Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2021. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


C. 1672. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) számpárt, amelyre \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \frac{p+r}{p-r}\) is pozitív prímszám.

(5 pont)

megoldás


C. 1673. Egy trapézt átlói négy háromszögre bontanak. A trapéz alapjain fekvő háromszögek területének összege a trapéz területének \(\displaystyle \frac{13}{18}\) része. Mekkora lehet a trapéz másik alapja, ha az egyik 5 cm hosszú?

(5 pont)

megoldás


C. 1674. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan derékszögű háromszög van, melyben az oldalak mérőszámai pozitív egészek és az átfogó egy egységgel hosszabb az egyik befogónál.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás


C. 1675. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának egy \(\displaystyle D\) belső pontjára

\(\displaystyle \frac{AD}{DB}=\frac{m}{n}<\frac{1}{2}, \)

ahol \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) pozitív számok. Az \(\displaystyle E\) pont a háromszög kerületének egy, a \(\displaystyle D\)-től különböző pontja úgy, hogy a \(\displaystyle DE\) egyenes a háromszög területét \(\displaystyle 1:2\) arányú részekre osztja. Adjuk meg, hogy az \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) számoktól függően az \(\displaystyle E\) pont mely oldalra esik és milyen arányban osztja azt.

(5 pont)

megoldás


C. 1676. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle 2019^{2021}+2021^{2019}\) osztható \(\displaystyle 4040\)-nel. Igaz-e a feladat következő általánosítása: ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egymást követő pozitív páratlan számok, akkor \(\displaystyle a^{b}+b^{a}\) osztható \(\displaystyle a+b\)-vel?

(5 pont)

megoldás


C. 1677. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\(\displaystyle \left|2\cdot\log_2\sqrt{x^2-x}+3+\frac{1}{\log_4\sqrt{x^2-x}}\right|=2 \)

egyenletet.

(5 pont)

megoldás


C. 1678. Egy négyoldalú szabályos gúla minden éle \(\displaystyle a\) hosszúságú. Kössük össze a gúla lapjainak középpontjait minden lehetséges módon. Bizonyítsuk be, hogy az így keletkezett szakaszok közül bármelyik hármat kiválasztva a szakaszokból lehet háromszöget szerkeszteni.

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


B. 5174. Mutassuk meg, hogy tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén

\(\displaystyle (2n)! \le {(n^2 + n)}^n. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(3 pont)

megoldás


B. 5175. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AC=BC\), az \(\displaystyle AC\) oldal egy belső pontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle ABD\) kör középpontja \(\displaystyle K\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle BCDK\) húrnégyszög.

(3 pont)

megoldás


B. 5176. Egy körre úgy szeretnénk ráírni az első \(\displaystyle n\) pozitív egész számot (mindegyiket pontosan egyszer), hogy bármely három szomszédos számot összeadva pontosan kétféle érték forduljon elő. Adjuk meg \(\displaystyle n\) lehetséges értékeit.

(Skót versenyfeladat)

(4 pont)

megoldás


B. 5177. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben az \(\displaystyle AB\) átfogóhoz tartozó magasság a \(\displaystyle CD\) szakasz. A \(\displaystyle CD\) átmérőjű \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) befogókat másodszor rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszi. A \(\displaystyle k\) körhöz az \(\displaystyle E\) pontban rajzolt érintő a \(\displaystyle BC\) befogó egyenesét a \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle AB\) átfogót az \(\displaystyle M\) pontban metszi, a \(\displaystyle k\) körhöz az \(\displaystyle F\) pontban szerkesztett érintő az \(\displaystyle AC\) befogó egyenesét a \(\displaystyle Q\), az \(\displaystyle AB\) átfogót az \(\displaystyle N\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle 4\cdot MN^2=PE^2+QF^2+2\cdot EF^2. \)

(5 pont)

megoldás


B. 5178. Legyen \(\displaystyle x\) pozitív valós szám. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sqrt{6x+9}+\sqrt{16x+64}\le \left(\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\right) \left(\sqrt{x}+\frac{8}{\sqrt{x}}\right). \)

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5179. Van-e olyan egész számokból álló \(\displaystyle H\) halmaz, amelyre teljesül, hogy a \(\displaystyle 0\) kivételével minden egész szám végtelen sokféleképpen felírható néhány, egymástól különböző \(\displaystyle H\)-beli elem összegeként, de a \(\displaystyle 0\) nem írható fel ilyen módon?

(6 pont)

megoldás


B. 5180. Az \(\displaystyle ABCDEFG\) szabályos hétszög köré írt kör sugara \(\displaystyle r\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle A\) középpontú, \(\displaystyle 2r\) sugarú kör átmegy a \(\displaystyle BCE\) háromszög magasságpontján.

(5 pont)

megoldás


B. 5181. Adott a síkon nyolc pont, melyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre és semelyik öt nincs egy körön. Legfeljebb hány olyan kör lehet, mely az adott pontok közül négyre illeszkedik?

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. június 10-én LEJÁRT.


A. 800. Egy véges, egyszerű, összefüggő \(\displaystyle G\) gráf mindegyik csúcsát különböző színűre színezzük, és a következő játékot játsszuk. Egy lépés során véletlenszerűen, egyenletes eloszlással kiválasztunk egy csúcsot, majd véletlenszerűen, egyenletes eloszlással kiválasztjuk annak az egyik szomszédját, és átszínezzük olyanra, mint az eredetileg választott csúcs (ha már eleve egyszínűek, nem csinálunk semmit). A játék akkor ér véget, ha az összes csúcs színe egyforma.

Állapítsuk meg a \(\displaystyle G\) gráf ismeretében minden egyes csúcsra, hogy mekkora valószínűséggel ér véget a játék úgy, hogy az összes csúcs olyan színű, mint az adott csúcs.

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)


A. 801. Az \(\displaystyle m\) pozitív egész szám mely értékeire lehet találni \(\displaystyle p,q\in \mathbb{C} [x]\) legalább másodfokú polinomokat, melyekre \(\displaystyle x(x+1)\ldots(x+m-1)= p\big(q(x)\big)\) teljesül?

Javasolta: Navid Safaei (Teherán)

(7 pont)


A. 802. Legyen \(\displaystyle P\) egy adott szabályos 100-szög. Bizonyítsuk be, hogy ha vesszük két \(\displaystyle P\)-vel egybevágó sokszög unióját, a kapott alakzat kerületének és területének aránya legfeljebb akkora, mint \(\displaystyle P\) kerületének és területének aránya.

(7 pont)


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)