A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő: 2025. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).

---

K. 874. András, Bori, Cili, Dezső, Elemér, Feri, Gabi és Hugó ebben a sorrendben állnak körben, a kezükben néhány babszem van, összesen \(\displaystyle 240\) darab. Ha András ad Borinak, Cilinek, Dezsőnek, Elemérnek, Ferinek, Gabinak és Hugónak \(\displaystyle 1\)-\(\displaystyle 1\) babszemet, majd Bori ad Cilinek, Dezsőnek, Elemérnek, Ferinek, Gabinak és Hugónak \(\displaystyle 2\)-\(\displaystyle 2\) babszemet, majd Cili ad Dezsőnek, Elemérnek, Ferinek, Gabinak és Hugónak \(\displaystyle 3\)-\(\displaystyle 3\) babszemet, majd Dezső ad Elemérnek, Ferinek, Gabinak és Hugónak \(\displaystyle 4\)-\(\displaystyle 4\) babszemet, majd Elemér ad Ferinek, Gabinak és Hugónak \(\displaystyle 5\)-\(\displaystyle 5\) babszemet, majd Feri ad Gabinak és Hugónak \(\displaystyle 6\)-\(\displaystyle 6\) babszemet, majd Gabi ad Hugónak \(\displaystyle 7\) babszemet, akkor mindenkinél ugyanannyi babszem lesz. Hány babszem volt kezdetben náluk?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

---

K. 875. Bonts fel egy szabályos háromszöget négy egybevágó síkidomra, illetve hat egybevágó síkidomra! Összesen legalább négy felbontást készíts!

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

---

K. 876. Gondolj egy pozitív egész számra. Ha a szám páros, akkor oszd el \(\displaystyle 2\)-vel, ha páratlan, akkor adj hozzá \(\displaystyle 1\)-et. Az eredménnyel ugyanígy folytasd: ha a szám páros, akkor oszd el kettővel, ha páratlan, akkor adj hozzá \(\displaystyle 1\)-et. Igaz-e, hogy ha egy \(\displaystyle 2025\)-nél kisebb számból indulunk ki, akkor kevesebb, mint \(\displaystyle 25\) lépésben az \(\displaystyle 1\)-hez jutunk?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő: 2025. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).

---

K/C. 877. Írjuk be az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat az ábrába úgy, hogy a három darab, négy kis háromszöget tartalmazó (a kis ábrákon szürke színű) háromszögben lévő számok szorzatát összeszorozva négyzetszámot kapjunk. Hány ilyen kitöltés van?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1–10. osztályosok küldhetik be.

---

K/C. 878. Hány olyan \(\displaystyle 91\)-gyel osztható négyjegyű pozitív egész szám van, amelynek kétféle számjegye van és mindegyikből két darab?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1–10. osztályosok küldhetik be.

C-jelű feladatok A beküldési határidő: 2025. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).

---

C. 1873. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán:

$$\begin{align*} x^2+13x+144&=5y+32z,\\ y^2+13y+144&=5z+32x,\\ z^2+13z+144&=5x+32y. \end{align*}$$

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

---

C. 1874. Adott két pont a síkon, \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Szerkesszünk olyan hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget, amelynek magasságpontja \(\displaystyle H\), súlypontja \(\displaystyle G\). (Az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni.)

Javasolta: Barta-Zágoni Csongor (Marosvásárhely)

(5 pont)

---

C. 1875. Egy nagylelkű adománynak hála a KöMaL Ankét szombati ebédszünetében \(\displaystyle m\) fajta könyvet osztottak szét a jelenlévő \(\displaystyle n\) diák között. A könyvek mindegyikéből rendelkezésre állt több példány is, továbbá mindenki kedvére válogathatott: többfajta könyvből is vihettek, de egy fajtából legfeljebb egyet.

Tudjuk, hogy bármely két könyv esetén legalább három diákban különbözött a könyveket választók halmaza. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle m \leq \frac{2^{n}}{n+1}\).

