A KöMaL 2026. januári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT. |
K. 884. Cikkcakk számnak hívjuk az olyan számokat, amelyek számjegyeit balról jobbra tekintve az első számjegynél kisebb a második, a második számjegynél nagyobb a harmadik, a harmadiknál kisebb a negyedik és így tovább.
Készítsd el az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\) számjegyekből az összes cikkcakk számot, azaz az összes olyan \(\displaystyle \overline{abcde}\) ötjegyű számot, ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) mind különböző, és amelyre \(\displaystyle a>b\) és \(\displaystyle b<c\) és \(\displaystyle c>d\) és \(\displaystyle d<e\) teljesül. Hány ilyen ötjegyű cikkcakk szám van?
(5 pont)
K. 885. Peti reggelire kakaót vagy gyümölcslevet iszik, mindig valamelyiket, de csak az egyiket. A kakaózás nála kétnapos esemény, ezért a kakaóivási időszakok mindig páros sok napból állnak. Hányféleképpen alakulhat a reggeli innivalója szempontjából február első tíz napja?
(5 pont)
K. 886. Egy autó gumiabroncsa elkopik, ha az első kerékre téve \(\displaystyle 20\,000~\mathrm{km}\)-t fut, vagy ha a hátsó kerékre téve \(\displaystyle 30\,000~\mathrm{km}\)-t fut.
a) Van négy új gumink. Legfeljebb hány km-t tud ezekkel az autó menni, ha a gumikat cserélhetjük az első és a hátsó kerekek között? Hány km megtétele után kell cserélni a gumikat az első és a hátsó kerekek között a maximális távolság eléréséhez?
b) Van öt új gumink. Legfeljebb hány km-t tud az autó ezekkel menni, ha a gumikat cserélhetjük az első és a hátsó kerekek között? Hogyan kell cserélni a gumikat a kerekek között a maximális távolság eléréséhez?
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT. |
K/C. 887. Melyik háromjegyű számra teljesül az \(\displaystyle \overline{xyz}=x!+y!+z!\) összefüggés? (\(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) a háromjegyű szám számjegyei; \(\displaystyle n!\) pedig \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle n\)-ig az egész számok szorzatát jelenti azzal a feltétellel, hogy \(\displaystyle 0!=1\) és \(\displaystyle 1!=1\).)
(5 pont)
K/C. 888. Három egymást követő páratlan egész szám négyzeteinek összege négy azonos számjegyből áll. Keressük meg az összes ilyen, pozitív egész számokból álló számhármast.
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT. |
C. 1883. Mely \(\displaystyle n\) természetes számokra igaz, hogy \(\displaystyle n^3+25n\ge10n^2+16\)?
Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)
(5 pont)
C. 1884. Egy osztály \(\displaystyle 30\) tanulója dolgozatot írt matematikából. A tanár kijavította a dolgozatokat, és a diákoknak egy táblázatban küldte el az eredményeket, ahol egymás alatt szerepeltek a kapott érdemjegyek: \(\displaystyle 15\) darab négyes és \(\displaystyle 15\) darab ötös. Mutassuk meg, hogy biztosan van \(\displaystyle 14\) olyan egymást követő sor, amelyekben szereplő érdemjegyek összege \(\displaystyle 63\).
Felvidéki Magyar Matematikaverseny feladat alapján
(5 pont)
C. 1885. A \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszögben megrajzoltuk az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszöget úgy, hogy a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle F\) pontok rendre a \(\displaystyle PQ\), \(\displaystyle QR\), \(\displaystyle RP\) oldalak felezőpontjai. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQR\) háromszög területét, ha az \(\displaystyle ABQRF\) ötszög területe egységnyi.
holland versenyfeladat
(5 pont)
C. 1886. Az \(\displaystyle ABCDEF\) hatszög minden belső szöge ugyanakkora. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ACE\) és \(\displaystyle BDF\) háromszögek területei egyenlők.
Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)
(5 pont)
C. 1887. Hány olyan \(\displaystyle \overline{abcabc}_9\) alakú szám van a kilences számrendszerben, amely 40 pozitív osztóval rendelkezik? (Az egyező betűk egyező számjegyeket jelölnek.)
Javasolta: Ujházy Márton (Budapest)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT. |
B. 5502. Legyen \(\displaystyle A\) egy valós számokból álló \(\displaystyle n\) elemű halmaz. Mutassuk meg, hogy legalább \(\displaystyle 4n-3\) szám felírható \(\displaystyle a-2b+c\) alakban, ahol \(\displaystyle a,b,c\in A\) nem feltétlenül különbözőek.
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(3 pont)
B. 5503. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalára szerkesztett szabályos háromszögek harmadik csúcsai legyenek \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AP^2+AQ^2=AB^2+BC^2+CA^2\).
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(3 pont)
B. 5504. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) nem mind egyenlő valós számok. Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}>\sqrt[3]{abc} \)
akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}>0\).
