A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

---

K. 879. Nyuszi répát visz a kosarában. Ha útközben találkozik egy másik nyúllal, akkor ad neki egy répát, ha pedig egy rókával találkozik, akkor az elveszi tőle a répái felét.

Összesen négy állattal találkozott útközben (mindegyik állat nyúl vagy róka volt) és ennek során az összes répája elfogyott. Hány répa lehetett a kosarában az első találkozás előtt?

(5 pont)

megoldás

---

K. 880. Nyolc háromlábú sárkány énekkart alapított. Mint az köztudott, egy háromlábú sárkánynak egy, három, hét vagy kilenc feje van. A háromfejűek minden feje szoprán, a hétfejűek minden feje mezzo, a kilencfejűek minden feje alt szólamban énekel, míg az egyfejűek nem énekelnek, ők csak karvezetők lehetnek. A sárkányoknak összesen kétszer annyi feje volt, mint lába. Hány fej énekelhette az „Ó, ha rózsabimbó lehetnék” című háromszólamú kórusmű egyes szólamait?

(5 pont)

megoldás

---

K. 881. Andris, Bori, Csaba, Dóri, Egon, Fanni és Gábor egy táborban találkoztak. Andris Fanni kivételével mindenkit ismert közülük, Borinak három ismerőse volt, Csabának egy, Dórinak pedig feleannyi, mint Egonnak. Fanninak eggyel kevesebb ismerőse volt, mint Gábornak. (Az ismeretségek kölcsönösek.) Kit ismerhetett közülük Fanni a tábor kezdetén?

(5 pont)

megoldás

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

---

K/C. 882. Egy \(\displaystyle ABCDEFGHIJKL\) szabályos tizenkétszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle FH\) átlójára befelé egy-egy négyzetet írunk. Mutassuk meg, hogy a két négyzetnek van egy közös csúcsa.

(5 pont)

megoldás

---

K/C. 883. Egy sorozat képzési szabálya a következő: ha a sorozat \(\displaystyle t\) eleme páratlan pozitív szám, akkor a következő elem legyen \(\displaystyle 3t-9\), ha páros pozitív szám, akkor a következő legyen \(\displaystyle 2t-7\). Tegyük fel, hogy a sorozatot két pozitív szám alkotja váltakozva: \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle \ldots\) Mi lehet \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)?

(5 pont)

megoldás

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

---

C. 1878. Hány olyan tízes számrendszerbeli négyjegyű pozitív egész szám van, amelyben legfeljebb az egyik számjegy osztható \(\displaystyle 3\)-mal, a számjegyek összege \(\displaystyle 15\), a számjegyek \(\displaystyle 3\)-as maradékainak összege pedig \(\displaystyle 6\)?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás

---

C. 1879. Adott az asztalon egy konvex \(\displaystyle n\)-szög, amelynek minden oldala 2 egység hosszúságú. A sokszög minden csúcsába egy egységsugarú korongot helyezünk úgy, hogy a szomszédos korongok érintsék egymást. Az így létrejött alakzaton kívülről végiggörgetünk egy ezektől különböző egységsugarú korongot úgy, hogy az a végén a kiindulási helyére kerüljön. Határozzuk meg \(\displaystyle n\) függvényében, hogy összesen mekkora szöggel fordul el ez a korong a végiggörgetés során.

német versenyfeladat

(5 pont)

megoldás

---

C. 1880. Oldjuk meg a természetes számok halmazán az \(\displaystyle (x+1)!=x^3-x\) egyenletet.

Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás

---

C. 1881. Adott egy \(\displaystyle n\times n\)-es sakktábla, melyet szeretnénk lefedni átfedésmentesen 3 négyzetből álló L betűkkel úgy, hogy legfeljebb egy mező maradjon üresen. Mutassuk meg, hogy ez tetszőleges \(\displaystyle n\neq3\) pozitív természetes számra megtehető. (Az L betűk minden oldala rácsvonalra kell, hogy essen.)

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

megoldás

---

C. 1882. Legyen \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög, az \(\displaystyle ABD\) háromszög beírt körének középpontját jelölje \(\displaystyle I\). Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle CB=CD=CI\), akkor \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(5 pont)

megoldás

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

---

B. 5494. Anna és Béla a következő játékot játsszák egy \(\displaystyle 2\times 2026\)-os táblán. Felváltva helyeznek le dominókat a táblára, egészen addig, amíg már nem lehet új dominót elhelyezni. Ha ekkor a tábla teljesen le van fedve, akkor Anna nyer, különben Béla. Kinek van nyerő stratégiája, ha Anna kezd? (Egy dominó két élszomszédos mezőt fed le. A dominók nem lóghatnak le a tábláról és nem fedhetik egymást.)

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

megoldás

---

B. 5495. Egy derékszögű háromszög befogói \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), átfogója \(\displaystyle c\), beírt körének sugara \(\displaystyle r\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b). \)

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(3 pont)

megoldás

---

B. 5496. Jelöljük \(\displaystyle p(r)\)-rel egy \(\displaystyle r\) pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzatát. Adott \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén határozzuk meg azokat a \(\displaystyle k\) pozitív egész számokat, amelyekre \(\displaystyle p(k^n)\) egy egész szám \(\displaystyle n\)-edik hatványa.

