Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


C. 1665. A \(\displaystyle \textit{KÖMAL}\) szó minden betűje egy-egy tízes számrendszerbeli számjegyet jelöl. Határozzuk meg a \(\displaystyle \overline{\textit{KÖMAL}}\) ötjegyű számot, ha fennállnak a következő egyenlőségek:

$$\begin{align*} M+Ö+L & =\overline{KA}, \tag{1}\\ Ö+L & =\overline{KK}, \tag{2}\\ K+Ö+M & =10, \tag{3}\\ A\cdot{L} & =42. \tag{4} \end{align*}$$

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1666. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\) pontból induló belső szögfelezőjének metszéspontja a \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezővel, valamint a \(\displaystyle BC\) oldallal \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle A\) pontból induló belső szögfelező metszéspontja a \(\displaystyle B\)-ből induló belső szögfelezővel, valamint a \(\displaystyle BC\) oldallal \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle AD\) szögfelezőre a \(\displaystyle K\) pontban állított merőleges az \(\displaystyle AB\) oldalt az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Az \(\displaystyle E\) pontból a \(\displaystyle BC\)-re állított merőleges talppontja \(\displaystyle F\). Bocsássunk merőlegest a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\) egyenesre, a merőleges talppontja \(\displaystyle T\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle T\) pont illeszkedik a \(\displaystyle KEF\) háromszög körülírt körére.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1667. Legyen

$$\begin{align*} A & ={(-1)}^1+{(-1)}^2+{(-1)}^3+\ldots+{(-1)}^{2021},\\ B & ={(-2)}^1+{(-2)}^2+{(-2)}^3+\ldots+{(-2)}^{2021} \end{align*}$$

és

\(\displaystyle C={(-3)}^1+{(-3)}^2+{(-3)}^3+\ldots+{(-3)}^{2021}. \)

Határozzuk meg a \(\displaystyle B+C-A\) szám utolsó számjegyét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1668. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\). Az \(\displaystyle AF\) és \(\displaystyle AG\) egyenesek a \(\displaystyle BD\) átlót a \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle L\) pontban metszik. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle GHL\) háromszögek területének összege az \(\displaystyle EKL\) háromszög területével egyenlő.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1669. Adott az \(\displaystyle N=\overline{abc}\) tízes számrendszerbeli háromjegyű szám. Az \(\displaystyle M=\overline{abc}\) nem tízes számrendszerbeli szám értéke \(\displaystyle 2N\). Határozzuk meg az \(\displaystyle N\) számot.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1670. Legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) tetszőleges egész számok, amelyekre \(\displaystyle 3a-2b\) osztható \(\displaystyle 13\)-mal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle 4a+19b\) és \(\displaystyle 38a+57b\) is osztható \(\displaystyle 13\)-mal.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1671. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle S\) síkjára merőlegesen az \(\displaystyle AE\), \(\displaystyle BF\), \(\displaystyle CG\), \(\displaystyle DH\) szakaszokat állítottuk az \(\displaystyle S\) sík által meghatározott egyik féltérben. A \(\displaystyle CGEA\) és \(\displaystyle DHFB\) négyszögek területét \(\displaystyle T\), illetve \(\displaystyle t\) jelöli. Igazoljuk, hogy ha

\(\displaystyle \frac{T}{t}=\frac{AC}{BD}, \)

akkor az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) pontok egy síkra illeszkednek.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


B. 5166. Vannak-e olyan \(\displaystyle 3\)-nál nagyobb \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) prímszámok, amelyekre \(\displaystyle 2p^2+7r^2+2021\) számjegyeinek összege négyzetszám?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5167. Adott a síkon két kör úgy, hogy vannak közös belső érintőik. Mutassuk meg, hogy e közös érintők érintési pontjain átmenő kör középpontja felezi a két kör középpontjait összekötő szakaszt.

Javasolta: Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 8.C. osztály

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5168. Felírjuk 1-től 100-ig az egész számokat egy-egy cédulára. A száz darab cédula közül kiválasztunk 16 darabot. Található-e biztosan négy olyan cédula a kiválasztottak között, hogy közülük kettőn-kettőn álló számok összege megegyezik?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5169. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

\(\displaystyle \sqrt[3]{2x+11}+\sqrt[3]{3x+4}=\sqrt[3]{x+9}+\sqrt[3]{4x+6}. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5170. Az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) hegyesszögekre \(\displaystyle \sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin{(\alpha+\beta)}\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor \(\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}\).

