A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

K. 849. Legalább hány gyufát kell elvenni ahhoz, hogy az ábrán semmilyen méretű négyzet ne maradjon?

(5 pont)

K. 850. A tanár felírt a táblára egy kétjegyű pozitív prímszámot és egy $\displaystyle 0$-tól különböző számjegyet. Sanyi, Kati és Joli egy-egy háromjegyű számot hozott létre a felírt számokból. Sanyi a felírt kétjegyű prímszám végére írta a megadott számjegyet, Kati a kétjegyű prím két számjegye közé, Joli pedig a prímszám elejére. Így Sanyi háromjegyű száma $\displaystyle 45$-tel több lett, mint Katié, és $\displaystyle 225$-tel több, mint Jolié. Melyik prímszámot, és melyik számjegyet írta fel a tanár a táblára?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K. 851. Daraboljuk fel az ábrán látható öt egybevágó négyzetből álló alakzatot három részre két vágással úgy, hogy ha a darabokat megfelelően összeillesztjük, akkor egy olyan téglalapot kapjunk, amelynek az egyik oldala kétszer olyan hosszú, mint a másik.

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

K/C. 852. Három szomszédos pozitív prímszám négyzetösszege olyan szám, amelyben a számjegyek összege $\displaystyle 11$. Melyik lehet ez a három prímszám?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C. 853. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alaplapjának élhossza $\displaystyle a$, magassága $\displaystyle b$. Tekintsük az összes alap- és oldallap minden átlója hosszainak összegét. Milyen $\displaystyle a:b$ arány esetén lesz ez az összeg $\displaystyle 12\bigl(a\sqrt{3}+3b\bigr)$?

Javasolta: Róka Bálint, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

C. 1848. Az $\displaystyle a_n$ számsorozatot a következőképpen definiáljuk: $\displaystyle a_1=1$; $\displaystyle a_2=2$, és minden $\displaystyle n$ pozitív egész számra

$\displaystyle a_{n+2}=a_n^2+a_{n+1}^2. $

Mi az utolsó számjegye a sorozat $\displaystyle 2025$. tagjának?

ausztrál versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1849. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög $\displaystyle AB$ oldalának negyedelőpontjai az $\displaystyle A$ ponttól a $\displaystyle B$ felé haladva rendre $\displaystyle N_1$, $\displaystyle N_2$, $\displaystyle N_3$, a $\displaystyle DC$ oldal negyedelőpontjai a $\displaystyle D$ ponttól a $\displaystyle C$ felé haladva rendre $\displaystyle M_1$, $\displaystyle M_2$, $\displaystyle M_3$.

Hosszabbítsuk meg az $\displaystyle AB$ oldalt a $\displaystyle B$ ponton túl az $\displaystyle AB$ oldal hosszának negyedrészével, így kapjuk az $\displaystyle N_4$ pontot. Hasonlóképpen hosszabbítsuk meg a $\displaystyle DC$ oldalt a $\displaystyle C$ ponton túl a $\displaystyle DC$ oldal hosszának negyedrészével, így az $\displaystyle M_4$ pontot kapjuk.

Határozzuk meg az $\displaystyle ABCD$ négyszög területét, ha tudjuk, hogy az $\displaystyle AN_1M_1D$, illetve $\displaystyle BN_4M_4C$ négyszögek területe $\displaystyle 8$, illetve $\displaystyle 10$ területegység.

Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1850. Mutassuk meg, hogy ha az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ pozitív számokra $\displaystyle abc^6=\frac{b^2}{c^2}=16$ teljesül, akkor $\displaystyle a+4b>16$.

Javasolta: Czett Mátyás, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1851. Egy háromszög $\displaystyle C$ csúcsából induló belső szögfelező az $\displaystyle AB$ oldalt a $\displaystyle D$ pontban metszi. Mekkorák a háromszög oldalai, ha $\displaystyle AD=15$, $\displaystyle DB= 20$ és $\displaystyle CD=f_{c}=12\sqrt{2}$?

Javasolta: Németh László, Fonyód

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1852. Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán az

$$\begin{gather*} \log_5(22+x)=\log_3(12-y)\\ \log_5(22+y)=\log_3(12-z)\\ \log_5(22+z)=\log_3(12-x) \end{gather*}$$

egyenletrendszert.

Javasolta: Bencze Mihály, Brassó

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

B. 5446. Mekkora lehet $\displaystyle \ell$, ha egybevágóság erejéig pontosan háromféle háromszög létezik, amelynek egyik oldala egységnyi, egy másik oldala $\displaystyle \ell$ hosszú, és valamelyik szöge 60 fokos?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 5447. Az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ pozitív valós számok összege $\displaystyle 2025$. Határozzuk meg

$\displaystyle x^2+y^2+z^2+20x+2y+5z $

lehetséges legkisebb értékét.

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 5448. Van két egybevágó, szabályos $\displaystyle n$-szög alapú gúlánk. Mindkét gúla oldallapjaira felírjuk véletlenszerű sorrendben az $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle n$ számokat. Milyen $\displaystyle n$-ek esetén lehetünk biztosak benne, hogy a két gúlát össze tudjuk úgy ragasztani az alaplapjuk mentén, hogy a kapott $\displaystyle 2n$-lapú kettős gúla legalább két élére teljesül, hogy mindkét oldalán ugyanaz a szám áll?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 5449. Adjuk meg azon $\displaystyle (a,b)$ pozitív egész számpárokat, amelyekre teljesül, hogy $\displaystyle a^6=2b^2-1$.