Javasolta: Barczy Mátyás (Szeged) és Páles Zsolt (Debrecen)
(4 pont)
B. 5505. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle APB\) háromszög körülírt körének középpontja \(\displaystyle K\), továbbá a \(\displaystyle CPD\) háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle P\) pontok egy egyenesen vannak.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(4 pont)
B. 5506. Oldjuk meg a pozitív egész számok halmazán a következő egyenletet:
\(\displaystyle x^5-xy^2+y^2=1. \)
Javasolta: Molnár István (Békéscsaba)
(5 pont)
B. 5507. Az \(\displaystyle \bigl(n^2;n^2+n\bigr)\) intervallumból (\(\displaystyle n>2\) egész szám) választunk két különböző egész számot, \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle b\)-t. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan ezektől különböző egész szám az intervallumban, amely osztója az \(\displaystyle ab\) szorzatnak.
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
B. 5508. Legyen \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög.
a) Igazoljuk, hogy ha
\(\displaystyle \tg BAC\sphericalangle \cdot \tg DCA\sphericalangle=\tg CAD\sphericalangle \cdot \tg ACB\sphericalangle, \)
akkor
\(\displaystyle \tg CBD\sphericalangle \cdot\tg ADB\sphericalangle =\tg DBA\sphericalangle \cdot\tg BDC\sphericalangle. \)
b) Igazoljuk, hogy ha
\(\displaystyle \tg\dfrac{BAC\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{DCA\sphericalangle}{2}=\tg\dfrac{CAD\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{ACB\sphericalangle}{2}, \)
akkor
\(\displaystyle \tg\dfrac{CBD\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{ADB\sphericalangle}{2}=\tg\dfrac{DBA\sphericalangle}{2}\cdot\tg\dfrac{BDC\sphericalangle}{2}. \)
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest) és Kós Géza (Budapest)
(6 pont)
B. 5509. Egy \(\displaystyle n\) csúcsú gráf csúcshalmaza legyen: \(\displaystyle V=\{ v_1,v_2,\ldots,v_n \}\), a \(\displaystyle v_i\) csúcs fokszáma \(\displaystyle d_i\). Egy a gráf csúcsaihoz nemnegatív valós számokat rendelő \(\displaystyle f\) függvényt verőceinek nevezünk, ha a gráf minden \(\displaystyle v_iv_j\) élére teljesül, hogy
\(\displaystyle f(v_i)+f(v_j) \geq {d_i+d_j}. \)
Határozzuk meg azt a legnagyobb \(\displaystyle \lambda\) valós számot, amelyre minden \(\displaystyle n\)-re, minden \(\displaystyle n\) csúcsú egyszerű gráfra és minden \(\displaystyle f\) verőcei függvényre teljesül, hogy
\(\displaystyle f(v_1)+f(v_2)+\ldots+f(v_n) \geq \lambda (d_1+d_2+\ldots+d_n). \)
Javasolta: Varga Boldizsár (Verőce)
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT. |
A. 923. Egy kiállítást, amelyen \(\displaystyle 1000\) festményt mutattak be, \(\displaystyle 2026\)-an látogattak meg. Bizonyítsuk be, hogy a látogatók közül néhányat el lehet küldeni két terembe úgy, hogy mindkét terembe küldünk legalább egy embert, és nincs olyan festmény, amely az egyik teremben tetszett valakinek, de a másikban senkinek sem, továbbá nincs olyan festmény, amelynek festőjét az egyik teremben személyesen ismeri valaki, de a másikban senki sem.
(7 pont)
A. 924. Mely pozitív egész \(\displaystyle (k,l)\) párokra teljesül, hogy bármely pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén létezik olyan \(\displaystyle 0\leq i\leq l-1\) egész, amelyre
\(\displaystyle \binom{n}{i}+(-1)^l\binom{n}{i+l}+(-1)^{2l}\binom{n}{i+2l}+\ldots \)
nem osztható \(\displaystyle k\)-val?
(Kvant feladat nyomán)
(7 pont)
A. 925. Négy pontot nevezzünk általános helyzetűnek, ha páronként különbözők, semelyik három nincs egy egyenesen, és az általuk meghatározott hat egyenes között semelyik kettő sem párhuzamos.
Adottak az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) általános helyzetű pontok egy körön. Legyen az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle E\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) metszéspontja \(\displaystyle F\), \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) metszéspontja pedig \(\displaystyle G\). Jelölje az \(\displaystyle EFG\) háromszögben az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\).
a) Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AR\)–\(\displaystyle BQ\)–\(\displaystyle CP\), \(\displaystyle AQ\)–\(\displaystyle BR\)–\(\displaystyle DP\), \(\displaystyle AP\)–\(\displaystyle CR\)–\(\displaystyle DQ\), illetve \(\displaystyle BP-CQ-DR\) egyeneshármasok egy-egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.
b) Tegyük fel, hogy mind a négy egyeneshármas egy-egy pontban találkozik, jelöljük ezeket a pontokat rendre \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\), \(\displaystyle W\)-vel. Továbbá tegyük fel, hogy ezek a pontok általános helyzetűek. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle XWYZ\), \(\displaystyle XYZW\), \(\displaystyle XZWY\) négyszögek Miquel-pontjai éppen a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) pontok.
Javasolta: Varga Boldizsár (Verőce) és Bán-Szabó Áron (Palaiseau)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)