A KöMaL 2025. áprilisi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT. |
K. 854. János bácsi a következőket mondja magáról: „amikor születtem, édesanyám már elmúlt \(\displaystyle 20\) éves. Ha az ő akkori életkorának mindkét számjegyéhez \(\displaystyle 1\)-et adunk és a kapott szám jegyeit fölcseréljük, akkor édesanyám mostani életkorát kapjuk. Édesanyám jó egészségnek örvend, és még nincs \(\displaystyle 90\) éves. Én \(\displaystyle 56\) éves vagyok.”
Hány éves volt János bácsi édesanyja János bácsi születésekor?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
K. 855. Három hajó egyszerre indult el egy kikötőből. Az egyik hajó északi, míg a másik kettő délkeleti irányba haladt, és mindhárom hajó pontosan egyszerre futott be a megfelelő kikötőbe. Ekkor az addig párban haladó két hajó szétvált, az egyik továbbment délkeleti irányba, a másik pedig az első megállójában veszteglő harmadik felé indult, és ez alkalommal is egyszerre kötöttek ki. Az északi irányhoz képest mekkora szögben kellett ezután a két azonos helyen lévő hajónak elindulnia, hogy nyílegyenesen abba a kikötőbe érkezzen, ahol az előzőleg végig délkelet felé haladó hajó várakozott? (Minden szakaszon minden hajónak ugyanakkora volt az átlagsebessége.)
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(5 pont)
K. 856. Van egy zsákunk, amelyben piros, kék és zöld golyók vannak, összesen \(\displaystyle 25\) darab. A zsákhoz mellékelve van egy papír, amelyen az alábbi állítások olvashatóak:
\(\displaystyle \bullet\) A zsákban több kék golyó van, mint piros.
\(\displaystyle \bullet\) A piros és kék golyók számának összege \(\displaystyle 22\).
\(\displaystyle \bullet\) A piros és kék golyók számának különbsége kisebb, mint a zöld golyók száma.
\(\displaystyle \bullet\) Több kék golyó van, mint piros és zöld golyó együtt.
\(\displaystyle \bullet\) Van két szín, melyekből ugyanannyi golyó van a zsákban.
Tudjuk, hogy ezen öt állítás közül pontosan egy hamis. Melyik színből hány golyó lehet?
Javasolta: Czett Mátyás (Budapest)
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT. |
K/C. 857. Milyen \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra áll fenn az \(\displaystyle x^2+y^2\geq(x+1)(y-1)\) egyenlőtlenség? Mely valós számokra teljesül az egyenlőség?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
K/C. 858. Egy \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalapba négy darab kis kék négyzetet rajzoltunk az alábbi ábra szerint.
Hányadrésze egy kis kék négyzet területe a \(\displaystyle 4 \times 1\)-es téglalap területének?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT. |
C. 1853. Néhány kutató egy virágos homokgyepen zümmögő poszméhek ötvenfős csapatát figyeli. Izgatottan állapítják meg, hogy a poszméhek mindegyike pontosan négyféle virágról gyűjtött virágport, mielőtt továbbrepült volna. Sőt, még azt is feljegyezték, hogy mindegyik poszméh különböző négyest választott, de mind az \(\displaystyle 50\) poszméh meglátogatott egy buglyos fátyolvirágot. Bizonyítsuk be, hogy összesen legalább 9-féle virágról gyűjtöttek a poszméhek.
Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)
(5 pont)
C. 1854. A \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) kör az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontban metszi egymást úgy, hogy a \(\displaystyle k_2\) kör áthalad a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle K\) középpontján. Válasszuk ki a \(\displaystyle k_2\) körvonalnak egy \(\displaystyle S\) pontját úgy, hogy \(\displaystyle S\) közelebb legyen \(\displaystyle A\)-hoz, mint \(\displaystyle B\)-hez és ne essen a \(\displaystyle k_1\) belsejébe. A \(\displaystyle BS\) egyenes és \(\displaystyle k_1\) második metszéspontja legyen \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AD\) egyenes a \(\displaystyle k_2\) kört másodszor a \(\displaystyle T\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle KT\) merőleges \(\displaystyle BS\)-re.
görög versenyfeladat
(5 pont)
C. 1855. Egy \(\displaystyle 19\) drónból álló csapat repül egy gyakorlótér felett, a biztonsági előírásoknak megfelelően olyan rögzített alakzatban, ahol bármely két gépnek különböző a távolsága. Egy hackertámadás következtében a drónok egymásra nyitnak tüzet: mindegyik drón lő egyet a hozzá legközelebbi drónra, és ezzel megsemmisíti azt. (Feltételezzük, hogy minden drón tudott lőni, a drónok pontszerűnek tekinthetők, továbbá hogy a drónok csak azután semmisülnek meg, miután minden golyó becsapódott.)
