Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


C. 1602. Két tizedikes és két tizenegyedikes diák nekiült az áprilisi KöMaL C feladatok megoldásának. (Minden hónapban hét gyakorlatot tűzünk ki, ebből az 1–5. gyakorlatokra a legfeljebb 10. évfolyamosok, a 3–7. gyakorlatokra pedig a 11–12. évfolyamosok küldhetnek be megoldást). Egy óra elteltével azt vették észre, hogy minden feladatra pontosan egyvalaki tudott megoldást adni közülük, valamint, hogy mindenki megoldott legalább egy feladatot. Hányféle felosztásban dolgozhattak a példákon, ha mindenki csak a saját korosztályának megfelelő feladatokkal foglalkozott? (Különbözőnek tekintünk két felosztást, ha van legalább egy feladat, amit más old meg.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1603. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlőszárú háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló magasság­vonal a \(\displaystyle BC\) szárt \(\displaystyle T\)-ben metszi, a magasságpontot jelölje \(\displaystyle M\), a beírt körének középpontját pedig \(\displaystyle O\). Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle OT\) egyenes párhuzamos az \(\displaystyle AB\) alappal, akkor \(\displaystyle MC=2AM\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1604. A mezőgazdasági kiállításon és vásáron egy termelő az általa előállított vetőmaggal jelentkezett. Összesen 1225 csomagot hozott: 1 db 1 grammos, 2 db 2 grammos, 3 db 3 grammos, ..., \(\displaystyle k\) db \(\displaystyle k\) grammos csomagot – \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle k\)-ig minden pozitív egész szám előfordul. Átlagosan hány gramm vetőmag volt egy csomagban?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1605. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ABM\) háromszög területe nagyobb a \(\displaystyle CDM\) háromszög területénél. A négyszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle P\), \(\displaystyle CD\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle AP+AQ=\sqrt2\,\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.

(5 pont)

megoldás


C. 1606. Egy téglatest két oldallapjának területe 40, illetve 56 területegység. A testátló hossza \(\displaystyle \sqrt{138}\) egység. Mekkora lehet a téglatest felszíne, illetve térfogata?

Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1607. A 4 és a 9 közé leírunk néhány 4-est, majd mellé még ugyanannyi 8-ast (például 4489). Bizonyítsuk be, hogy az így kapott szám négyzetszám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1608. Jelmezbálra szeretnénk elkészíteni kartonból egy vietnámi kalapot. A kalap egy \(\displaystyle 97{,}18^\circ\) nyílásszögű egyenes körkúp, amelynek alkotója 28 cm hosszú. Elkészíthető-e egy ilyen méretű kalap a kereskedelemben kapható \(\displaystyle 50\times 70\) cm-es kartonpapírból?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


B. 5094. Igazoljuk, hogy ha két derékszögű háromszög területe és kerülete megegyezik, akkor egybevágók.

Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5095. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) nullától különböző egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle \frac{ab}{c}\), \(\displaystyle \frac{bc}{a}\) és \(\displaystyle \frac{ca}{b}\) számok összege egész, akkor külön-külön is egészek.

George Stoica (Saint John, Kanada)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5096. Az \(\displaystyle ABC\) egységnyi oldalú szabályos háromszögben legyen \(\displaystyle P\) a beírható körvonal tetszőleges pontja. Jelölje a \(\displaystyle P\) pont merőleges vetületét a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakra rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle DEF\) háromszög területe \(\displaystyle P\) választásától független állandó.

(4 pont)

megoldás


B. 5097. Az \(\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_n\) pozitív számok szorzata \(\displaystyle 1\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle x_1^4+x_2^4+\ldots+x_n^4 \ge x_1^3+x_2^3+\ldots+x_n^3. \)

Dinu Ovidiu-Gabriel (Bălcești, Románia)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5098. Kezdő és Második a következő játékot játsszák:

Kezdő gondol egy 2020-nál nem nagyobb pozitív egészre, amit Második úgy szeretne kitalálni, hogy mindig egy konkrét számra kérdez rá.