Javasolta: Füredi Erik (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 5450. Nevezzük az $\displaystyle n$ pozitív egész szám blokk-osztójának az olyan $\displaystyle d$ pozitív egész számot, amelyre teljesül, hogy $\displaystyle d|n$, valamint $\displaystyle d$ és $\displaystyle \frac{n}{d}$ relatív prím egészek. Jelölje $\displaystyle B(n)$ az $\displaystyle n$ szám blokk-osztóinak összegét. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelynek nincs négy különböző prímosztója, és $\displaystyle B(n)=2n$.

Javasolta: Csizmazia Norbert (Harkány)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5451. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszögben $\displaystyle BAC\sphericalangle=2 CAD\sphericalangle$, $\displaystyle ADB\sphericalangle=2DBA\sphericalangle$ és $\displaystyle CBD \sphericalangle=30^{\circ}$. Mekkora lehet a $\displaystyle DCA \sphericalangle$?

Kovács Béla (Szatmárnémeti) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5452. Az $\displaystyle F$ fókuszpontú parabolán kijelöltük a $\displaystyle P_1$, $\displaystyle P_2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle P_n$ pontokat ($\displaystyle {n\geq 3}$) úgy, hogy

$\displaystyle P_1FP_2\sphericalangle=P_2FP_3\sphericalangle=\ldots=P_nFP_1\sphericalangle=\frac{360^\circ}{n}. $

Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle FP_1$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle FP_n$ távolságok harmonikus közepe a parabola paraméterével egyenlő.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

megoldás

B. 5453. Egy konvex polidéder lapjai az $\displaystyle ABCD$, $\displaystyle ABFE$, $\displaystyle BCGF$, $\displaystyle CDHG$, $\displaystyle ADHE$ és $\displaystyle EFGH$ négyszögek az ábra szerint. Az $\displaystyle A$, illetve a $\displaystyle G$ csúcsból induló élek páronként merőlegesek egymásra.

Igazoljuk, hogy

$\displaystyle [ABCD]^2+[ABFE]^2+[ADHE]^2 = [BCGF]^2+[CDHG]^2+[EFGH]^2. $

($\displaystyle [XYZW]$ az $\displaystyle XYZW$ négyszög területét jelöli.)

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

A. 902. Az $\displaystyle ABC$ háromszög belsejében lévő $\displaystyle D$ pont olyan, hogy a $\displaystyle BCD$ háromszög szabályos. Legyen $\displaystyle E$ a $\displaystyle D$ pont izogonális konjugáltja. Jelölje $\displaystyle P$ azt a pontot az $\displaystyle AB$ félegyenesen, amelyre $\displaystyle |AP|=|BE|$. Hasonlóan, jelölje $\displaystyle Q$ azt a pontot az $\displaystyle AC$ félegyenesen, amelyre $\displaystyle |AQ|=|CE|$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AD$ egyenes felezi a $\displaystyle PQ$ szakaszt.

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

A. 903. Legyen

$\displaystyle \alpha={1-\cfrac1{2a_1-\cfrac1{2a_2-\cfrac1{2a_3-\cfrac1{\ddots}}}}} $

irracionális szám, ahol az $\displaystyle a_1$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle \ldots$ együtthatók pozitív egészek, és közülük végtelen sok nagyobb $\displaystyle 1$-nél. Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív egész $\displaystyle N$-re az $\displaystyle [\alpha]$, $\displaystyle [2\alpha]$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle [N\alpha]$ számok között legalább annyi páros van, mint páratlan.

$\displaystyle \lfloor x \rfloor$ az $\displaystyle x$ szám alsó egész részét jelöli.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

megoldás

A. 904. Legyen $\displaystyle n$ pozitív egész szám. Egy $\displaystyle 2n$ oldalú szabályos sokszög egyik csúcsában ül Luca, a lusta bolha. Luca minden ugrása során kiválasztja a sokszögnek valamelyik szimmetriatengelyét, majd annak átugrik a túloldalára úgy, hogy tükrözi magát arra a tengelyre. Jelölje $\displaystyle P(n)$ azt, hogy hány különböző módon tud Luca $\displaystyle 2n$ egymás utáni ugrást végrehajtani úgy, hogy útja végén visszatérjen kezdeti helyzetébe és közben ne tükrözze magát ugyanarra a tengelyre kétszer. (Előfordulhat, hogy Luca helyben ugrik egyet, ez is ugrásnak minősül.)

a) Határozzuk meg $\displaystyle P(n)$ értékét, ha $\displaystyle n$ páratlan.

b) Igazoljuk, hogy ha $\displaystyle n$ páros, akkor

$\displaystyle P(n)=(n-1)!\cdot n!\cdot \sum_{d\mid n,d\in \mathbb{N}}\biggl(\varphi\left (\dfrac{n}{d}\right) \cdot \binom{2d}{d} \biggr), $

ahol $\displaystyle \varphi(k)$ a $\displaystyle k$-nál kisebb, $\displaystyle k$-hoz relatív prím pozitív egészek számát jelöli.

Javasolta: Csikvári Péter és Nagy Kartal (Budapest)

(7 pont)

megoldás

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?