Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő: 2020. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).


K. 669. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek szomszédos számjegyeiből kiolvasható az 1, 2, 3 számokból képezhető összes olyan háromjegyű szám, mely különböző számjegyekből áll?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.


K. 670. Nagymama két gyertyát vett, a piros színű 2 cm-rel hosszabb volt, mint a kék. Mindenszentek napján este 17 óra 30 perckor meggyújtotta a pirosat, 19 órakor a kéket, és égni hagyta őket, amíg el nem fogytak. A két gyertya egyforma hosszú volt 21 óra 30-kor. A piros 23 óra 30 perckor, a kék 23 órakor aludt el. Milyen hosszú volt a piros gyertya eredetileg?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.


K. 671. Melyik az a legkisebb prímszám, amelyik egy pozitív elemekből álló növekvő számtani sorozat 5. eleme és a sorozat azt megelőző elemei is prímek?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.


K. 672. Egy kiskert 16 parcellára van osztva az ábra szerint. Minden egyes parcellába rózsát, tulipánt, margarétát vagy gerberát ültetnek úgy, hogy minden parcellába csak egyféle virág kerüljön és minden sorban, minden oszlopban és minden átlóban lévő négy parcellában minden virágból legyen. Hányféleképpen lehet ezekkel a virágokkal a fenti módon beültetni a kertet? (Két ültetés különböző, ha van olyan parcella, melyben nem ugyanazok a virágok vannak.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.


K. 673. Egy osztály, melynek tanulói létszámát nem ismerjük, elhatározta, hogy karácsonyra mindenki mindenkinek vesz valami apró ajándékot, az őket tanító 11 tanárnak pedig közösen vesznek egy-egy ajándéktárgyat. Az ajándékozás sajnos elmaradt, ezért úgy döntöttek, hogy az ajándékokat szétosztják az osztály tanulóinak testvérei között igazságosan. (Minden testvér ugyanannyi ajándéktárgyat kap.) Lehetséges-e ez, ha 15 testvér van összesen?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.


C-jelű feladatok

A beküldési határidő: 2020. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).


C. 1630. Egy sakktábla fehér mezőire ráírtuk a számokat 1-től 32-ig úgy, hogy minden mezőbe csak egy számot írtunk, és az összes számot felhasználtuk. Ezt követően a fekete mezőkre beírtuk a szomszédos mezőkben található számok összegét. Mekkora a fekete mezőkbe írt számok összegének lehetséges legkisebb és legnagyobb értéke?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1–10. osztályosok küldhetik be.


C. 1631. Egy egységsugarú körön adott az \(\displaystyle AB\) húr. Erre két derékszögű háromszöget emelünk: \(\displaystyle ABC\)-t úgy, hogy \(\displaystyle C\) csúcsa a körön helyezkedik el és \(\displaystyle B\)-nél van a derékszög, az \(\displaystyle ABD\) háromszöget pedig úgy, hogy \(\displaystyle AB\) az átfogója, és egyenlő szárú. Mekkora az \(\displaystyle AB\) húr hossza, ha a két háromszög területe megegyezik? Mekkora ez a terület?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1–10. osztályosok küldhetik be.


C. 1632. Hány olyan különböző, pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat létezik, melynek elemei a 24, a 744 és a 2844 is? (Két számtani sorozatot különbözőnek tekintünk, ha különböző a kezdőelemük vagy a differenciájuk.)

(5 pont)


C. 1633. Egy egységnyi oldalú négyzet egyik oldalának belső pontja \(\displaystyle P\). Tekintsük azokat a \(\displaystyle P\) csúcsú paralelogrammákat, amelyek minden csúcsa a négyzet egy-egy különböző oldalára esik. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle P\) nem oldalfelező pont, akkor

\(\displaystyle (i)\) pontosan két téglalap van a paralelogrammák között, és

\(\displaystyle (ii)\) ezen két téglalap területének összege 1.

(5 pont)


C. 1634. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{1}{4} +\frac{1}{28} +\frac{1}{70} +\ldots +\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} +\ldots +\frac{1}{2017\cdot 2020} < \frac{1}{3}. \)

(5 pont)


C. 1635. Adott két egymást metsző kör. Egyik metszéspontjukon át szerkesszünk (körzővel, vonalzóval: papíron, vagy számítógépes geometriai szerkesztő programmal) olyan szelőt, amelynek a két kör által határolt szakaszát a kiszemelt metszéspont harmadolja. Írjuk le és indokoljuk a szerkesztés lépéseit (az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni).

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11–12. osztályosok küldhetik be.


