A KöMaL 2025. októberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

---

K. 869. Öt nem feltétlenül különböző egész szám átlaga 69, mediánja 83, módusza 85, a számsor terjedelme 70. Melyik a második legkisebb szám az öt szám közül?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 870. Hogyan lehet 5 ugyanakkora négyzetet legfeljebb 5 egyenes vágással átdarabolni egy nagy négyzetté? (A vágások során a darabokat nem helyezhetjük egymásra, és egy vágással egy alakzatot vághatunk ketté.) Adjunk meg egy megoldást.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 871. Hány pozitív egész szám van, amely 3-as számrendszerben felírva 4-jegyű, a 4-es számrendszerben felírva 3-jegyű?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 872. Írjuk be az ábra \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle g\) betűvel jelölt tartományaiba az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\) és \(\displaystyle 7\) számokat úgy, hogy a három körben a számok összege ugyanannyi, az \(\displaystyle a\) pedig négyszetszám legyen. Mennyi lehet ez az összeg? Keressük meg az összes megoldást.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 873. Nyuszi hat különböző üzletfelének írt levelet, borítékokat is megcímzett hozzájuk. Aztán az egész paksamétát Tigris kezébe nyomta, hogy tegye a borítékokba a leveleket és adja mindegyiket postára, mivel Tigris korábban többször hangoztatta, hogy legjobban a tigrisek tudnak leveleket postára adni. Azonban ez csak dicsekvés volt – Tigris igazából meglehetősen hadilábon áll a betűkkel –, így a hat levelet találomra fogja beletenni a borítékokba. (Az azért sikerül majd neki, hogy minden borítékba pontosan egy levelet tegyen.) Hány olyan lehetőség van, amikor pontosan két borítékba kerül megfelelő levél?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

---

C. 1868. Claire észrevette, hogy a lakhelye és kedvenc tava közötti kilométerben mért távolság a két hely közötti kerékpározáshoz szükséges, órákban mért idő négyzete. Egy nap Claire számára az út \(\displaystyle 4\) órával tovább tartott, mivel a sebességét \(\displaystyle 3\) km/h-val csökkentette. Határozzuk meg a két hely közötti távolságot.

kanadai versenyfeladat alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1869. A \(\displaystyle 20\) méter oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle A\) csúcsából induló fénysugár visszaverődik egymás után a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalakon és ezután eléri az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle N\) felezőpontját. Mekkora utat tesz meg az \(\displaystyle N\) pontig a fénysugár?

iráni versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1870. Egy 10 fős pingpongversenyen minden versenyző egyszer játszik minden másik versenyzővel. A verseny egyik szünetében a szervezők megállapítják, hogy ha két versenyző ugyanannyi meccset játszott eddig, akkor nincs olyan versenyző, akivel mindketten játszottak volna. Feltéve, hogy a szünetig már több mint 5 mérkőzés lezajlott, van-e olyan versenyző, aki eddig pontosan két mérkőzést játszott?

Polygon feladat alapján (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1871. Az \(\displaystyle x^2-6x-4y+9=0\) egyenletű parabola \(\displaystyle F\) fókuszpontján és egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontján átmenő egyenes a parabolát másodszor a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQ\) szakasz felezőpontjai mértani helyének egyenletét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1872. Peti felírta egy táblára az egész számokat egytől ötvenig. Egy lépésben kiválaszt két számot a táblán (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)), letörli őket, és helyettük felírja a következő képlettel megadott számot:

\(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30. \)

Ezt a lépést addig ismételgeti, amíg csak egy szám marad a táblán. Milyen szám lehet ez?

Javasolta: Czett Mátyás (Zalaegerszeg)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

---

B. 5478. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), \(\displaystyle T\) pedig az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talppontja. A \(\displaystyle T\) kezdőpontú \(\displaystyle TS\) félegyenes a háromszög köré írt kört \(\displaystyle V\)-ben metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle S\) harmadolja a \(\displaystyle TV\) szakaszt.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5479. Legyen \(\displaystyle d\) egy pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan pozitív egészekből álló \(\displaystyle (x, y)\) számpár van, melyre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számtani és mértani közepének különbsége \(\displaystyle d\).

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5480. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ACB \sphericalangle = 90^{\circ}\). Jelölje az \(\displaystyle AC\) befogó felezőpontját \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AB\) átfogó felezőpontját pedig \(\displaystyle G\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle FG\) Thalész-köre akkor és csak akkor érinti az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt kört, ha \(\displaystyle AC=2BC\).

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5481. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle n\) pozitív egészre teljesül, hogy

\(\displaystyle (n!)^n \mid n^2 \cdot (n^2-1) \cdot (n^2-2) \cdot \ldots \cdot (n+2) \cdot (n+1). \)

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5482. Kiválasztottunk páratlan sok egész számot. Egyet megváltoztattunk úgy, hogy a számok átlaga \(\displaystyle 1\)-gyel nőtt, de a szórásuk nem változott. Mutassuk meg, hogy az eredetileg kiválasztott számok átlaga egész.