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

---

C. 1876. Micimackó a következő állítás helyességét próbálja eldönteni. „Ha egy adott év napjaiból kiválasztunk \(\displaystyle 30\)-at, nem biztos, hogy lesz közöttük legalább öt olyan, amelyik a hét ugyanazon napjára esik.” Az alábbiak szerint érvel: „Az állítás hamis. A hét napjait vegyük egy-egy skatulyának, majd tegyünk beléjük egy-egy (ugyanolyan) golyót a kiválasztott napoknak megfelelően. \(\displaystyle 28\)-at még el tudunk helyezni úgy, hogy mindegyik skatulyában \(\displaystyle 4\)-\(\displaystyle 4\) golyó van, azonban a \(\displaystyle 29\). golyó biztosan olyan helyre kerül, ahol már van négy, így biztosan lesz a hétnek legalább egy olyan napja, amelyre legalább öt kiválasztott nap jut.”

Barátja, Róbert Gida rámutat érvelésének hiányos pontjára: „Te Mackó, így csak \(\displaystyle 7\) esetet vizsgáltál meg: azokat, amikor mindegyik skatulyában pontosan \(\displaystyle 4\) darab golyó van, kivéve egyet, amelyben \(\displaystyle 5\). A többi esettel nem foglalkoztál!”

Hány esetet nem vizsgált meg Micimackó?

Németh László (Fonyód) ötlete alapján

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11–12. osztályosok küldhetik be.

---

C. 1877. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög körülírt körén az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) ív felezőpontja rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle DE\) szakasz a \(\displaystyle BC\), illetve \(\displaystyle CA\) oldalakat a \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\) pontban, az \(\displaystyle EF\) szakasz a \(\displaystyle CA\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalakat az \(\displaystyle R\), illetve \(\displaystyle S\) pontban, végül az \(\displaystyle FD\) szakasz az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalakat a \(\displaystyle T\), illetve \(\displaystyle U\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle PRT\) és \(\displaystyle QSU\) háromszögek területe egyenlő.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11–12. osztályosok küldhetik be.

B-jelű feladatok A beküldési határidő: 2025. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).

---

B. 5486. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle E\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle AB=CD\), és az \(\displaystyle ABE\) háromszög területe megegyezik a \(\displaystyle CDE\) háromszög területével. Mutassuk meg, hogy a négyszög paralelogramma vagy húrtrapéz.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

---

B. 5487. Az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle a_{2025}\) pozitív számokra \(\displaystyle a_1=1\), továbbá

\(\displaystyle \frac{1}{a_1+a_2}+\frac{1}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}=a_n-1 \)

minden \(\displaystyle 2\le n\le 2025\) esetén. Határozzuk meg \(\displaystyle a_{2025}\) értékét.

Bencze Mihály (Brassó) ötletéből

(3 pont)

---

B. 5488. Ki lehet-e színezni a sík minden pontját három szín egyikével úgy, hogy mindegyik színt felhasználjuk legalább egyszer, és ha egy háromszög minden csúcsa két szín egyikével van színezve, akkor azon háromszög minden belső-, és határpontja is ezen két szín valamelyikét viselje?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(4 pont)

---

B. 5489. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=15^\circ\) és \(\displaystyle CAB\sphericalangle=75^\circ\), továbbá az \(\displaystyle AB\) átfogó felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BC\) befogón vegyük fel a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BD=CA\), a \(\displaystyle CA\) félegyenesen az \(\displaystyle A\) ponton túl az \(\displaystyle E\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle CE=BC\) teljesüljön. A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DM\) és \(\displaystyle CM\) egyenesek érintik az \(\displaystyle AEF\) háromszög köré írt kört.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

---

B. 5490. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egész \(\displaystyle n\) szám létezik, amelyre a \(\displaystyle {2^n-2025}\), \(\displaystyle {2^n-2024}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle {2^n+2025}\) számok mind összetettek.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(5 pont)

---

B. 5491. Létezik-e legalább másodfokú, egész együtthatós polinomoknak olyan \(\displaystyle H\) halmaza, amelyre teljesül, hogy minden egész értéket pontosan egy \(\displaystyle H\)-beli polinom vesz fel egész helyen?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

---

B. 5492. Kornél az \(\displaystyle I=[0,2^k]\) intervallumnak (ahol \(\displaystyle k\) pozitív egész) egy egész kezdő- és végpontú, legalább \(\displaystyle 1\) hosszúságú, zárt részintervallumára gondol. Kristóf kérdezhet egy tetszőleges egész hosszúságú, de nem feltétlenül egész kezdő- és végpontú, zárt részintervallumot, és Kornél elárulja a kérdezett és a gondolt intervallum metszetének a hosszát. (A válasz \(\displaystyle 0\), ha a két intervallum metszete üres, és akkor is, ha csak egyetlen pontból áll.) Hány kérdésből tudja Kristóf biztosan meghatározni a gondolt intervallumot?

Javasolta: Matolcsi Dávid (Berkeley/Brüsszel)

(6 pont)

---

B. 5493. Írjunk fel olyan, a síkvektorokhoz nemnegatív számokat rendelő \(\displaystyle f\) függvényt, amelyre teljesül, hogy bármely, az \(\displaystyle x^2-y^2=1\) hiperbolába írt \(\displaystyle ABC\) háromszög területe \(\displaystyle f\Big(\overrightarrow{AB}\Big)\cdot f\Big(\overrightarrow{BC}\Big)\cdot f\Big(\overrightarrow{CA}\Big)\).

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

A-jelű feladatok A beküldési határidő: 2025. december 10.. 24:00 (UTC+01:00).

---

A. 917. Egy komplex számokból álló \(\displaystyle S\) halmazt nevezzünk szimmetrikusnak, ha minden \(\displaystyle S\)-beli elem komplex konjugáltja is \(\displaystyle S\)-beli. Határozzuk meg minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-hez a legnagyobb \(\displaystyle K_n\) pozitív egész számot, amelyhez létezik olyan \(\displaystyle n\)-elemű, szimmetrikus \(\displaystyle S=\{z_1,z_2,\ldots,z_n\}\) halmaz, amelynek a \(\displaystyle 0\) nem eleme, és bármely \(\displaystyle 1\leq k\leq K_n\) egészre

\(\displaystyle z_1^k + z_2^k + \ldots + z_n^k \leq 0. \)

Javasolta: Navid Safaei (Teherán) és Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

---

A. 918. Egy \(\displaystyle n\) csúcsú fagráf (\(\displaystyle n\geq 2\)) csúcsait jelöljük \(\displaystyle v_1\), \(\displaystyle v_2\), ..., \(\displaystyle v_n\)-nel. Minden csúcson ül egy törpe, és minden törpének van valamennyi, de legalább \(\displaystyle n\) darab pénzérméje. Sorban, az indexek szerint növekvő sorrendben végighaladunk a csúcsokon, és mindig a soron következő csúcson ülő törpe elvesz egy érmét a leggazdagabb szomszédjától; ha több leggazdagabb is van, akkor mindegyiktől egyet-egyet.

Határozzuk meg \(\displaystyle n\) függvényében azt a legkisebb \(\displaystyle k\) értéket, amelyre teljesül, hogy tetszőleges \(\displaystyle n\) csúcsú fagráf esetén van olyan kezdeti pénzérme kiosztás, hogy kezdetben bármely két törpe pénzérméinek száma legfeljebb \(\displaystyle k\)-val térjen el egymástól, és a folyamat végén minden törpének pontosan ugyanannyi pénzérméje legyen, mint kezdetben volt.

Javasolta: Németh Márton (Budapest)

(7 pont)

---

A. 919. Legyen \(\displaystyle \mathcal{P}\) egy legalább négy csúcsú konvex húrsokszög, amelynek semelyik két átlója sem ugyanolyan hosszú. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \mathcal{P}\)-t legfeljebb egyféleképpen lehet azonos kerületű háromszögekre bontani néhány egymást nem metsző átlójával.

Javasolta: Andrei Chirita (Cambridge)

(7 pont)