A KöMaL 2025. februári matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

---

K. 844. Egy focibajnokságban öt csapat körmérkőzést játszik, mindenki mindenkivel egyszer mérkőzik meg. A győzelemért \(\displaystyle 3\), a döntetlenért \(\displaystyle 1\), a vereségért \(\displaystyle 0\) pont jár. A bajnokság végén négy csapat pontszáma \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 5\) és \(\displaystyle 7\). Hány pontja lett az ötödik csapatnak?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 845. Az alábbi \(\displaystyle 3\times3\)-as táblázatba írjuk be az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 10\) számokat úgy, hogy bármelyik két oldalszomszédos mezőn lévő szám összege prímszám legyen. Hány megoldása van a feladatnak? (Két megoldás különböző, ha van olyan szám, amelynek mások a szomszédai az egyik, illetve a másik elrendezésben.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 846. A LIGO cég új építőjátéka csupa azonos építőelemet tartalmaz. Az építőelem négy egyberagasztott \(\displaystyle 2~\mathrm{cm}\) élű kiskockából áll. Legfeljebb hány építőelemet tartalmazhat az a készlet, amelyet egy \(\displaystyle 6~\mathrm{cm}\times 6~\mathrm{cm}\times 8~\mathrm{cm}\)-es dobozba csomagoltak?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 847. Hány olyan nemüres részhalmaza van az \(\displaystyle \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}\) halmaznak, amelyben a számok szorzata páros és a számok összege is páros?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 848. Egy \(\displaystyle 10\) egység sugarú körbe olyan \(\displaystyle ABCD\) trapézt írtunk, amelyben az \(\displaystyle AB\) oldal a kör átmérője, és az \(\displaystyle ABC\sphericalangle=75^{\circ}\). Számítsuk ki az \(\displaystyle ABCD\) trapéz területét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

---

C. 1843. Boglárka rajzolt egy téglalapot, amelynek az egyik oldala \(\displaystyle 75~\mathrm{cm}\), míg a másik \(\displaystyle 105~\mathrm{cm}\) hosszú lett. Ezt felosztotta \(\displaystyle 75\cdot 105= 7875\) darab \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\) oldalú négyzetre, majd megrajzolta a téglalap egyik átlóját. Hány kis négyzeten megy át ez az átló?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1844. Ági pirossal, Laci kékkel színezgeti egy \(\displaystyle n \times n\)-es (\(\displaystyle n>1\)) fehér táblázat mezőit, amely \(\displaystyle i\)-edik sorának \(\displaystyle j\)-edik mezőjét \(\displaystyle (i;j)\)-vel jelöljük. Első lépésben Ági pirosra festi a főátló (bal felsőtől a jobb alsóig) mezőit. Ezután felváltva jönnek: ha Laci \(\displaystyle (i;j)\)-t színezi, akkor Ági \(\displaystyle (j;i)\)-t. Minden mezőt pontosan egyszer színeznek be. A \(\displaystyle k\)-adik sort különlegesnek hívjuk, ha bármely kék \(\displaystyle (k;j)\) esetén létezik \(\displaystyle l\), hogy \(\displaystyle (k;l)\) és \(\displaystyle (l;j)\) is piros. Bizonyítsuk be, hogy a színezgetés végeztével Ági talál különleges sort.

Javasolta: Paulovics Zoltán, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1845. Ezékiel összeszorzott két egész számot. A két szám közül az egyik \(\displaystyle 74\)-gyel nagyobb volt, mint a másik. A szorzásnál hibázott, mert a szorzatban a tízesek helyére véletlenül \(\displaystyle 3\)-mal kisebb számjegyet írt, mint kellett volna. A szorzás ellenőrzésekor a kisebbik tényezővel való osztásnál hányadosul pontosan \(\displaystyle 61\)-et kapott. Mi lehetett a két szám?

Javasolta: Sánta Gergely, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1846. A \(\displaystyle 11\)-gyel osztható ötjegyű palindromszámok hányadrésze nem osztható \(\displaystyle 121\)-gyel? (A palindromszám olyan pozitív egész szám, amely visszafelé olvasva megegyezik az eredetivel.)

Javasolta: Németh László, Fonyód

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1847. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AD\) oldalán válasszuk ki úgy a \(\displaystyle P\) pontot, hogy \(\displaystyle CPA\sphericalangle=105^{\circ}\) legyen. A \(\displaystyle CP\) egyenesre az \(\displaystyle A\) pontból bocsássunk merőlegest, amelynek talppontját jelölje \(\displaystyle Q\). Határozzuk meg az \(\displaystyle ABQ\) és az \(\displaystyle ACP\) háromszögek területe arányának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

---

B. 5438. Hányféle eredményt kaphatunk, ha összeadunk két különböző, \(\displaystyle n\)-jegyű számot, amelyeknek minden jegye 4-es vagy 7-es?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5439. Az \(\displaystyle ABCD\) téglalapra teljesül, hogy \(\displaystyle AD<AB<2AD\). Legyen \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle AB\) oldal azon pontja, amelyre \(\displaystyle OB=AD\). Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle OB\) sugarú kör az \(\displaystyle AD\) oldalt \(\displaystyle E\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle ABCD\) területe \(\displaystyle BE^2/2\).

