Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


C. 985. Egy kétjegyű számot megszoroztunk 4-gyel, majd a kapott eredmény mögé írtuk az eredeti kétjegyű számot. Így olyan számhoz jutottunk, amelynek pontosan 6 osztója van. Mi lehetett az eredeti kétjegyű szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 986. Adjuk meg az összes olyan egész számot, amely lehet egy szabályos sokszög belső szögének fokban kifejezett mérőszáma.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 987. Egy papírból kivágott háromszög oldalainak hossza 8 cm, 10 cm és 12 cm. A legrövidebb oldalt ráhajtjuk a leghosszabb oldalra a közös csúcsból induló hajtásvonal mentén. Ekkor a papírlapnak lesz kétrétegű és egyrétegű része. Igazoljuk, hogy az egyrétegű rész egyenlő szárú háromszög alakú.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 988. Ha egy 6 kocsiból álló metrószerelvényen utazók között 4 meghűlt utas van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb két kocsiban utazik meghűlt utas?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 989. Egy gömb alakú testből ,,dobókockát'' készítünk hat egyforma gömbszelet levágásával olymódon, hogy a gömbszeletek helyén keletkező körlapok mindegyike érinti négy szomszédját. Hány százaléka a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


B. 4172. Legyen n pozitív egész és jelölje a k1,k2,k3,...,kn az 1-től n-ig terjedő egész számok egy tetszőleges sorrendjét. Mekkora az


{(1-k_1)}^2+{(2-k_2)}^2+{(3-k_3)}^2+\ldots+{(n-k_n)}^2

n-tagú kifejezés legnagyobb értéke?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4173. Melyek azok az ABCD konvex négyszögek, amelyeknek van olyan P belső pontja, amelyre az ABP, BCP, CDP, DAP háromszögek területe egyenlő?

Javasolta: Maga Péter

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4174. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:

(1)4a+bc=32,
(2)2a-2c-b2=0,
(3)a+12b-c-ab=6.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4175. Legyenek A, B, C, D általános helyzetű pontok a síkon. Igazoljuk, hogy ha az ABC és az ABD körök merőlegesen metszik egymást, akkor ugyanez igaz az ACD és a BCD körökre is.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4176. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(sin x+sin 2x+sin 3x)2+(cos x+cos 2x+cos 3x)2=1.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4177. Az ABC háromszög körülírt körének B és C pontban húzott érintői az M pontban metszik egymást. Az M ponton át húzott, AB-vel párhuzamos egyenes az AC egyenest az N pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AN=BN.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4178. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n, k pozitív egészek esetén az \binom{n}{k},
\binom{n+1}{k}, \ldots, \binom{n+k}{k} számok legnagyobb közös osztója 1.

(1949. évi Schweitzer Miklós Emlékverseny feladata)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4179. Egy parabola C csúcsa egy olyan körnek a középpontja, amely átmegy a parabola F fókuszán. Legyenek a parabola és a kör metszéspontjai A és B, az AB és a CF metszéspontja E, a kör F-fel átellenes pontja D. Mutassuk meg, hogy a kör átmérőjének és FE-nek mértani közepe DE.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4180. Bizonyítsuk be, hogy az a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big] sorozat 3-nak végtelen sok egész kitevős hatványát tartalmazza.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4181. Egy tetraéder szemköztes élei egyenlő hosszúak és páronként ugyanakkora szöget zárnak be. Igazoljuk, hogy a tetraéder szabályos.

(4 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.


A. 479. Létezik-e olyan, 103-mal osztható pozitív egész n, amire


2^{2n+1}\equiv2\pmod{n}?

Holland versenyfeladat; szerzője Hendrik Lenstra (Leiden)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 480. Tegyük fel, hogy p(z) olyan n-edfokú, komplex együtthatós polinom, melynek minden (komplex) gyöke egységnyi abszolút értékű. Mutassuk meg, hogy tetszőleges c\ge0 valós számra a

2z(z-1)p'(z)+((c-n)z+(c+n))p(z)

polinom gyökei is egységnyi abszolút értékűek.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 481. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan n van, amelyhez léteznek olyan S1,...,Sn egyszerű gráfok, melyekre a következők teljesülnek:

(a) mindegyik Si teljes páros gráf;

(b) az S1,...,Sn gráfok uniója egy 2n csúcsú teljes gráf;

(c) ennek a 2n csúcsú teljes gráfnak minden egyes éle páratlan sok Si-ben szerepel.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)