A KöMaL 2026. februári matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT. |
K. 889. A sakkban a királynő (vezér) egyenes vonalban vagy átlósan minden irányban bármennyit léphet. Legalább hány királynőt helyezzünk el egy \(\displaystyle {6\times6}\)-os sakktáblán úgy, hogy bármelyik olyan mezőre tudjon lépni legalább az egyikük, amelyiken nem áll királynő?
(5 pont)
K. 890. Adott egy négyzet négy csúcsa és a középpontja.
a) Hány olyan egyenes rajzolható, amely ebből az öt pontból legalább kettőn áthalad?
b) Hány olyan kör rajzolható, amely ebből az 5 pontból legalább hármon áthalad?
Birkás György feladatai alapján
(5 pont)
K. 891. Egy \(\displaystyle 5~\mathrm{cm}\) élhosszúságú fehér színű kocka felületére berajzoljuk pirossal az összes lapátlót.
a) A kocka egyik csúcsából elindul egy rezes futrinka, amely csak a piros színű vonalakon haladhat, és a kocka minden csúcsán keresztülmegy útja során, majd visszatér a kiindulási pontba. Legalább mekkora utat tesz meg így a rezes futrinka?
b) A nagy kockát szétvágjuk \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\) élhosszúságú kisebb kockákra. Hány olyan kis kocka lesz a szétvágás után, amelynek felületén nincsen piros vonal?
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT. |
K/C. 892. Cikkcakk számnak hívjuk az olyan számokat, amelyek számjegyeit balról jobbra tekintve az első számjegynél kisebb a második, a második számjegynél nagyobb a harmadik, a harmadiknál kisebb a negyedik és így tovább. Hányféle, ötjegyű cikkcakk számot készíthetünk az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből?
(5 pont)
K/C. 893. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=15^{\circ}\), \(\displaystyle BCA\sphericalangle=30^{\circ}\), a \(\displaystyle D\) pont pedig úgy helyezkedik el a \(\displaystyle BC\) oldalon, hogy \(\displaystyle ADC\sphericalangle=45^{\circ}\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontja.
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT. |
C. 1888. Anna felírt minden háromjegyű pozitív egész számot a táblára, mindegyiket pontosan egyszer. Boglárka egymás után letörölte Anna számait, és mindegyik helyére azt a számot írta fel, amelyet úgy kapott, hogy az első és a második számjegy összegéből kivonta az utolsó számjegyet. Például a \(\displaystyle 225\) helyett \(\displaystyle {2+2-5=-1}\)-et, a \(\displaystyle 973\) helyett \(\displaystyle 9+7-3=13\)-at írt. Mennyi a Boglárka által a táblára felírt számok összege?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(5 pont)
C. 1889. Egy számegyenesen be van jelölve az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle \sqrt{5}\), semmi más. Adjuk meg szerkesztéssel a számegyenesen a \(\displaystyle 0\) helyét. (Az elemi szerkesztési lépéseket, mint például szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni.)
Javasolta: Veszprémi Ferenc (Budapest)
(5 pont)
C. 1890. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle {\sqrt[3]{a}}\) irracionális szám nem írható fel \(\displaystyle b+c\sqrt{d}\) alakban, ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) természetes számok.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1891. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), az \(\displaystyle AI\) egyenes a háromszög körülírt körét másodszor a \(\displaystyle D\) pontban metszi. A \(\displaystyle CDI\) háromszög körülírt körének és a \(\displaystyle BC\) szakasznak a második metszéspontja \(\displaystyle E\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle BE=IE\).
Javasolta: David Nguyen (Sydney, Ausztrália)
(5 pont)
C. 1892. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \binom{\binom{n}{2}}{3}=15\binom{n}{6}+30\binom{n}{5}+16\binom{n}{4}+\binom{n}{3} \)
teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle n\) számra.
Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT. |
B. 5510. Egy kocka lapjaira írjunk valós számokat úgy, hogy a szemközti lapokon levő számok összege mindig \(\displaystyle 7\) legyen. Ezután képezzük mindegyik csúcsnál a vele érintkező lapokra írt számok szorzatát. Legfeljebb mennyi lehet ennek a nyolc szorzatnak az összege?
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(3 pont)
B. 5511. Mutassuk meg, hogy ha az egységkör átmérőjét egy húr \(\displaystyle 45\) fokban metszi, akkor a húron keletkező két szakasz hosszának négyzetösszege \(\displaystyle 2\).
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(3 pont)
B. 5512. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\) pozitív egészekre
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}}\geq 1+\frac{1}{kn}. \)
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(4 pont)
B. 5513. Az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög belsejében adott egy \(\displaystyle P\) pont úgy, hogy az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCP\) és \(\displaystyle CDP\) háromszögek területe rendre \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 31\), illetve \(\displaystyle 32\) egység. Számítsuk ki a \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle EFP\) és \(\displaystyle FAP\) háromszögek területét.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(4 pont)
B. 5514. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalait a szokásos módon jelölve \(\displaystyle a\geq b\geq c\). A \(\displaystyle C\) csúcsból induló szögfelező talppontja \(\displaystyle P\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle {CP}\), \(\displaystyle {BP}\), \(\displaystyle {CP}\), \(\displaystyle {PA}\) hosszúságú oldalakkal szerkesztett húrtrapéz átlója \(\displaystyle \sqrt{ab}\) hosszúságú.
Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)
(5 pont)
B. 5515. Fel lehet-e írni egy szabályos \(\displaystyle 1000\)-szög minden csúcsára egy-egy számjegyet úgy, hogy a \(\displaystyle 000\), \(\displaystyle 001\), \(\displaystyle 002\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 998\), \(\displaystyle 999\) számok mindegyike összeolvasható legyen valamely három egymást követő csúcsról az óramutató irányában haladva?
Beke Csongor (Cambridge) ötletéből
(5 pont)
B. 5516. Egy parabolába beleírtunk egy derékszögű háromszöget úgy, hogy az átfogóhoz tartozó magasság talppontja a parabola fókuszpontja. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei?
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(6 pont)
B. 5517. Mely \(\displaystyle p\) prímszámok esetén létezik az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle p-1\) számoknak olyan \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{p-1}\) permutációja, amelyre \(\displaystyle a_1^1\), \(\displaystyle a_2^2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{p-1}^{p-1}\) páronként különböző maradékot adnak \(\displaystyle p\)-vel osztva?
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT. |
A. 926. Legyen
\(\displaystyle A=\left\{\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot n\right]\colon n=1,2,3,\ldots\right\}=\{2,5,7,10,13,15,\ldots\}. \)
Két játékos, Kezdő és Második egy \(\displaystyle N\) érméből álló kupaccal játszik a következő szabályok szerint. A játékosok felváltva lépnek, Kezdő kezd. Minden lépésben a soron következő játékos választ egy \(\displaystyle k\in A\) számot, majd elvesz \(\displaystyle k\) darab érmét a kupacból. Az a játékos, aki nem tud szabályos lépést tenni, elveszíti a játékot.
Határozzuk meg, hogy \(\displaystyle N\)-től függően melyik játékosnak van nyerő stratégiája, és adjuk meg egy nyerő stratégiáját.
Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)
(7 pont)
A. 927. Legyen \(\displaystyle ABCDEF\) egy bicentrikus hatszög, azaz olyan húrhatszög, amelybe kör írható. Tegyük fel, hogy létezik olyan \(\displaystyle P\) pont, amelyre az \(\displaystyle AP\) egyenes merőleges a \(\displaystyle BF\) egyenesre, \(\displaystyle CP\) merőleges \(\displaystyle BD\)-re, és \(\displaystyle EP\) merőleges \(\displaystyle DF\)-re. Bizonyítsuk be, hogy a hatszög valamelyik két szemközti oldalának összege egyenlő a hatszög köré írt kör átmérőjével.
Javasolta: Andrei Chirita (Cambridge)
(7 pont)
A. 928. Legyenek \(\displaystyle a_0=0<a_1<a_2<\ldots<a_n\) olyan egész számok, amelyekre a \(\displaystyle b_k=\dfrac{a_{k+1}-a_k}{2k+1}\) sorozat (\(\displaystyle k=0,1,\ldots,n-1\)) monoton nő. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle c_1\), \(\displaystyle c_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle c_n\) olyan valós számok, amelyekre az \(\displaystyle 1+\sum\limits_{k=1}^n c_kx^{a_k}\) polinom osztható az \(\displaystyle (x+1)^n\) polinommal. Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle 2>|c_1|>|c_2|>\ldots>|c_n|. \)
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)