Javasolta: Horváth Áron (Nemesbőd)

(4 pont)

megoldás

---

B. 5497. Adott egy \(\displaystyle AB\) végpontú \(\displaystyle k\) körív, a felezőpontja \(\displaystyle F\). Egy kör a \(\displaystyle P\) pontban belülről érinti \(\displaystyle k\)-t, és a \(\displaystyle Q\) pontban érinti az \(\displaystyle AB\) szakaszt. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle APQ\) és \(\displaystyle BPQ\) körök sugarainak összege egyenlő az \(\displaystyle AF\) szakasz hosszával.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

megoldás

---

B. 5498. Legyen \(\displaystyle n\geq 2\) egy adott pozitív egész. Az \(\displaystyle 1,2,\dots,n\) számok mely \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) permutációjára lesz

\(\displaystyle a_1a_2+a_2a_3+\dots+a_{n-1}a_n \)

maximális?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(5 pont)

megoldás

---

B. 5499. Egy szabályos 45-szög minden csúcsát kiszíneztük a piros, sárga és zöld színek valamelyikével; mindegyik színnel 15 csúcsot. Egy háromszög piros (sárga, zöld), ha mindhárom csúcsa piros (sárga, zöld). Bizonyítsuk be, hogy van három egybevágó háromszög, amelyek közül az egyik piros, a másik sárga, a harmadik zöld.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

megoldás

---

B. 5500. Határozzuk meg \(\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|+|e|\) legkisebb lehetséges értékét, ha az \(\displaystyle x^{6}+ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+1=0\) egyenletnek van valós gyöke.

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(5 pont)

megoldás

---

B. 5501. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D, E, F\) pontokban érinti, az \(\displaystyle F\) ponttal átellenes pont a beírt körön \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle GD\) és \(\displaystyle GE\) egyenesek az \(\displaystyle AB\) egyenest a \(\displaystyle D'\), illetve \(\displaystyle E'\) pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AED'\) és \(\displaystyle BDE'\) körök a beírt körön metszik egymást.

Javasolta: Jármai Roland (Budapest)

(6 pont)

megoldás

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

---

A. 920. Adott egy nem egyenlő szárú \(\displaystyle ABC\) háromszög, melynek körülírt körét jelöljük \(\displaystyle \Omega\)-val. Legyen \(\displaystyle \omega_A\) az \(\displaystyle A\) csúcshoz tartozó mixtilineáris beírt kör (azaz az a kör, ami érinti az \(\displaystyle AB,AC\) oldalakat és \(\displaystyle \Omega\)-t belülről). Hasonlóan definiáljuk az \(\displaystyle \omega_B,\omega_C\) köröket. Jelölje az \(\displaystyle \omega_A,\omega_B,\omega_C\) körök \(\displaystyle \Omega\)-n lévő érintési pontjait rendre \(\displaystyle T_A,T_B\) és \(\displaystyle T_C\).

Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \omega_A,\omega_B,\omega_C\) körök Monge-egyenese (azaz a három kör páronként vett külső hasonlósági középpontjain átmenő egyenese) egybeesik az \(\displaystyle AT_CBT_ACT_B\) húrhatszög Pascal-egyenesével (azaz az \(\displaystyle AT_C\cap T_AC\), \(\displaystyle T_CB\cap CT_B\), \(\displaystyle BT_A\cap T_BA\) pontokon átmenő egyenessel).

Javasolta: Sha Jingyuan (Budapest)

(7 pont)

megoldás

---

A. 921. Adott egy \(\displaystyle n\geq 2\) egész szám. Legyenek \(\displaystyle x_1,\ldots,x_n\) olyan pozitív valós számok, melyek szorzata \(\displaystyle n-1\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle x_1+\ldots+x_n-\left(\dfrac{1}{x_1^{n-1}}+\ldots+\dfrac{1}{x_n^{n-1}}\right)<(n-1)^{1+\frac{1}{n}}. \)

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Palaiseau)

(7 pont)

megoldás

---

A. 922. Rögzítsünk két pozitív egész számot, \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle b\)-t. Legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám, és \(\displaystyle T\) egy \(\displaystyle an\times bn\)-es tábla mezőinek egy fekete–fehér színezése, melyben van legalább két fehér mező. Csigusz, a csiga elindult egy fehér mezőről, bejárta az összes fehér mezőt pontosan egyszer, majd visszaért a kiinduló mezőjére, mindezt úgy, hogy végig csak oldalszomszédos fehér mezők között haladt. Ezután észrevette, hogy ezt pontosan egyféleképpen tudta megtenni (vagyis azután, hogy elindult, már csak egyféleképpen tudta befejezni a körutat).

Jelölje \(\displaystyle \mathcal{T}_n\) azon \(\displaystyle T\) színezések halmazát, melyekre teljesül a fenti tulajdonság, és jelölje \(\displaystyle \phi(T)\) a fehér mezők számát \(\displaystyle T\)-ben. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle L=\lim_{n\to \infty} \dfrac{\max_{T\in \mathcal{T}_n} \phi(T)}{abn^2} \)

létezik minden pozitív egész \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) esetén, és határozzuk meg \(\displaystyle L\) értékét.

Javasolta: Lovas Márton és Beke Csongor (Cambridge)

(7 pont)

megoldás