Van-e köztük túlélő drón?
Egy drónt legfeljebb hány azonos (őt is tartalmazó) síkból származó lövedék találhatott el?
Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)
(5 pont)
C. 1856. Bizonyítsuk be, hogy minden háromszögben (az oldalakat és a megfelelő szögeket a szokásos módon jelölve)
\(\displaystyle a\sin\alpha+b\sin\beta+c\sin\gamma\ge\frac{a+b+c}{3}\left(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\right). \)
Mikor áll fenn egyenlőség?
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
C. 1857. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\) pozitív prímszámokból álló számhármast, amelyek megoldásai a \(\displaystyle p+q=r+1\); \(\displaystyle p\cdot r=q^2+6\) egyenletrendszernek.
német versenyfeladat
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT. |
B. 5454. Az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{2024}\), \(\displaystyle a_{2025}\) pozitív egészeket úgy választottuk ki, hogy az \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2}\), \(\displaystyle \frac{a_2}{a_3}\), \(\displaystyle \frac{a_3}{a_4}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle \frac{a_{2024}}{a_{2025}}\) törtek páronként különböző értékűek legyenek. Legalább hány különböző van a kiválasztott számok között?
Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)
(4 pont)
B. 5455. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalegyeneseinek metszéspontja \(\displaystyle P\), az átlók felezőpontja \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PMN\) háromszög területe negyede az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területének.
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(4 pont)
B. 5456. Az \(\displaystyle a^{\log_b c}\), \(\displaystyle b^{\log_c a}\), \(\displaystyle c^{\log_a b}\) számok közül melyik lehet a legkisebb, illetve a legnagyobb, ha \(\displaystyle 1<a<b<c\)?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
B. 5457. Egy háromszög szögei \(\displaystyle \alpha \leq \beta \leq \gamma \), és a leghosszabb oldal egységnyi. Bizonyítandó, hogy a háromszög akkor és csak akkor tompaszögű, ha a területének reciproka több, mint \(\displaystyle 2(\tg \alpha +\tg \beta)\).
Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)
(4 pont)
B. 5458. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), és \(\displaystyle AB<AC\). Az \(\displaystyle AI\)-re \(\displaystyle I\)-ben állított merőleges a \(\displaystyle BC\) egyenest \(\displaystyle P\)-ben, az \(\displaystyle AP\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kört másodszor \(\displaystyle Q\)-ban metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle IQ\) merőleges \(\displaystyle AP\)-re.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(5 pont)
B. 5459. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle f\colon \mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}\) függvényeket, amelyekre bármely racionális \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) számok esetén teljesül, hogy
\(\displaystyle f(x)+f(y)=\frac{f(x+2y)+f(2x-y)}{5}. \)
Javasolta: Füredi Erik (Budapest)
(5 pont)
B. 5460. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben jelölje \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) rendre az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait. A \(\displaystyle DE\) egyenes messe az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontok köré írt kört a \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) pontokban. Hasonlóan, a \(\displaystyle DF\) egyenes messe az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontok köré írt kört az \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\) pontokban. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\) és \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) pontok köré írt körök hatványvonala átmegy az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontján.
Javasolta: Csaplár Viktor (Bátorkeszi) ötletéből
(6 pont)
B. 5461. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) pozitív egészekhez végtelen sok olyan pozitív egész \(\displaystyle n\) létezik, amelyre \(\displaystyle a^n+bc\) és \(\displaystyle b^{n+d}-1\) nem relatív prímek.