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5440. Egy háromszög oldalait az oldalegyenesek mentén mindkét irányban meghosszabbítottuk, és mindegyik csúcs után felmértük még a csúccsal szemközti oldal hosszát. Mutassuk meg, hogy az így kapott hat pont egy körre illeszkedik.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5441. Egy háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\geq\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma. \)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5442. Legyenek \(\displaystyle n\), \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle \ell\) pozitív egész számok. Jelölje \(\displaystyle g(n,k,\ell)\) azt, hogy hányféleképpen lehet egy \(\displaystyle n \times k\) méretű táblázatot az \(\displaystyle \{1,2, \ldots, \ell+1\}\) halmaz elemeivel úgy kitölteni, hogy minden sorban és minden oszlopban balról jobbra, illetve fentről lefelé monoton nőjenek a számok. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle g(n,k,\ell)=g(k,\ell,n)\).

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5443. Bármilyen pozitív egész \(\displaystyle n\)-re jelölje \(\displaystyle a_n\) az \(\displaystyle n\)-nél nem nagyobb pozitív egész teljes hatványok számát. (Például \(\displaystyle a_9=4\).) Az \(\displaystyle n\) ,,izgalmas'', ha \(\displaystyle a_n \mid n\). Igazoljuk, hogy végtelen sok izgalmas szám van.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5444. Az \(\displaystyle ABCDEF\) húrhatszögben az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle CF\) átlók metszéspontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle AE\) és a \(\displaystyle BF\) metszéspontja pedig \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle BC=CP\) és \(\displaystyle DP=DE\), akkor \(\displaystyle PQ\) felezi a \(\displaystyle BQE\) szöget.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5445. Igaz-e, hogy ha egy pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat elemei között van négyzetszám és köbszám is, akkor a sorozatban hatodik hatvány is van?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

---

A. 899. A híres végtelen emeletes végtelen szállodának (amelyben az emeletek és minden emeleten a szobák is a pozitív egész számokkal vannak számozva) továbbra is nagyon jól megy a dolga, minden szobában pontosan egy vendég lakik. A szálloda minden emeletén le szeretné szőnyegezni a folyosót, amihez be is szerzett végtelen sok (természetesen a pozitív egész számokkal számozott), de sajnos csak véges hosszúságú szőnyeget. Minden vendéget megkérdeztek, hogy mely szőnyegek tetszenek neki, és mindenki le is adott egy végtelen listát azon szőnyegekről, amelyeket szívesen látna a saját emeletén. Tudjuk, hogy bármely két vendéghez, akik különböző emeleten laknak, csak véges sok olyan szőnyeg található, amely mindkettőjüknek tetszik. Mutassuk meg, hogy el lehet osztani a szőnyegeket az emeletek között úgy, hogy minden vendéghez csak véges sok olyan szőnyeg legyen, amely tetszik neki, de nem arra az emeletre került, ahol ő lakik.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 900. Egy teremben \(\displaystyle n\) lámpa az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle n\) számokkal van megszámozva. A játék elején ki lehet jelölni az \(\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}\) halmaz \(\displaystyle k\) darab \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle S_k\) részhalmazát. Minden \(\displaystyle 1\leq i\leq k\) egész számhoz tartozik egy felkapcsoló és egy lekapcsoló gomb, amellyel az \(\displaystyle S_i\) halmaz elemeihez tartozó lámpákat lehet fel-, illetve lekapcsolni. Tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén határozzuk meg a legkisebb \(\displaystyle k\)-t, amelyre meg lehet választani úgy az \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle S_k\) halmazokat, hogy a lámpák teljesen lekapcsolt állapotából tetszőleges állapotba el lehessen jutni a kapcsolók segítségével.

Javasolta: Zólomy Kristóf (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 901. Tükrözzük a nem egyenlő szárú hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszöget az Euler-egyenesére, így kapjuk az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszöget. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög Feuerbach-körének egy pontja legyen \(\displaystyle P\). Minden \(\displaystyle X\) pont esetén jelölje \(\displaystyle p(X)\) az \(\displaystyle X\) pont tükörképét \(\displaystyle P\)-re.

a) Legyen \(\displaystyle e_{AB}\) az az egyenes, amely átmegy az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle BB'\) egyenesre vett merőleges vetületén és a \(\displaystyle B\) pont \(\displaystyle AA'\) egyenesre vett merőleges vetületén. Hasonlóan definiáljuk az \(\displaystyle e_{BC}\), \(\displaystyle e_{CA}\) egyeneseket. Igazoljuk, hogy ez a három egyenes egy \(\displaystyle K\) pontban találkozik.

b) Bizonyítsuk be, hogy két olyan választása is van \(\displaystyle P\)-nek, amelyre az \(\displaystyle Ap(A')\), \(\displaystyle Bp(B')\) és \(\displaystyle Cp(C')\) egyenesek egy ponton mennek át, továbbá a \(\displaystyle {p(A)p(A')\cap BC}\), \(\displaystyle {p(B)p(B')\cap CA}\), \(\displaystyle {p(C)p(C')\cap AB}\) és \(\displaystyle K\) pontok egy egyenesre esnek.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika