Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

C. 945. A Magyar Nemzeti Bank 2008. március 1-jén bevonta a készpénzforgalomból az 1 és a 2 forintos érméket. Készpénzes vásárlásnál a boltokban az egyes termékek árát külön-külön nem kerekítik, a végösszegnél azonban alkalmazzák az ötös kerekítést. A kiadott tájékoztatókon a következő táblázatot láthatjuk a kerekítés szabályáról:

az 1-re, 2-re végződő összegeket	lefelé 0-ra;
a 3-ra, 4-re végződő összegeket	felfelé 5-re;
a 6-ra, 7-re végződő összegeket	lefelé 5-re;
a 8-ra, 9-re végződő összegeket	felfelé 0-ra.

Marci minden reggel vesz két darab kiflit a sarki közértben. Néhány nap elteltével a kerekítések miatt megtakarítja pontosan egy kifli árát. Tudjuk, hogy a kifli ára több, mint 10 Ft. Hány forint lehet a kifli egységára, ha ez a megtakarítás a lehető leggyorsabban bekövetkezik?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 946. A c állandó mely értékei esetén van az

$x^2-2 \left|x+\frac14\right|+c=0$

egyenletnek pontosan három különböző valós gyöke?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 947. Egy egyenes vasúti síntől 160 m-re fülel egy nyuszi az A pontban. Az A pont merőleges vetülete a sínekre T. Egy vonat közeledik a T pont felé 30 m/s sebességgel, a vonat elejének a távolsága a T ponttól kezdetben 300 m. A nyúl 15 m/s sebességgel tud futni. Át tud-e valamilyen irányban futni a nyuszi a vonat előtt a síneken?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 948. Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 5-tel növeljük, a másik befogóját pedig 5-tel csökkentjük, akkor a területe 5-tel nő. Hogyan változik eközben az átfogójára rajzolt négyzet területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 949. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapjának felezőpontja F, magasságpontja M. Tudjuk, hogy a háromszög súlypontja illeszkedik a beírt körre, és hogy $FM=\sqrt6$ . Mekkorák a háromszög oldalai?

Javasolta: Fülöp Dóra (Marcali, Berzsenyi D. Gimn., 11. évf.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

B. 4092. Megadható-e négy pozitív egész szám úgy, hogy közülük bármely kettő legnagyobb közös osztója nagyobb mint 1, és bármely három legnagyobb közös osztója 1?

Javasolta: Szabó Péter

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4093. Bizonyítsuk be, hogy n $\ge$ 6 esetén minden háromszög felbontható n darab egyenlőszárú háromszögre.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4094. Ki tudunk-e hagyni úgy egyet az $1, 2, \ldots, 2008$ számok közül, hogy a fennmaradó 2007 darab számnak legyen olyan $a_1, a_2, \ldots, a_{2007}$ sorrendje, amelyben az ${|a_1-a_2|}, {|a_2-a_3|}, \ldots, {|a_{2006}-a_{2007}|}, {|a_{2007}-a_1|}$ eltérések mind különbözőek?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4095. Adott a térbeli derékszögű koordinátarendszerben végtelen sok olyan tengelypárhuzamos téglatest, amelyek egyik csúcsa az origó, és minden csúcs koordinátái nemnegatív egész számok. Kiválasztható-e biztosan közülük kettő, amelyek közül az egyik tartalmazza a másikat?

Javasolta: Maga Péter

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4096. Az ABC háromszög oldalainak a beírt kört érintő pontjai legyenek E, F és G. A beírt kör egy tetszőleges P pontjának a háromszög oldalegyeneseitől mért távolsága a, b és c, az FG, EG és EF egyenesektől mért távolsága pedig e, f és g. Igazoljuk, hogy abc=efg.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4097. Oldjuk meg az alábbi egyenletet az egész számok körében:

$2^{\frac{x-y}{y}} - \frac{3}{2}y = 1.$

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4098. Adott egy háromszög egyik oldala, valamint rajta az a két pont, amelyben a szemközti csúcsból induló szögharmadolók az adott oldalt metszik. Szerkesszük meg a háromszöget.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4099. Egy 10×10-es táblázat minden egyes mezőjébe egy-egy számjegyet írtunk úgy, hogy minden egyes számjegy pontosan 10 mezőben szerepel. Bizonyítsuk be, hogy található olyan sor vagy oszlop, amelyben legalább 4 különböző szám fordul elő.

(Kvant)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4100. Hány részre osztják a síkot egy szabályos n-szög oldalegyenesei?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4101. Bizonyítsuk be, hogy ha xyz=8, akkor

$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}>1.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

A. 455. Legyen H egy n-elemű halmaz, $\mathcal S$ és $\mathcal T$ pedig jelölje H-nak egyaránt p darab, összesen 2p, páronként különböző részhalmazát. Tegyük föl, hogy minden $A\in \mathcal S$ és $B\in \mathcal T$ esetén A-nak és B-nek van közös eleme. Mutassuk meg, hogy

$\frac{p}{2^n}<\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$

Javasolta: Ilya Bogdanov (Moszkva)

(5 pont)

A. 456. Adott az ABC háromszög és belsejében a D pont úgy, hogy az ABD, BCD, és CAD háromszögekbe írt körök páronként érintik egymást. Jelöljük az érintési pontokat a BC, CA, AB, AD, BD, CD szakaszokon rendre A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂-vel. Legyen E az B₁C₂ és B₂C₁ egyenesek, F pedig a A₁C₂ és A₂C₁ egyenesek metszéspontja. Mutassuk meg, hogy az AF, BE és C₁D egyenesek egy ponton mennek át.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 457. Legyen p páratlan prímszám. Igazoljuk, hogy

$\sum_{i=1}^{p-1}{2^i i^{p-2}}- \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}{i^{p-2}}$

osztható p-vel.

(5 pont)

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)