C. 1636. Kosztolányi Dezső diákkorában néhány hetet Párizsban töltött. Hamar szembesült azzal, hogy rásóztak egy forgalomból kivont 10 fillérest. Persze szeretett volna megszabadulni az értéktelen pénztől, de mondani sem kell, hogy sikertelenül. Kosztolányi ezt annak tulajdonította, hogy a boltosok már az arcáról leolvasták a szándékát. Ezért azt eszelte ki, hogy a rossz érméhez hozzákevert kilenc jó 10 fillérest. Ezeket a zsebébe süllyeszti és oda se néz, amikor kiad egy-egy érmét. Végül a zsebében már csak egy darab maradt – a forgalomból kivont 10 filléres. Mekkora ennek a valószínűsége?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11–12. osztályosok küldhetik be.


B-jelű feladatok

A beküldési határidő: 2020. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).


B. 5126. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\ge 3\), akkor megadható \(\displaystyle n\) különböző pozitív egész szám úgy, hogy reciprokaik összege 1 legyen.

(3 pont)


B. 5127. Adott egy konvex szögtartomány és egy \(\displaystyle k\) hosszúságú szakasz. Mi a mértani helye azon \(\displaystyle P\) pontoknak a szögtartományban, amelyeken keresztül húzható olyan egyenes, amely éppen \(\displaystyle k\) kerületű háromszöget metsz ki az adott szögtartományból?

(4 pont)


B. 5128. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle (x,y)\) relatív prím egészekből álló számpárt, amelyre \(\displaystyle x^2 + x = y^3 + y^2\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(4 pont)


B. 5129. Két játékos az \(\displaystyle x^3+ax^2+bx+c\) polinom \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) együtthatói közül felváltva választ egyet, majd annak egy tetszőleges egész értékeket ad. Bizonyítsuk be, hogy a kezdő el tudja érni, hogy (a három lépés után) a polinom mindhárom gyöke egész szám legyen (vagyis a polinomot fel lehessen bontani három elsőfokú, egész együtthatós polinom szorzatára).

(3 pont)


B. 5130. Adott a síkban \(\displaystyle n\) pont úgy, hogy bármely \(\displaystyle k\) (\(\displaystyle k\ge 2\)) darabból kiválasztható kettő, amelyek távolsága legfeljebb egységnyi. Mutassuk meg, hogy a pontok lefedhetők \(\displaystyle k-1\) darab egységnyi sugarú körlappal.

(5 pont)


B. 5131. Legyen \(\displaystyle H\) egy egységnyi területű szabályos háromszög, \(\displaystyle O\) egy rögzített pont, s tetszőleges \(\displaystyle P\) pontra jelölje \(\displaystyle H_P\) a \(\displaystyle H\) háromszög \(\displaystyle \overrightarrow{OP}\)-vel vett eltoltját. Tekintsük azon \(\displaystyle P\) pontok \(\displaystyle N\) halmazát a síkon, amelyekre a \(\displaystyle H\cap H_P\) metszet területe legalább \(\displaystyle 4/9\). Mennyi \(\displaystyle N\) területe?

Vígh Viktor (Székkutas) ötlete alapján

(5 pont)


B. 5132. A, B és C-betűkből hány olyan 2021 hosszúságú szó készíthető, amelyben az A-betűk száma páros, és a B-betűk száma \(\displaystyle 3k+2\) alakú?

(6 pont)


B. 5133. Adott a térben hat pont, semelyik négy nem esik egy síkra. Bizonyítsuk be, hogy a pontok szétválaszthatók két hármas csoportra úgy, hogy az általuk meghatározott két háromszöglap messe egymást.

(6 pont)


A-jelű feladatok

A beküldési határidő: 2020. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).


A. 786. Egy origót tartalmazó konvex \(\displaystyle S\) alakzatban meg lehet rajzolni \(\displaystyle n\) darab diszjunkt egységkört úgy, hogy az origóból nézve semelyik egységkör se takarja ki semelyik másik egy darabját (vagy az egészet). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle S\) területe legalább \(\displaystyle n^2/100\) területegység.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(7 pont)


A. 787. Jelölje \(\displaystyle p_n\) az \(\displaystyle n\)-edik prímszámot, és legyen \(\displaystyle \nu\) egy adott pozitív irracionális szám. Legyen továbbá \(\displaystyle a_n=[p_n\nu]\). Egy \(\displaystyle k\) pozitív egész szám érdekes, ha \(\displaystyle p_i^{10}\mid \binom{2a_k}{a_k}\) teljesül minden \(\displaystyle i=1,2,\ldots,2020\) esetén. Lehetséges-e, hogy csak véges sok érdekes \(\displaystyle k\) létezik?

Javasolta: Abhishek Jha (Delhi, India) és Ayan Nath (Tezpur, India)

(7 pont)


A. 788. Oldjuk meg az

\(\displaystyle x+\frac1{x^3}=2y, \qquad y+\frac1{y^3}=2z, \qquad z+\frac1{z^3}=2w, \qquad w+\frac1{w^3}=2x \)

egyenletrendszert.

(7 pont)


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)