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5171. Az \(\displaystyle OLMN\) és \(\displaystyle OABC\) tetraéderek úgy helyezkednek el, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok rendre az \(\displaystyle OL\), \(\displaystyle OM\) és \(\displaystyle ON\) félegyenesek pontjai. Az \(\displaystyle LMN\) háromszög beírt körének középpontja egybeesik az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontjával. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle OLMN\) tetraéder térfogata legalább akkora, mint az \(\displaystyle OABC\) tetraéderé. Mi a feltétele annak, hogy a két tetraéder térfogata egyenlő legyen?

(Angol olimpiai válogatóverseny feladata, 1980)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5172. Hat szabályos dobókockát egy dobópohárral egyszerre elgurítunk. A nem 6-ost mutató kockákat visszatesszük a pohárba, és újra gurítunk. Ha még mindig van olyan kocka, ami nem 6-os, akkor ezeket ismét a pohárba tesszük, és harmadszor is gurítunk. Ezt addig ismételjük, amíg minden kocka hatost nem mutat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan hatszor gurítunk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5173. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságpontja \(\displaystyle H\), körülírt körének középpontja \(\displaystyle O\). Legyen \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) szakasz belső pontja. Az \(\displaystyle ADE\) háromszög magasságpontja és körülírt körének középpontja \(\displaystyle H'\), illetve \(\displaystyle O'\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle HH'\) és \(\displaystyle OO'\) egyenesek akkor és csak akkor párhuzamosak, ha \(\displaystyle BD = CE\).

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


A. 797. Egy üres halmazt nem tartalmazó \(\displaystyle H\) halmazrendszer szövevényes, hogy ha minden \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) \(\displaystyle \,\) \(\displaystyle H\)-beli diszjunkt halmazpárra létezik \(\displaystyle b\in B\), hogy \(\displaystyle A\cup \{b\}\) is \(\displaystyle H\)-ban van vagy létezik \(\displaystyle a\in A\), hogy \(\displaystyle B \cup \{a\}\) is \(\displaystyle H\)-ban van.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\) egyelemű halmaz, \(\displaystyle \{1\}, \{2\},\dots, \{n\}\), mind a szövevényes \(\displaystyle H\) halmazrendszerben van. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle n>k(k+1)/2\), akkor van \(\displaystyle H\)-ban egy legalább \(\displaystyle k+1\) elemű halmaz, és ez minden \(\displaystyle k\)-ra éles, azaz ha \(\displaystyle n=k(k+1)/2\), akkor még lehet minden \(\displaystyle H\)-beli halmaz legfeljebb \(\displaystyle k\) elemű.

(7 pont)

statisztika


A. 798. Legyen \(\displaystyle 0<p<1\) adott. Kezdetben van \(\displaystyle n\) darab pénzérménk, melyeket feldobva mindegyik eredménye \(\displaystyle p\) eséllyel fej, \(\displaystyle 1-p\) eséllyel írás (a dobások eredménye egymástól független). Egy körben feldobjuk a pénzérméket, és kivesszük azokat, melyeknél az eredmény fej. Ezt addig ismételjük, amíg az összes érme el nem fogy. Jelölje \(\displaystyle k_n\) az ehhez szükséges körök számának várható értékét. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan \(\displaystyle c>0\) szám, mellyel minden \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén teljesül, hogy

\(\displaystyle c\left(1+\frac12+\ldots+\frac1{n}\right)<k_n<1+c\left(1+\frac12+\ldots+\frac1{n}\right). \)

(7 pont)

statisztika


A. 799. Egy adott \(\displaystyle A_1A_2B_1B_2\) négyszögre a \(\displaystyle P\) pontot fenomenálisnak nevezzük, ha az \(\displaystyle A_1A_2\) és \(\displaystyle B_1B_2\) szakaszok ugyanakkora szögben látszanak a \(\displaystyle P\) pontból (azaz a \(\displaystyle PA_1A_2\) és \(\displaystyle PB_1B_2\) – akár degenerált – háromszögek \(\displaystyle P\)-nél lévő (irányítatlan) belső szögei megegyeznek).

A síkon meg van jelölve három nem egy egyenesen fekvő pont, \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\) és \(\displaystyle B_1\). Bizonyítandó, hogy létezik egy körlap, melynek tetszőleges \(\displaystyle B_2\) pontjára \(\displaystyle A_1A_2B_1B_2\) egy konvex négyszög, melyhez egy derékszögű vonalzó segítségével szerkeszthető hét különböző fenomenális pont.

Egy derékszögű vonalzóval a következő két szerkesztési lépés megengedett:

\(\displaystyle i)\) ha adva van két pont, akkor megszerkeszthető a rajtuk átmenő egyenes;

\(\displaystyle ii)\) ha adva van egy pont és egy egyenes, akkor megszerkeszthető a pontból az egyenesre állított merőleges.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)