Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


K. 649. Egy gyorsvonat és egy személyvonat egymással szemben halad két párhuzamos vágányon. A vonatok egyforma hosszúak. A sínpályán van egy alagút, amelynek két bejáratához egyszerre érnek a vonatok. A gyorsvonat innen számítva 3 másodperc, a személyvonat 6 másodperc alatt ér be teljes terjedelmében az alagútba. A vonatok az alagútban az alagút elérésének pillanatától számítva 18 másodperc múlva találkoznak egymással. Hány másodperc alatt haladnak el egymás mellett? A találkozástól számítva hány másodperc elteltével ér ki a gyorsvonat, illetve a személyvonat az alagútból teljes terjedelmében?

(6 pont)

megoldás


K. 650. Az ábrán látható kis négyzet oldala 3 cm, a nagy téglalap oldalai egész számok, és az egyik 2 cm-rel hosszabb a másiknál. A téglalap és a négyzet oldalai párhuzamosak, középpontjuk egybeesik. A satírozott terület úgy keletkezett, hogy a kis négyzet oldalait meghosszabbítottuk az egyik irányba, és ahol a nagy téglalap oldalait ezek elmetszették, azokat a pontokat kötöttük össze. Lehet-e a satírozott terület nagysága (cm\(\displaystyle {}^2\)-ben mérve) páros szám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 651. Az ábrán látható területekre teljesül, hogy \(\displaystyle T_1 : T_2 : T_3 = 2:7:3\). Mennyi az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\), illetve az \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle v\) szakaszok aránya?

(6 pont)

megoldás


K. 652. Egy dobozban sárga, kék és piros golyók vannak, mindegyikből 10-10 darab. Hányféleképpen oszthatjuk szét ezeket egy 10-es és egy 20-as csoportra úgy, hogy mindkét csoportban mindegyik színű golyóból legyen legalább egy? (Az azonos színű golyókat nem tudjuk egymástól megkülönböztetni.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 653. Tudjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=b\) és \(\displaystyle a, b > 1\) egész számok. Adjuk meg \(\displaystyle a+b\) minimális értékét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


C. 1588. Legyenek az \(\displaystyle ABCD\) négyszög \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AD\) oldalainak \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontjai \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja pedig \(\displaystyle G\). Tükrözzük a \(\displaystyle G\) pontot \(\displaystyle E\)-re, majd az így kapott tükörképet \(\displaystyle F\)-re. Igazoljuk, hogy a kapott tükörkép ráesik a négyszög valamely oldalára. Melyik oldalon van, és milyen arányban osztja azt?

(5 pont)

megoldás


C. 1589. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle {(y^2+y-x-1)}^2+\left(x+\frac1x \right)^{2}=4. \)

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás


C. 1590. Oldjuk meg a pozitív egész számokból álló számhármasok halmazán az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle {(a+1)}^4\cdot {(b+1)}^4\cdot {(c+1)}^4=(40a+1)\cdot(40b+1)\cdot(40c+1). \)

(5 pont)

megoldás


C. 1591. Egy hajó koordinátái \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=0\). A szemközti tengerpart az \(\displaystyle y= \sqrt{2x+1}\) egyenletű görbe mentén húzódik. Mekkora szögben térjen el a hajó az északi iránytól, ha azt szeretnénk, hogy a part legközelebbi pontját egyenes úton elérje? (Tegyük föl, hogy az \(\displaystyle x\) tengely kelet irányába mutat.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1592. Angliában két jóbarát elindult megkeresni egyikük elveszett jegygyűrűjét. Azt ugyan nem találták meg, de a fémkeresővel néhány VIII. Henrik idejéből származó aranypénzre bukkantak, amelyek \(\displaystyle 100\,000\) fontot hoztak a két jóbarátnak. A kitűnő állapotban megmaradt 1 fontos érmék évi átlagos értéknövekedése az 500 év alatt 1,42% és 1,43% között volt. Hány érmét találhattak?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1593. Egy háromszög két oldala 3 cm, illetve 4 cm hosszú. Mekkora a két oldal által bezárt szög, ha a hozzájuk tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1594. Egy rendezvény nézőterének első sorában 24 szék van. Ezek közül 20 már foglalt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy van 2 üres hely egymás mellett?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


B. 5078. Definiáljuk az \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots\) sorozatot a következő rekurzióval:

\(\displaystyle a_1=1, \quad a_n=\frac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}),\quad\text{ha \(\displaystyle n>1\).} \)

Határozzuk meg \(\displaystyle a_{2020}\) értékét.

