög \(\displaystyle BC\) befogóján vegyük fel a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle DAC\sphericalangle= EAD\sphericalangle= BAE\sphericalangle\). A \(\displaystyle C\) csúcsból az \(\displaystyle AD\) szakaszra, a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\) átfogóra bocsátott merőleges talppontjai rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle K\). Az \(\displaystyle AE\) szakaszt a \(\displaystyle CK\) egyenes a \(\displaystyle H\) pontban, a \(\displaystyle H\) ponton keresztül az \(\displaystyle AD\)-vel húzott párhuzamos a \(\displaystyle BC\) szakaszt az \(\displaystyle M\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CHM\) háromszög körülírt körének középpontja az \(\displaystyle F\) pont.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás


B. 5058. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében vegyünk fel egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontot. Az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesek a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontokban metszik. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac{AP}{A_1P}\cdot\frac{BP}{B_1P}\cdot\frac{CP}{C_1P}\ge 8. \)

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)


B. 5059. Legyen valamely pozitív egész \(\displaystyle c\)-re \(\displaystyle \{ a_n\}\) a következő, rekurzív módon definiált sorozat: \(\displaystyle a_0=c\) és \(\displaystyle a_{n+1} = \big[ a_{n} + \sqrt{a_{n}}\,\big]\), ha \(\displaystyle n \ge 0\). Bizonyítsuk be, hogy ha a sorozat tagja a \(\displaystyle 2019\), akkor a korábbi tagok között nincs négyzetszám, de a későbbi tagok között végtelen sok négyzetszám fordul elő.

(5 pont)


B. 5060. Adott a \(\displaystyle \Sigma\) síkon egy \(\displaystyle k\) körvonal, és a belsejében egy \(\displaystyle P\) pont, amely nem esik egybe \(\displaystyle k\) középpontjával. Nevezzük a tér egy \(\displaystyle \Sigma\)-ra nem illeszkedő \(\displaystyle O\) pontját jó vetítő középpontnak, ha létezik olyan, \(\displaystyle O\)-ra nem illeszkedő \(\displaystyle \Sigma'\) sík, hogy a \(\displaystyle \Sigma\) pontjait \(\displaystyle O\)-ból \(\displaystyle \Sigma'\)-re vetítve a \(\displaystyle k\) kör vetülete szintén körvonal, és ennek a körvonalnak a középpontja \(\displaystyle P\) vetülete. Mutassuk meg, hogy a jó vetítő középpontok egy körön vannak.

(6 pont)


B. 5061. Egy \(\displaystyle f\colon \mathbb R \to \mathbb R\) függvényt nevezzünk területtartónak, ha tetszőleges \(\displaystyle a<b<c\) és \(\displaystyle x\) esetén az \(\displaystyle \big(a;f(a)\big)\), \(\displaystyle \big(b;f(b)\big)\) és \(\displaystyle \big(c;f(c)\big)\) pontok által meghatározott háromszög területe megegyezik az

\(\displaystyle \big(a+x;f(a+x)\big),\ \ \big(b+x;f(b+x)\big) \text{ \ és \ } \big(c+x;f(c+x)\big) \)

pontok által meghatározott háromszög területével.

Mely folytonos \(\displaystyle f\) függvények területtartóak?

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


A. 761. Legyen \(\displaystyle n \ge 3\) pozitív egész szám. Pozitív egészek egy \(\displaystyle S\) halmazát jónak nevezzük, ha \(\displaystyle S\) elemeinek száma \(\displaystyle n\), \(\displaystyle S\) egyik eleme sem osztható \(\displaystyle n\)-nel és az \(\displaystyle S\) halmaz elemeinek összege sem osztható \(\displaystyle n\)-nel. Legyen \(\displaystyle d\) az a legkisebb pozitív egész szám, melyre létezik olyan jó \(\displaystyle S\) halmaz, melynek pontosan \(\displaystyle d\) darab nemüres részhalmazában osztható \(\displaystyle n\)-nel a részhalmaz elemeinek összege. Határozzuk meg \(\displaystyle d\)-t (\(\displaystyle n\) függvényében).

Javasolta: Aleksandar Makelov (Burgas, Bulgaria) és
Nikolai Beluhov (Stara Zagora, Bulgaria)

(7 pont)


A. 762. A Négyszögletű Kerek Erdőben \(\displaystyle n\) különböző (pontszerű) fa található, semelyik három nem esik egyenesre. Mikkamakka az erdőről fényképeket készít, melyeken az összes fa látható (úgy, hogy a képeken a fák nem lehetnek egymás mögött). Legfeljebb hány különböző sorrendben szerepelhetnek a fák a készített képeken?

Javasolta: Mészáros Gábor (Sunnyvale, Kalifornia)

(7 pont)


A. 763. Legyen \(\displaystyle k\ge 2\) egész szám. \(\displaystyle n\) darab golyó tömegét szeretnénk kideríteni. Egy mérés során két golyót választhatunk, és elárulják nekünk a két választott golyó tömegének az összegét. Tudjuk, hogy a kapott válaszok között legfeljebb \(\displaystyle k\) hibás lehet. Jelölje \(\displaystyle f_k(n)\) a legkisebb számot, melyre igaz, hogy \(\displaystyle f_k(n)\) méréssel biztosan ki tudjuk találni a golyók tömegét (a méréseket nem kell előre eldönteni). Bizonyítandó, hogy léteznek olyan \(\displaystyle a_k\) és \(\displaystyle b_k\) számok, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle \big|f_k(n)-a_kn\big|\le b_k\).

Javasolta: Surányi László (Budapest) és Virág Bálint (Toronto)

(7 pont)


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)