Javasolta: Kós Géza (Budapest) IMO2024/2 alapján
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2025. május 12-én LEJÁRT. |
A. 905. Nevezzünk egy \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\) pozitív egész számokból álló sorozatot nem lassulónak, ha szigorúan monoton nő és \(\displaystyle n_{k+1}-n_k\le n_{k+2}-n_{k+1}\) teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle k\)-ra. Nevezzünk továbbá egy \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\) pozitív egész számokból álló sorozatot konvergencia-biztosítónak, ha szigorúan monoton nő, és a következő feltétel teljesül: ha \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) olyan valós számokból álló sorozat, amelyre minden \(\displaystyle m\) pozitív egész szám esetén az \(\displaystyle a_{m+n_1}\), \(\displaystyle a_{m+n_2}\), \(\displaystyle a_{m+n_3}\), \(\displaystyle \ldots\) részsorozat konvergens és 0-hoz tart, akkor az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat is konvergens és \(\displaystyle 0\)-hoz tart.
Bizonyítsuk be, hogy egy \(\displaystyle n_1\), \(\displaystyle n_2\), \(\displaystyle \ldots\) nem lassuló sorozat akkor és csak akkor konvergencia biztosító, ha az \(\displaystyle n_2-n_1\), \(\displaystyle n_3-n_2\), \(\displaystyle \ldots\) sorozat felülről korlátos.
Javasolta: Imolay András (Budapest)
(7 pont)
A. 906. Nevezzük \(\displaystyle \mathcal{V}_c\)-nek azt a végtelen párhuzamos vonalzót, amelynek párhuzamos éleinek távolsága \(\displaystyle c\). Egy \(\displaystyle \mathcal{V}_c\) vonalzóval az alábbi szerkesztési lépések végezhetőek el:
\(\displaystyle \bullet\) két különböző ponton átmenő egyenes megszerkesztése;
\(\displaystyle \bullet\) adott \(\displaystyle l\) egyenesre olyan \(\displaystyle l\)-el párhuzamos \(\displaystyle l'\) egyenes megszerkesztése, amelyre \(\displaystyle l\) és \(\displaystyle l'\) távolsága \(\displaystyle c\) (két ilyen egyenes létezik minden \(\displaystyle l\)-re, és mindkét egyenes megszerkeszthető ezzel a lépéssel);
\(\displaystyle \bullet\) adott \(\displaystyle A,B\) pontokra, ha \(\displaystyle |AB|\geq c\), akkor két olyan párhuzamos egyenes megszerkesztése, melyek közül az egyik átmegy \(\displaystyle A\)-n, a másik \(\displaystyle B\)-n, és az egyenesek távolsága \(\displaystyle c\) (itt is két lehetséges megoldás van amennyiben \(\displaystyle |AB|>c\), és ezzel a lépéssel mindkettő megszerkeszthető).
Egy kör alakú lap határán adott három pont, melyek egy nem egyenlő szárú háromszöget határoznak meg. Legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a három felvett pont és az \(\displaystyle n\) szám függvényében létezik olyan \(\displaystyle C>0\) szám, amelyre bármely \(\displaystyle 0<c\leq C\)-re meg lehet szerkeszteni \(\displaystyle n\) darab olyan pontot csak egy \(\displaystyle \mathcal{V}_c\) használatával, amely rajta fekszik a háromszögnek valamelyik hozzáírt körén.
A lapon kívül nem tudunk szerkeszteni. A lap határán lehet szerkeszteni, fel lehet venni egy egyenes és a lap határának a metszéspontját.
Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)
(7 pont)
A. 907. Adott \(\displaystyle 2025\) lámpa és néhány kapcsoló. Minden kapcsolóhoz hozzá van rendelve a lámpák egy részhalmaza. Ha használunk egy kapcsolót, akkor az összes lámpa a hozzá tartozó részhalmazban állapotot vált, azaz ami eddig fel volt kapcsolva az lekapcsolódik, ami pedig le volt kapcsolva az felkapcsolódik. Kezdetben minden lámpa le volt kapcsolva. Tudjuk, hogy minden lámpához van olyan kapcsoló, amelyhez a lámpa hozzá van rendelve.
Határozzuk meg azt a legnagyobb \(\displaystyle k\) számot, amelyre akárhogyan is működnek a kapcsolók, mindenképpen fel lehet kapcsolni egyszerre legalább \(\displaystyle k\) darab lámpát.
OKTV feladat alapján
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)