Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


K. 674. Anna néni udvarában 120 állat él: barna tyúkok, fehér kacsák, barna malacok és fehér nyulak. A fehér állatok száma 64, a kétlábú állatok száma 84. Kétszer annyi barna tyúk él itt, mint fehér nyúl. Melyik fajta állatból hány él Anna néni udvarában?

(6 pont)

megoldás


K. 675. Egy nagy cégnél karácsonyi partit rendeztek, és többen elvitték a házastársukat is magukkal. A partin 5-ször annyi férfi volt jelen, mint nő. Este 10 órakor néhány férfi a feleségével együtt hazaindult, ekkor a partin jelenlevő nők száma a jelenlevő férfiak számának hetedrészére csökkent. A férfiak hányadrésze ment haza 10 órakor?

(6 pont)

megoldás


K. 676. Egy \(\displaystyle 6\times6\)-os sakktáblát 18 darab \(\displaystyle 1\times2\)-es dominóval átfedés nélkül lefedünk. Mutassuk meg, hogy a sakktábla kettévágható egy egyenessel úgy, hogy az egyetlen dominót sem vág ketté.

(6 pont)

megoldás


K. 677. Az \(\displaystyle S\) számhalmaznak 5 eleme van. Az elemeket páronként összeadva a következő összegeket kapjuk: 0, 6, 11, 12, 17, 20, 23, 26, 32 és 37. Adjuk meg \(\displaystyle S\) elemeit.

(Texas Mathematical Olympiad)

(6 pont)

megoldás


K. 678. Az asztalon egy sorban egymás mellett fekszik 2020 db pénzérme váltakozva fej, írás, fej, írás, ... sorrendben. Egy lépésben egyszerre bármelyik három szomszédos pénzérmét átfordítjuk a másik oldalára. Elérhető-e ilyen lépések sorozatával, hogy minden pénzérme írást mutasson?

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


C. 1637. Sárkányországban minden hétfejű sárkány tüzet okád, de nem minden hétfejű tűzokádó lény sárkány. A legutóbbi lényszámlálás szerint az országban pont ugyanannyi sárkány él, mint tűzokádó lény. Igaz-e, hogy minden sárkány hétfejű?

(5 pont)

megoldás


C. 1638. Melyek azok a nem szabályos háromszögek, amelyek magasságpontja, köré írt körének középpontja, beírt körének középpontja és két csúcsa egy körre esik?

(5 pont)

megoldás


C. 1639. Gondoltunk öt számra. Közülük minden lehetséges módon kiválasztottunk hármat-hármat és összeadtuk őket. Összegként a következő értékeket kaptuk: 41, 42, 44, 51, 52, 53, 54, 54, 55, 64. Mi volt az öt gondolt szám?

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás


C. 1640. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben jelöljük az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontját \(\displaystyle S\)-sel, az \(\displaystyle ACD\) háromszög súlypontját pedig \(\displaystyle P\)-vel. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók felezőpontjait összekötő szakasz felezi az \(\displaystyle SP\) szakaszt.

(5 pont)

megoldás


C. 1641. Határozzuk meg, hogy mi lesz az \(\displaystyle a^3b^2c^5\) kifejezés együtthatója az \(\displaystyle {(a+b+c)}^{10}\) hatványkifejezés kifejtésében.

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás


C. 1642. Az \(\displaystyle ABCDEF\) konvex hatszög szemközti oldalai párhuzamosak, a három párhuzamos oldalpár egymástól való távolsága megegyezik, és az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) csúcsánál derékszög van. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) átlók által bezárt szög \(\displaystyle 45^{\circ}\).

(5 pont)

megoldás


C. 1643. Számológép használata nélkül határozzuk meg a

\(\displaystyle (\log_{10}11)\cdot (\log_{11}12)\cdot (\log_{12}13)\cdot\ldots \cdot(\log_{99}100) \)

kifejezés értékét.

