Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


K. 565. Gombóc Artúr 2017. december 31-én újévi fogadalmat tesz. 2018. január elsejétől kezdve egy speciális fogyókúrába kezd, amelyben minden nap először ki kell számolnia, hány tábla csokit ehet meg. Egy 2018-as nap sorszáma azt jelenti, hogy az a nap hányadik nap ebben az évben. Ha a nap sorszáma páros szám, akkor Artúr éppen annyi csokit ehet meg, mint a feleakkora sorszámú napon. (Például a 26. napon ugyanannyi csokit ehet meg, mint a 13. napon.) Ha a nap sorszáma 1-nél nagyobb páratlan szám, akkor pedig 1-gyel kevesebb csokit ehet meg, mint majd a következő napon. A fogyókúra december 30-ig tart. Tudjuk, hogy január 9-én Artúr 3 tábla csokit eszik. Hány tábla csokit eszik Gombóc Artúr 2018. december 24-én?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 566. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög oldalai \(\displaystyle AB = 8\) cm, \(\displaystyle BC= 7\) cm, \(\displaystyle CD = 6\) cm és \(\displaystyle DA = 5\) cm hosszúak. Az \(\displaystyle BCD\) és \(\displaystyle ABD\) háromszögek beírható köre a \(\displaystyle BD\) átlót rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Milyen hosszú az \(\displaystyle EF\) szakasz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 567. Melyek azok az 1000-nél kisebb pozitív egész \(\displaystyle n\) számok, melyek négyzetének végződése éppen \(\displaystyle n\)?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 568. \(\displaystyle a)\) Adjunk meg négy olyan 50-nél kisebb különböző prímszámot, melyek közül bármely három összege prímszám.

\(\displaystyle b)\) Megadható-e öt különböző pozitív prímszám úgy, hogy közülük bármely három összege prímszám legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 569. Határozzuk meg azt a négyjegyű pozitív egész \(\displaystyle \overline{abcd}\) számot, melyre \(\displaystyle \overline{abcd} =a^{a}+b^{b}+c^{c}+d^{d}\).

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 570. Öt fiú egy focimeccs kapcsán tippeket mond a meccsel kapcsolatos különböző eseményekre. A két ellenfél a Kisparti Rókák és a Nagyfalvi Farkasok csapata. Az alábbiakban láthatjuk, hogy mire tippeltek.

Ambustán: A Rókák több gólt lőnek, mint a Farkasok. A Farkasok legalább 2 gólt lőnek.

Belizár: A meccs nem döntetlennel ér véget. A Rókák 1 gólt fognak lőni.

Ciporján: A meccsen a győztes két góllal fog nyerni. A félidőben a Farkasok állnak majd nyerésre.

Dezmér: A Farkasok nem lőnek gólt. A Rókák nyerik a mérkőzést.

Ekese: A második félidőben a Rókák kétszer annyi gólt rúgnak, mint a Farkasok. A mérkőzés döntetlennel zárul.

Tudjuk, hogy mindenkinek egy igaz állítása lett, és egy hamis, és nem volt öngól. Mi lett a mérkőzés végeredménye?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


C. 1448. Oldjuk meg a következő egyenletet a pozitív egész számok halmazán:

\(\displaystyle \left[\frac{2017}{x}\right]+\left[\frac{2018}{x+1}\right]=230, \)

ahol \(\displaystyle [a]\) az \(\displaystyle a\) szám egészrésze.

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Felsőgöd)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1449. Egy egységsugarú körbe szabályos nyolcágú csillagot írtunk az ábrán látható módon. Mekkora a csillag kerülete?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1450. Határozzuk meg, hogy mely \(\displaystyle n>3\) esetén igaz az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben a következő állítás: pontosan akkor osztható egy szám 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1451. Hol metszi az \(\displaystyle x\) tengelyt az \(\displaystyle y=x|x|-2x+3\) egyenletű görbe? Hol, milyen és mekkora lokális szélsőértékei vannak?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1452. Egy 13 cm sugarú körbe írható trapézról tudjuk, hogy átlói a kör középpontjától 5 cm-re helyezkednek el. Legfeljebb mekkora lehet a trapéz területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1453. Egy \(\displaystyle 3\times3\)-as rácsnégyzet belsejébe eső tizenkettő, egységnyi hosszúságú rácsszakasz közül véletlenszerűen megjelölünk négyet. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a megjelölt szakaszok legalább két részre bontják a négyzetet?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1454. Egy szálloda recepcióján egymás mellé került London és Moszkva külsejében egyforma órája. Egy pók hálóját a két óra kismutatója közé feszítette ki, majd helyet foglalt rajta úgy, hogy a rugalmasan megnyúló szál által képzett szakasznak mindvégig a felezőpontjában tartózkodott. Milyen pályát ír le a pók 24 óra alatt? (London és Moszkva között az időeltolódás 3 óra.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


B. 4912. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle 5x^2-4y^2=2017\) egyenletnek nincs egész megoldása.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4913. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle A\) csúcsánál fekvő szögét az \(\displaystyle AC\) átló felezi. Jelöljük ki az \(\displaystyle AD\) oldal \(\displaystyle D\)-n túli meghosszabbításán az \(\displaystyle E\) pontot. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CE=CA\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle DE=AB\).