Kezdő lehetséges válaszai Második kérdéseire: ,,Kisebb számra gondoltam.''; ,,Eltaláltad.''; ,,Nagyobb számra gondoltam.''

Ha a válasz ,,Kisebb számra gondoltam'', vagy ,,Eltaláltad'', akkor Második 10 forintot fizet Kezdőnek, míg abban az esetben, ha a válasz ,,Nagyobb számra gondoltam'', akkor 20 forintot fizet.

Mennyi az a legkisebb összeg, amennyiért Második biztosan ki tudja találni Kezdő számát és hogyan kell ehhez játszania?

(A játék az első ,,Eltaláltad'' válaszig tart, akkor is, ha a legutolsó kérdés előtt Második már tudja mi a gondolt szám.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5099. Az \(\displaystyle ABCD\) rombusz \(\displaystyle A\)-nál lévő szöge \(\displaystyle 60^\circ\). A rombuszba olyan ellipszist írtunk, amelynek tengelyei a rombusz átlói, továbbá az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AD\) oldalakat az \(\displaystyle A\)-hoz, a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CD\) oldalakat a \(\displaystyle C\)-hez közelebbi negyedelőpontjaikban érinti. Legyen \(\displaystyle P\) az ellipszis egy mozgó pontja. Metsszük el a rombusz mindkét középvonalát a \(\displaystyle P\) ponton keresztül húzott, a másik középvonallal párhuzamos egyenessel; jelöljük az így kapott metszéspontokat \(\displaystyle Q\)-val, illetve \(\displaystyle R\)-rel. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle QR\) szakasz hossza nem függ a \(\displaystyle P\) pont helyzetétől.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5100. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle n\) szomszédos egész szám közül mindig kiválasztható néhány (legalább egy), melynek összege osztható \(\displaystyle (1+2+\ldots+n)\)-nel.

(6 pont)

Kovács Benedek és Várkonyi Zsombor ötletéből

(6 pont)

megoldás


B. 5101. Adott egy \(\displaystyle ABCDO\) négyoldalú gúla, és az \(\displaystyle ABCD\) alaplap belsejében egy \(\displaystyle P\) pont. Egy \(\displaystyle O\)-ra nem illeszkedő sík az \(\displaystyle OA\), \(\displaystyle OB\), \(\displaystyle OC\), \(\displaystyle OD\) és \(\displaystyle OP\) egyeneseket rendre az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\), \(\displaystyle D'\), illetve \(\displaystyle P'\) pontokban metszi. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac{t_{PAB}\cdot t_{PCD}}{t_{PBC}\cdot t_{PDA}} = \frac{t_{P'A'B'}\cdot t_{P'C'D'}}{t_{P'B'C'}\cdot t_{P'D'A'}}. \)

(\(\displaystyle t_{XYZ}\) az \(\displaystyle XYZ\) háromszög területét jelöli.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


A. 775. Legyen \(\displaystyle H \subseteq \mathbb{R}^3\) olyan, hogy \(\displaystyle H\) bármely pontját \(\displaystyle H\) bármely másik pontjára tükrözve ismét \(\displaystyle H\)-beli pontot kapunk. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle H\) sűrű \(\displaystyle \mathbb{R}^3\)-ban, vagy vannak egymástól egyenlő távolságra lévő párhuzamos síkok, amelyek lefedik \(\displaystyle H\)-t.

Javasolta: Kurusa Árpád (Szeged) és Totik Vilmos (Szeged)

(7 pont)

statisztika


A. 776. Legyen \(\displaystyle k>1\) egy rögzített páratlan szám, és ha \(\displaystyle n\) nemnegatív egész, legyen

\(\displaystyle f_n=\sum_{\substack{0\le i\le n\\ k\mid n-2i}}\binom{n}{i}. \)

Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f_n\) kielégíti a következő rekurziót:

\(\displaystyle f_n^2=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_if_{n-i}. \)

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)