Berkó Erzsébet (Szolnok) javaslata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5483. Egy pakliban \(\displaystyle 2n\) darab kártya van \(\displaystyle n\) különböző színnel, mindegyik színből egy \(\displaystyle 1\)-es és egy \(\displaystyle 2\)-es. \(\displaystyle n\) játékos a következő kooperatív játékot játssza. Először összekeverik a \(\displaystyle 2n\) lapot, majd mindenki húz két lapot, amelyeket megmutatnak egymásnak. Ezután közösen eldöntik, hogy milyen sorrendben ülnek le körben, és azt is, hogy ki kezd. A játék folyamán a kör mentén óramutató járásával megegyező irányban sorban raknak le egy-egy lapot, de egy \(\displaystyle 2\)-es számú lapot csak akkor rakhatnak le, ha abból a színből az \(\displaystyle 1\)-es már korábban le lett rakva. Akkor nyernek, ha az összes lapot lerakják. Ha valaki a sorra kerülésekor nem tud rakni és még van lap a kezében, veszítenek. Mutassuk meg, hogy a játékosok bármilyen kártya kiosztás esetén tudnak nyerni.

Javasolta: Kocsis Anett és Imolay András (Budapest) a Dürer Verseny feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5484. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\), \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle M\) pontból az \(\displaystyle A\)-ból induló belső szögfelezőre bocsátott merőleges talppontja legyen \(\displaystyle T\). Az \(\displaystyle FT\) egyenes az \(\displaystyle AC\) oldalt \(\displaystyle D\)-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle CDF\) háromszög körülírt köre áthalad az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-ből húzott magasságának talppontján.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5485. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle \frac1{2025}\)-höz tetszőlegesen közel van olyan racionális szám, amely nem állítható elő 2025 darab pozitív egész szám reciprokának összegeként.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2025. november 10-én LEJÁRT.

---

A. 914. A táblára felírjuk az \(\displaystyle (1,0)\) rendezett számpárt. Egy lépésben, ha a táblán az \(\displaystyle (a,b)\) számpár áll, akkor letöröljük, és felírjuk helyette vagy az \(\displaystyle (a+b,b)\), vagy pedig a \(\displaystyle (2a+b,a+b)\) számpárt. (Például két lépés után az \(\displaystyle (1,0)\), \(\displaystyle (2,1)\), \(\displaystyle (3,1)\) és \(\displaystyle (5,3)\) párok valamelyike állhat a táblán.) Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle n\) lépés után a táblán lévő rendezett számpár pontosan \(\displaystyle 2^n\)-féle lehet.

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 915. Adott egy kör és rajta az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok, melyek nem alkotnak egyenlő szárú háromszöget. A kör minden \(\displaystyle P\notin \{A,B,C\}\) pontjára jelölje \(\displaystyle A_P\), \(\displaystyle B_P\) és \(\displaystyle C_P\) rendre a kör \(\displaystyle P\)-beli érintőjének és az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\)-beli érintőknek metszéspontjait. Bizonyítsuk be, hogy pontosan három olyan \(\displaystyle P\notin \{A,B,C\}\) pont van a körön, amelyre az \(\displaystyle A_P\), \(\displaystyle B_P\), \(\displaystyle C_P\) pontok léteznek, és az \(\displaystyle A_P\)-ből \(\displaystyle BC\)-re, \(\displaystyle B_P\)-ből \(\displaystyle CA\)-ra és \(\displaystyle C_P\)-ből \(\displaystyle AB\)-re állított merőlegesek egy pontban találkoznak. Továbbá mutassuk meg, hogy ez a három \(\displaystyle P\) pont egy szabályos háromszöget alkot.

Javasolta: Gyenes Zoltán Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 916. Legyen \(\displaystyle a\geq3\) egész szám, és legyen \(\displaystyle f(n)=a^n-1\) minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre. Jelölje \(\displaystyle f^{(k)}\) az \(\displaystyle f\) függvény \(\displaystyle k\)-szoros iteráltját, tehát \(\displaystyle f^{(1)}(n)=f(n)\), és \(\displaystyle f^{(k+1)}(n)=f\big(f^{(k)}(n)\big)\), ha \(\displaystyle k\geq 1\).

a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle K\) pozitív egészhez létezik olyan \(\displaystyle M\) pozitív egész szám, hogy minden \(\displaystyle 1\leq k\leq K\) egész esetén \(\displaystyle f^{(k)}(M)\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle M\)-mel, ha \(\displaystyle k\) osztható \(\displaystyle 2025\)-tel.

b) Létezik-e olyan \(\displaystyle N\) pozitív egész szám, amelyre minden \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén \(\displaystyle f^{(k)}(N)\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle N\)-nel, ha \(\displaystyle k\) osztható \(\displaystyle 2025\)-tel?

Javasolta: Varga Boldizsár (Budapest)

(7 pont)