A KöMaL 2025. májusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

---

K. 859. Egy nyelvtanfolyamért előre kifizettem már \(\displaystyle 25\,000\) forintot, de még fizetnem kell érte annyit, amennyit abban az esetben kellene még fizetnem, ha az előleg feleannyi lett volna, mint amennyit most még fizetnem kell. Hány forintba kerül ez a nyelvtanfolyam összesen?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 860. Anna és Boglárka egy másfél méter átmérőjű kör alakú étkezőasztalnál játszik. Anna leteszi az asztalra a \(\displaystyle 42\times30~\mathrm{cm}\)-es téglalap alakú papírlapját, Boglárka pedig rárakja az ugyanekkora lapját úgy, hogy a két lap egy-egy átlója pontosan illeszkedik egymásra, ám a lapok nem fedik teljes egészében egymást és nem lógnak le az asztalról. Az asztallap hány százalékát fedi le így a két lap?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 861. Egy nyolcfős baráti társaság szeretne maguk között tarokkbajnokságot rendezni. Minden partiban pontosan négyen vesznek részt, továbbá bármely két játékos azonos számú partiban játszik együtt. Bizonyítsuk be, hogy több mint 13 parti fog lezajlani.

Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 862. a) Mutassuk meg, hogy az alábbi tört minden pozitív egész \(\displaystyle n\) szám esetén egyszerűsíthető, azaz a számlálója és a nevezője nem relatív prím: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{6n^2+13n+6}{15n^2+22n+8}}\).

b) Melyek azok a pozitív egész \(\displaystyle n\) számok, amelyekre a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2n+3}{5n+4}}\) tört nem egyszerűsíthető, azaz a számlálója és a nevezője relatív prím?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 863. A K. 860. feladatban szereplő Anna a négyzet alakú virágoskertjének közepére tulipánágyást készít. A mellékelt ábrán látható \(\displaystyle ABCD\) síkidom belsejébe tulipánhagymákat ültet, a kert többi részére liliomokat. Az ágyást szegélyező körívek középpontjai a négyzet csúcsai, sugaruk hossza egyenlő a négyzet oldalhosszával. Mekkora a területe Anna tulipánágyásának, ha az egész virágoskert \(\displaystyle 100~\mathrm{m}^2\) területű?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

---

C. 1858. Tomi megszámozott \(\displaystyle 30\) kártyát \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 30\)-ig, majd elővett \(\displaystyle 10\) borítékot, és az összes kártyát beletette azokba. Minden borítékba legalább \(\displaystyle 2\), de legfeljebb \(\displaystyle 4\) kártya került. Ezután minden borítékra ráírta a benne lévő kártyákon szereplő számok összegét, és az összegek szerint csökkenő sorrendbe rendezte azokat. Mi lehet a legkisebb, illetve legnagyobb szám a sorrendben harmadik borítékon?

Javasolta: Czett Mátyás (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1859. Egy nem szabályos háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), amelyekre \(\displaystyle {a+b=2c}\) teljesül. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének középpontját a súlyponttal összekötő szakasz párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával.

német versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1860. Tekintsünk egy pozitív egész számokból álló mértani sorozatot. Igazoljuk, hogy bármely három egymást követő sorozattag kontraharmonikus közepe egész szám. Állapítsuk meg, mitől függ ennek az egész számnak a paritása.

Az \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{n}\) pozitív valós számok \(\displaystyle C\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\) kontraharmonikus közepén a következő kifejezést értjük:

\(\displaystyle C\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}. \)

Javasolta: Unyi Tamás (Szada)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1861. Az \(\displaystyle ABCDE\) gúla alaplapja a \(\displaystyle 12\) egység oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle E\) csúcs alaplapra eső merőleges vetülete az \(\displaystyle ABCD\) négyzet körülírt körére esik, továbbá, hogy \(\displaystyle BE=CE\), valamint \(\displaystyle AE=18\). Határozzuk meg a gúla térfogatát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1862. \(\displaystyle n \ (> 2)\) gyerek hintázni szeretne a játszótér két hintájával, amelyeket nem különböztetünk meg. Kitalálták, hogy párosával fognak hintázni úgy, hogy mindenki mindegyik társával együtt hintázik egyszer, két percet. Minden hintázás után a hintázóknak le kell szállniuk, és átadni a hintákat egy olyan párosnak, akik még nem hintáztak együtt. (Olyan gyerek, aki most szállt ki a hintából, nem lehet az új párban.) Végrehajtható-e ez a terv?

Németh László, ötlete alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

---

B. 5462. Ábel valamilyen sorrendben leírta egy sorba a pozitív egész számokat \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle n\)-ig. Bármely pozitív egész szám \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\)-ig előáll a leírás sorrendjében egymást követő leírt számok összegeként. Mi lehet az \(\displaystyle n\)?

