Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


K. 654. Egy összejövetelen 20 ember vett részt. Menet közben az derült ki, hogy mindenki pontosan 13 embert ismer a résztvevők közül (az ismeretség kölcsönös). Hány közös ismerőse van a jelenlevők között a társaság két tetszőlegesen kiválasztott tagjának, ha a közös ismerőseik száma a lehető legkevesebb?

(6 pont)

megoldás


K. 655. Az \(\displaystyle \overline{ABCD}\), \(\displaystyle \overline{BCBA}\), \(\displaystyle \overline{BDAB}\) és \(\displaystyle \overline{DDAD}\) négyjegyű számok különböző négyjegyű prímek (a különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek). Melyek ezek a számok? Annak ellenőrzésére, hogy egy konkrét négyjegyű szám prímszám-e, használható a http://matek.com/szamok/primszamok weboldal.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 656. Adott egy 21 cm-szer 29 cm méretű, téglalap alakú papírlap. Hogyan lehet vele kimérni

\(\displaystyle a)\) pontosan 3 cm-es távolságot

\(\displaystyle b)\) pontosan 1 cm-es távolságot

minden egyéb segédeszköz felhasználása nélkül? (A papírlap hajtogatása megengedett.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 657. Adjuk meg \(\displaystyle 1\)–\(\displaystyle 10\,000\)-ig a \(\displaystyle 99\) összes olyan többszörösét, amely számjegyeinek összege nem osztható \(\displaystyle 18\)-cal.

(6 pont)

megoldás


K. 658. Két egyforma téglalap alapterületű szobát \(\displaystyle 25~\mathrm{cm}\times40~\mathrm{cm}\)-es padló­lapokkal burkolnak be teljesen a padlólapok vágása nélkül. Az egyik szobában a hosszabbik falszakasszal párhuzamosan rakják a padlólap 40 cm-es oldalát, a másik szobában pedig a rövidebbik fallal párhuzamosan. Az egyik szobában a hosszabbik fal mellé 9-cel kevesebb lap került, mint a másik szobában, a rövidebbik fal mellé pedig 6-tal több, mint a másikban. Hány méter hosszúak a két szoba alapjának oldalai?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


C. 1595. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló \(\displaystyle (x,y)\) számpárt, amire

\(\displaystyle \frac1x+\frac1y=\frac{2}{1893}. \)

Javasolhatta volna: Cafenát-Pahneákh (Théba, Egyiptom)

(5 pont)

megoldás


C. 1596. Egy háromszög oldalai 5 cm, 5 cm és 6 cm hosszúak. A háromszögbe írható körnek az oldalakkal párhuzamos érintői és az oldalak egy hatszöget zárnak közre. Mekkora ennek a területe?

(5 pont)

megoldás


C. 1597. Hány különböző olyan derékszögű háromszög létezik, melynek oldalai egész mérőszámúak és az egyik oldal hossza \(\displaystyle 2^n\) (\(\displaystyle n\) pozitív egész, a választ \(\displaystyle n\) függvényében adjuk meg)?

(5 pont)

megoldás


C. 1598. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalainak felezőpontjait összekötő \(\displaystyle MN\) szakasz hossza az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalak hosszának számtani közepe. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög trapéz.

(5 pont)

megoldás


C. 1599. Oldjuk meg a természetes számpárok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle 2y^2-2x^2-3xy+3x+y=13. \)

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1600. Oldjuk meg a valós számok halmazán a

\(\displaystyle 4^x+9^x+36^x+\sqrt{\frac12-2x^2}=1 \)

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1601. Egy szabályos négyoldalú gúla oldallapjának magassága kétszerese az alaplap élének. Az alaplap síkjától számítva a magasság hány százalékánál kell az alaplap síkjával párhuzamosan kettévágni a gúlát ahhoz, hogy a keletkezett csonkagúla palástjának és fedőlapjának területe összesen pont fele legyen az eredeti gúla palástja területének?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


B. 5086. Oldjuk meg az \(\displaystyle \big(x^3-y^2\big)^2= \big(x^2-y^3\big)^2\) egyenletet az egész számpárok halmazán.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5087. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet egy belső \(\displaystyle P\) pontjának távolsága az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) csúcsoktól rendre \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle \sqrt2\), illetve \(\displaystyle 2\). Számítsuk ki az \(\displaystyle APB\) szög nagyságát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5088. Adott \(\displaystyle G\) számhalmazhoz a \(\displaystyle k>1\) pozitív egész érdekes, ha a \(\displaystyle G\) halmazban van \(\displaystyle k\) különböző olyan elem, amelyek átlaga szintén a \(\displaystyle G\) halmazba esik.

Legyen a \(\displaystyle H=\{1;3;4;9;10;\ldots\}\) halmaz azon számok halmaza, amelyek előállnak néhány különböző 3-hatvány összegeként.

\(\displaystyle a)\) Mely \(\displaystyle k>1\) számok érdekesek a \(\displaystyle H\) halmazhoz?

\(\displaystyle b)\) Legyen \(\displaystyle c \notin H\) tetszőleges pozitív egész. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle H'=H \cup \{c\}\) halmazhoz minden \(\displaystyle k>1\) szám érdekes.

(5 pont)

megoldás


B. 5089. Egy tetraéder két kitérő éle egymásra merőleges, hosszuk 12 és 13, egyeneseik távolsága 14 egység. Határozzuk meg a tetraéder térfogatát.