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


B. 5134. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle n\) egész számot, amelyre a \(\displaystyle \sqrt{\frac{3n-5}{n+1}}\) kifejezés szintén egész.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

megoldás


B. 5135. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsaiból húzott magasságok talppontjai rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\); az \(\displaystyle AA_1\) és \(\displaystyle BB_1\) magasságok felezőpontjai pedig rendre \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle C_1GH\) háromszög körülírt köre áthalad az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontján.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

megoldás


B. 5136. A kishitűek és nagyotmondók szigetén minden ember vagy kishitű vagy nagyotmondó. Egyszer egy külföldi tévedt a szigetre, és egy társaság meghívta vacsorázni. A vacsora végén megkérdezte a társaság mindegyik tagjától, hogy hány nagyotmondó van a társaságban. A kishitűek az igazságnál kisebb, a nagyotmondók pedig nagyobb számot válaszoltak. Igaz-e, hogy a kapott válaszok ismeretében egyértelműen meghatározható a nagyotmondók száma?

Dürer Verseny egy feladata alapján

(5 pont)

megoldás


B. 5137. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok körében:

$$\begin{align*} x+y^2 & =z^3,\\ x^2+y^3 & =z^4,\\ x^3+y^4 & =z^5. \end{align*}$$

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

megoldás


B. 5138. Az \(\displaystyle ABC\) nem egyenlő szárú háromszög \(\displaystyle A\)-ból, illetve \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezője a szemközti oldalt az \(\displaystyle A'\), illetve \(\displaystyle B'\) pontban metszi. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle A'B'\) felezőmerőlegese akkor és csak akkor megy át a beírt kör középpontján, ha \(\displaystyle AB' + BA' = AB\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(5 pont)

megoldás


B. 5139. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ADM\) háromszög területe nagyobb a \(\displaystyle BCM\) háromszög területénél. A négyszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle P\), \(\displaystyle AD\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle AP+AQ=\sqrt2\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.

(5 pont)

megoldás


B. 5140. Egy szigeten 10 ország található, ezek közül némelyek szomszédosak egymással, mások nem. Mindegyik ország egy saját valutát használ. Mindegyik országban egyetlen pénzváltó működik, a következő szabályok szerint: aki az adott ország valutájából 10 darabot befizet, az kap az összes szomszédos ország valutájából 1-1 darabot. Arisztid és Tasziló fejenként 100-100 egységgel rendelkeznek mindegyik ország valutájából. Ezután mindketten a nekik tetsző sorrendben váltogatják a pénzüket a különböző országok pénváltóiban, amíg csak van olyan valutájuk, amit tudnak váltani (tehát legalább 10 darab van belőle). Bizonyítsuk be, hogy a végén pontosan ugyanannyi bergengóc tallérja lesz Arisztidnek és Taszilónak (a bergengóc tallér a sziget egyik országának valutája).

Mészáros Gábor (Budapest) ötletéből

(6 pont)

megoldás


B. 5141. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n\, \sum_{j=i}^n \binom{n}{i} \binom{n+1}{j+1} = 2^{2n}. \)

Javasolta: Nagy Dávid (Cambridge)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


A. 789. Legyen \(\displaystyle p(x)=a_{21}x^{21}+a_{20}x^{20}+\ldots +a_1x+1\) egész együtthatós polinom, melynek minden gyöke valós és \(\displaystyle 1/3\)-nál kisebb abszolút értékű. A \(\displaystyle p(x)\) polinom minden együtthatója a \(\displaystyle [-2019a,2019a]\) intervallumba esik egy rögzített \(\displaystyle a\) pozitív egész számra. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle p(x)\) felbontható két alacsonyabb fokú egész együtthatós polinom szorzatára, akkor legalább az egyik szorzótényezőben mindegyik együttható kisebb, mint \(\displaystyle a\).

Javasolta: Navid Safaei (Teherán, Irán)

(7 pont)


A. 790. András és Berta a következő játékot játssza: adott két kupac, az egyikben \(\displaystyle a\), a másikban \(\displaystyle b\) darab kavics található. Az első körben Bea választ egy \(\displaystyle k\) pozitív egész számot, András pedig az egyik kupacból elvesz \(\displaystyle k\) darab kavicsot (ha \(\displaystyle k\) nagyobb a kupacban lévő kavicsok számánál, az egész kupacot elveszi). A második körben fordított a szereposztás: András mond egy pozitív egész számot, és Berta veszi el a kavicsokat valamelyik kupacból; és így tovább, felváltva. A játékot az veszti el, aki elveszi az utolsó kavicsot.

Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)