(Bolgár feladat)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4914. Legyen \(\displaystyle p(x)\) olyan egész együtthatós polinom, amely négy különböző egész helyen is a 2000 értéket veszi fel.

\(\displaystyle a)\) Igazoljuk, hogy nincs olyan \(\displaystyle x_0\) egész szám, amelyre \(\displaystyle p(x_0)=2017\).

\(\displaystyle b)\) Adjunk meg olyan (a fenti feltételnek megfelelő) \(\displaystyle p(x)\) polinomot és \(\displaystyle x_1\) egész számot, amelyre \(\displaystyle p(x_1)=2018\) teljesül.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4915. Adottak az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\), \(\displaystyle A_4\), \(\displaystyle A_5\) és \(\displaystyle P\) általános helyzetű pontok a síkon. Jelölje \(\displaystyle k_i\) azt a számot, ahányféleképpen az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\), \(\displaystyle A_4\), \(\displaystyle A_5\) pontok közül kiválasztható \(\displaystyle i\) darab úgy, hogy a kiválasztott pontok konvex burka tartalmazza \(\displaystyle P\)-t. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle k_3=k_4\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4916. A térbeli derékszögű koordinátarendszerben rögzítsük a \(\displaystyle P(a,b,c)\) pontot, ahol \(\displaystyle a,b,c>0\). Az origót jelölje \(\displaystyle O\). Egy \(\displaystyle P\)-re illeszkedő \(\displaystyle S\) sík messe a koor­dinátatengelyeket a pozitív felükre eső \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontokban. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle OXYZ\) tetraéder térfogata pontosan akkor minimális, ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XYZ\triangle\) súlypontja.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4917. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle f \colon \big(\mathbb{R} \setminus \{0 , 1\}\big)\to \mathbb{R}\) függvényt, amely teljesíti a következő összefüggést:

\(\displaystyle f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=4-\frac2x. \)

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4918. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle M\) darab (\(\displaystyle M\ge 2\)) térbeli egységvektorból ki lehet választani \(\displaystyle M-1\) olyat, amelyek összegének hossza legalább egységnyi.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4919. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), a beírt kör a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) pontokban érinti. Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle A_1B_1\) egyenesek a \(\displaystyle K\) pontban metszik egymást. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle K\) középpontú, \(\displaystyle C_1\)-en átmenő körnek, az \(\displaystyle AC_1IB_1\) deltoid beírt körének, valamint a \(\displaystyle BA_1IC_1\) deltoid beírt körének van egy közös érintője, ami átmegy a \(\displaystyle C\) ponton.

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4920. Hányféleképpen lehet \(\displaystyle 1\times2\)-es dominókkal átfedés és hézag nélkül lefedni a \(\displaystyle 8\times8\)-as sakktábla körül felvett 2 egység szélességű szegélyt? (Az ábrán látható két lefedést különbözőnek tekintjük.)

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


A. 710. Mely \(\displaystyle n\)-re lehet felbontani egy szabályos \(\displaystyle n\)-szöget véges sok háromszögre úgy, hogy semelyik két háromszögnek ne legyen közös oldala?

(2017. évi Schweitzer-feladat nyomán)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 711. Melyek azok az \(\displaystyle (m,n)\) párok, amelyekhez létezik olyan \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) injektív függvény, hogy minden szabályos \(\displaystyle m\)-szög \(\displaystyle f\)-nél vett képe szabályos \(\displaystyle n\)-szög legyen? (Itt \(\displaystyle m,n\ge 3\), és szabályos \(\displaystyle N\)-szög alatt a zárt töröttvonalat értjük, nem a zárt sokszöglemezt.)

Javasolta: Sutanay Bhattacharya (Bishnupur, India)

(5 pont)

statisztika


A. 712. Egy pozitív valós számokból álló szigorúan monoton növekvő \(\displaystyle a_1,a_2,\dots\) sorozatot törpének nevezünk, ha tetszőleges \(\displaystyle c>0\)-hoz megadható \(\displaystyle N\), melyre \(\displaystyle a_n<cn\) áll fenn \(\displaystyle n=N,N+1,\dots\) esetén. Továbbá azt mondjuk, hogy \(\displaystyle a_n\) sipka, ha \(\displaystyle {1\le i\le n-1}\) esetén \(\displaystyle a_{n-i}+a_{n+i}<2a_n\).

Igaz-e, hogy minden törpe sorozatnak végtelen sok sipkája van?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)