(4 pont)

megoldás


B. 5079. Oldjuk meg a valós számok halmazán a

\(\displaystyle \log_2 \log_3 x+\log_3\log_2 x=\log_2\frac{6}{\log_2 3} \)

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5080. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle AB\) alapjának felezőpontja \(\displaystyle D\), \(\displaystyle AC\) szárának \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle H\). A \(\displaystyle BCH\) kör a \(\displaystyle CD\) egyenest a \(\displaystyle C\) és az \(\displaystyle X\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CX=\frac 43r\), ahol \(\displaystyle r\) az \(\displaystyle ABC\) kör sugara.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5081. Egy háromszögben az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalakhoz tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \frac 12<\frac ab<2\).

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5082. Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszögben a magasságok mértani, számtani és négyzetes közepe rendre nem nagyobb a hozzáírt körök sugarainak a mértani, számtani, illetve négyzetes közepénél.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5083. Van-e olyan 100-adfokú valós együtthatós \(\displaystyle p(x)\) polinom, melyre a \(\displaystyle p\big(p(x)\big)\) polinomnak 10000 különböző valós gyöke van?

(5 pont)

megoldás


B. 5084. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, és legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) az \(\displaystyle n\) hosszú \(\displaystyle 0-1-2\) sorozatok halmaza. Határozzuk meg, hogy mely \(\displaystyle \emptyset\ne A\subseteq \mathcal{S}\) halmazok rendelkeznek a következő tulajdonsággal: bárhogyan is választunk egy

\(\displaystyle (c_1,c_2,\ldots,c_n)\in \mathcal{S}\setminus \big\{(0,0,\ldots,0)\big\} \)

vektort, az \(\displaystyle A\) halmaz egy véletlenszerűen választott \(\displaystyle (a_1,a_2,\ldots,a_n)\) elemére a \(\displaystyle c_1a_1+c_2a_2+\ldots+c_na_n\) szorzatösszegnek \(\displaystyle 1/3\)–\(\displaystyle 1/3\) valószínűséggel lesz \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), illetve \(\displaystyle 2\) a hármas maradéka.

Kürschák feladat alapján

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5085. Mutassuk meg, hogy a szabályos hétszöget fel lehet darabolni véges sok, egymáshoz hasonló szimmetrikus trapézra.

Javasolta: Laczkovich Miklós (Budapest)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


A. 769. Határozzuk meg azokat a három különböző pozitív egész számból álló \(\displaystyle (a,b,c)\) számhármasokat, melyekhez létezik olyan \(\displaystyle H\) részhalmaza a pozitív egész számoknak, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re az \(\displaystyle an\), \(\displaystyle bn\), \(\displaystyle cn\) számok közül pontosan egy van benne a \(\displaystyle H\) halmazban.

Javasolta: Carl Schildkraut (Massachussets Institute of Technology)

(7 pont)

statisztika


A. 770. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle n\) pozitív egészeket, melyekre \(\displaystyle n!\) két Fibonacci-szám szorzata.

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 771. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre \(\displaystyle \omega\), mely a \(\displaystyle BC\) oldalt a \(\displaystyle D\) pontban érinti. Az \(\displaystyle AD\) egyenes második metszéspontja az \(\displaystyle \omega\) körrel legyen \(\displaystyle G\). Az \(\displaystyle \omega\) körhöz a \(\displaystyle G\) pontban húzott érintő messe az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalakat rendre az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\) pontban. A \(\displaystyle DEF\) körülírt körének \(\displaystyle D\)-től különböző metszéspontja \(\displaystyle \omega\)-val legyen \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle BCG\) körülírt körének a \(\displaystyle G\)-től különböző metszéspontja \(\displaystyle \omega\)-val legyen \(\displaystyle N\). Bizonyítandó, hogy az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle MN\) egyenesek párhuzamosak.

Javasolta: Győrffy Ágoston (Remeteszőlős)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)