(3 pont)

megoldás


B. 5090. Egy szabályos érme egyik felén \(\displaystyle +1\), másik felén \(\displaystyle -1\) szerepel. Egymás után \(\displaystyle n\)-szer feldobjuk az érmét, és egy sorba lejegyezzük az \(\displaystyle n\) db eredményt. Ezután bármely két szomszédos szám alá leírjuk a szorzatukat, így egy újabb számsorhoz jutunk, ami már csak \(\displaystyle (n-1)\) db számból áll. Ezt a műveletet többször is végrehajtjuk, egészen addig, amíg egy egyetlen számból álló sorhoz nem jutunk. Mennyi az így kapott számháromszögben lévő \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\) darab szám összegének a várható értéke?

(3 pont)

megoldás


B. 5091. Az \(\displaystyle A_1A_2\ldots A_{12}\) szabályos 12-szögben legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle A_1A_8\) és \(\displaystyle A_6A_{11}\) átlók metszéspontja, továbbá \(\displaystyle R\) az \(\displaystyle A_7A_8\) és \(\displaystyle A_9A_{11}\) egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PR\) egyenes harmadolja az \(\displaystyle A_1A_4\) átlót.

Bíró Bálint (Eger) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5092. Kiszámoltuk a \(\displaystyle \{0,1,\dots,n-1\}\) halmaz összes részhalmazában az elemek összegét. Mi lehet \(\displaystyle n\) értéke, ha a kapott \(\displaystyle 2^n\) darab összegnek pontosan az \(\displaystyle n\)-edrésze osztható \(\displaystyle n\)-nel?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5093. Két egybevágó szabályos ötszög közös része egy tízszög, amelynek oldalai rendre \(\displaystyle a_1, a_2, \ldots, a_{10}\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle a_1a_3+a_3a_5+a_5a_7+a_7a_9+a_9a_1 = a_2a_4+a_4a_6+a_6a_8+a_8a_{10}+a_{10}a_2. \)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


A. 772. Van \(\displaystyle N\) ember, és mindegyik gondol egy véletlen egész számra 1 és 19 között (az 1-et és a 19-et is beleértve, nem feltétlenül egyforma eloszlással). A gondolt véletlen számok egymástól függetlenek, és minden emberre igaz, hogy mind a 19 számra legfeljebb 99% valószínűséggel gondol. Ezután összeadják a gondolt \(\displaystyle N\) darab számot, és veszik a kapott összeg 19-es maradékát. Bizonyítandó, hogy az így kapott eredmény eloszlása exponenciális sebességgel tart az egyenletes eloszláshoz, azaz létezik olyan \(\displaystyle 0<c<1\) valós szám, melyre teljesül, hogy az \(\displaystyle N\) darab véletlen szám összege mindegyik 19-es maradékot \(\displaystyle 1/19-c^N\) és \(\displaystyle 1/19+c^N\) közötti valószínűséggel veszi fel.

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)

statisztika


A. 773. Legyen \(\displaystyle n \ge 3\) egy pozitív egész szám, \(\displaystyle \sigma\) pedig a \(\displaystyle \{0, 1, \ldots, n - 1\}\) halmaz identitástól különböző olyan permutációja, melyre \(\displaystyle \sigma(0) = 0\). A \(\displaystyle C_\sigma\) titkosítás minden \(\displaystyle m\) pozitív egészt elkódol olyan módon, hogy az \(\displaystyle m\) szám \(\displaystyle n\)-es számrendszerben felírt alakjában minden egyes \(\displaystyle a\) számjegyet \(\displaystyle \sigma(a)\)-ra cserél. Legyen \(\displaystyle d\) egy \(\displaystyle n\)-nel nem osztható pozitív egész. Azt mondjuk, hogy a \(\displaystyle C_\sigma\) titkosítás kompatibilis \(\displaystyle d\)-vel, ha \(\displaystyle C_\sigma\) \(\displaystyle d\) minden többszörösét \(\displaystyle d\) többszörösévé kódolja el. A \(\displaystyle d\) számot titokzatosnak nevezzük, ha van hozzá olyan \(\displaystyle C_\sigma\) titkosítás, mely kompatibilis \(\displaystyle d\)-vel.

Legyen \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám, és legyen \(\displaystyle p=2^k+1\).

\(\displaystyle a)\) Keressük meg a \(\displaystyle 2\) legnagyobb hatványát, amely titokzatos a \(\displaystyle 2p\)-s számrendszerben, és bizonyítsuk be, hogy csak egy titkosítás kompatibilis vele.

\(\displaystyle b)\) Keressük meg a \(\displaystyle p\) legnagyobb hatványát, amely titokzatos a \(\displaystyle 2p\)-s számrendszerben, és bizonyítsuk be, hogy csak egy titkosítás kompatibilis vele.

\(\displaystyle c)\) Tegyük fel, továbbá hogy a fenti \(\displaystyle p\) szám prímszám. Keressük meg a legnagyobb titokzatos számot a \(\displaystyle 2p\)-s számrendszerben, és bizonyítsuk be, hogy csak egy titkosítás kompatibilis vele.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)

(7 pont)


A. 774. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle O\), és \(\displaystyle D\) egy tetszőleges pont a körülírt körön. Legyen \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) a \(\displaystyle D\) pont merőleges vetülete rendre az \(\displaystyle OA\), \(\displaystyle OB\) és \(\displaystyle OC\) egyenesen. Bizonyítandó, hogy az \(\displaystyle XYZ\) háromszög beírt körének középpontja rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle D\) ponthoz tartozó Simson-egyenesén.

Javasolta: Fonyó Lajos (Keszthely)

(7 pont)


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)