Javasolta: Füredi Erik (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5463. Adott a pozitív körüljárású \(\displaystyle ABCD\) négyzet. Szerkesztendő olyan, szintén pozitív körüljárású, \(\displaystyle BEF\) szabályos háromszög, amelynek \(\displaystyle F\) csúcsa a \(\displaystyle B\) kezdőpontú, \(\displaystyle C\)-t tartalmazó félegyenesre esik, és amelyre \(\displaystyle EAF\sphericalangle=45^\circ\) teljesül.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5464. Legyen \(\displaystyle k>1\) egész szám. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle a_n=n^2+n+1\) sorozatnak végtelen sok olyan eleme van, amely a sorozat \(\displaystyle k\) különböző tagjának szorzatával egyenlő.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5465. Legyenek \(\displaystyle AA'\), \(\displaystyle BB'\), \(\displaystyle CC'\) átmérők az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű, nem szabályos háromszög köré írt körben. Legyen az \(\displaystyle A'\) pontnak a \(\displaystyle BC\) egyenesre vett tükörképe \(\displaystyle A_1\), a \(\displaystyle B'\)-nek az \(\displaystyle AC\)-re vett tükörképe \(\displaystyle B_1\), a \(\displaystyle C'\)-nek az \(\displaystyle AB\)-re vett tükörképe pedig \(\displaystyle C_1\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5466. Egy háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\). Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}+\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6. \)

Crux Mathematicorum

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5467. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) páratlan pozitív egészek esetén az \(\displaystyle (a+b+7)^7-a^7-b^7\) kifejezés értéke \(\displaystyle 168\)-cal osztva \(\displaystyle 7\) maradékot ad.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5468. Legyen az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög beírt körének sugara \(\displaystyle r\), körülírt körének sugara \(\displaystyle R\) és a talpponti háromszögébe írt kör sugara \(\displaystyle \varrho\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle r\ge \sqrt{R\varrho}\).

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5469. Bergengóciában három város van, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), ezekben összesen \(\displaystyle 2025\) ember lakik. Az idei évtől kezdve minden év végén \(\displaystyle A\) lakosságának a fele átköltözik \(\displaystyle B\)-be, \(\displaystyle B\)-ének a harmada \(\displaystyle C\)-be, és \(\displaystyle C\)-ének a negyede \(\displaystyle A\)-ba (ha az átköltözők száma bármely esetben nem lenne egész, akkor felfelé van kerekítve). Igazoljuk, hogy néhány év eltelte után egyik város lélekszáma sem fog változni.

Javasolta: Váli Benedek (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. június 10-én LEJÁRT.

---

A. 908. Legyen \(\displaystyle n \geq 2\) egész szám. Piroska és a farkas egy olyan játékot játszanak, amelyben az \(\displaystyle \{1,2, \ldots ,n\}\) számokat színezik pirosra és kékre. Piroska minden körben mond egy \(\displaystyle (i,j)\) párt, ahol \(\displaystyle 1 \leq i < j \leq n\) és még \(\displaystyle i\) és \(\displaystyle j\) is színezetlen, majd farkas ezek egyikét kékre, a másikat pirosra színezi. A játék akkor ér véget, amikor az \(\displaystyle \{1,2, \ldots ,n\}\) számok közül legfeljebb egy kivétellel minden szám meg lett színezve. Mutassuk meg, hogy létezik egy olyan \(\displaystyle n\)-től nem függő \(\displaystyle c>0\) valós szám, és létezik Piroskának olyan stratégiája, amellyel biztosan el tudja érni, hogy a játék során valamikor legyenek olyan \(\displaystyle 1 \leq a \leq b \leq n\) számok, hogy az \(\displaystyle \{a, a+1, \ldots , b\}\) halmazban legalább \(\displaystyle c \cdot \sqrt[3]{n}\)-nel több szám legyen pirosra színezve, mint kékre.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 909. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle N\) pozitív egész számhoz lehet találni olyan \(\displaystyle n>2\) pozitív egész számot, hogy az \(\displaystyle n^3-1\) bármely két különböző prímtényezőjének legalább \(\displaystyle N\) legyen a különbsége.

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 910. Adottak az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle C_2\) pontok ebben a sorrendben egy egyenesen. Az \(\displaystyle A_1A_2\) és \(\displaystyle B_1B_2\) átmérőjű félkörök \(\displaystyle P\)-ben, a \(\displaystyle B_1B_2\) és \(\displaystyle C_1C_2\) átmérőjű félkörök \(\displaystyle Q\)-ban, és a \(\displaystyle C_1C_2\) és \(\displaystyle A_1A_2\) átmérőjű félkörök \(\displaystyle R\)-ben metszik egymást. A \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\) körök mindhárom félkört érintik az ábrán látható módon. Jelöljük \(\displaystyle k\) és az \(\displaystyle A_1A_2\) átmérőjű félkör érintési pontját \(\displaystyle K\)-val, míg \(\displaystyle l\) és a \(\displaystyle C_1C_2\) átmérőjű félkör érintési pontját \(\displaystyle L\)-lel.

Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \dfrac{A_1R\cdot B_1P\cdot B_2Q\cdot C_2R}{A_2R\cdot B_1Q\cdot B_2P\cdot C_1R}=\dfrac{A_1K\cdot C_2L}{A_2K\cdot C_1L}. \)

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika