Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: A Goldbach-sejtésről

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1225] Maga Péter2011-03-24 08:15:01

Már ne is haragudj...

Az a feladat, hogy bebizonyítsuk egy egyenlet megoldhatóságát. Az, hogy leosztod 2-vel, egy ötödik osztályos hadművelet.

Te most komolyan gondolod, hogy egy ilyen fajsúlyú probléma esetében ez a semmiség (azért semmiség, mert vegyél tetszőleges gondolatmenetet erre prímszimmetria-micsodára, és szorozd be kettővel, menten van egy gondolatmenet a Goldbach-ra) bármivel is közelebb visz?

Tényleg nem megbántani akarlak, de annyira nevetséges ez a felvetés.

- Minden 2n>2 páros számra van olyan nála kisebb p prím, hogy 2n-p is prím.

- Minden 2n>2 páros számra van olyan k pozitív egész és p,q prímek, hogy kp+kq=2kn.

Előzmény: [1223] Zilberbach, 2011-03-24 00:41:53
[1224] Zilberbach2011-03-24 01:13:31

Egy kósza ötlet a bizonyításhoz, hátha valakinek beugrik:

Természetesen a szimmetria jelen van minden összetett páros számban is, hiszen a törzstényezős fölbontásukban mindig ott van a kettő, ami azt jelenti hogy fobonthatók két azonos törzstényezős csoportra.

[1223] Zilberbach2011-03-24 00:41:53

Prímszimmetria-sejtés: Minden 3-nál nagyobb természetes számhoz található (legalább) kettő olyan prímszám, amelyek egyenlő távolságra vannak tőle a számegyenesen. Képletben elbeszélve: mindíg fölírható a (p+q):2 = n azonosság, ahol: n = 3-nál nagyobb természetes szám, p = n-nél nagyobb prímszám, q = n-nél kisebb prímszám.

Úgy tűnhet, hogy ez a sejtés csak a Páros Goldbach-sejtés egy különös átfogalmazása.

Ha sikerülne bizonyítani, valóban egyenesen következne belőle a páros Goldbach sejtés.

Szerintem valalmivel több ez a sejtés, mert az alábbi sejtés is egyenesen következik belőle:

Minden páros szám előáll mint két prímszám külüönbsége.

Az én számomra a "Prímszimmetria-sejtés" többet mond a természetes számok és a prímek összefüggéseiről, mint a Páros Goldbach sejtés.

[1222] agysejt2011-03-23 07:38:33

és csak a fizikusok töredéke tudna elolvasás után egyből 100%os véleményt alkotni, alapvetően még nekik is utána kellene olvasni

Előzmény: [1221] Maga Péter, 2011-03-22 22:20:32
[1221] Maga Péter2011-03-22 22:20:32

Tévednek. A legjobbakkal is előfordul, nemhogy újságírókkal:P. Komolyra fordítva a szót, elég nehéz dolguk van, hiszen sokkal szélesebb spektrumról kell tudósítaniuk, mint amihez értenek. Az ilyen szituáció a hibák melegágya, ennyiben nem is okolom őket. Azt a hozzáállást viszont már tényleg nem tudom elfogadni, hogy nem igénylik a szakmai lektorálást... ha írnék egy cikket életrajzi Einsteinről, amiben néhány mondat erejéig beszámolok a felfedezéseiről is, akkor a végén megkérdeznék egy fizikust, hogy szakmailag rendben van-e.

Előzmény: [1220] Zilberbach, 2011-03-21 23:15:21
[1220] Zilberbach2011-03-21 23:15:21

Például itt is olvasható:

http://ujszo.com/napilap/tudomany/2010/02/03/a-torzsszamoktol-az-informacioelmeletig

vagy itt:

http://stop.hu/articles/article.php?id=845263

és még néhány helyen.

Azt gondoltam, hogy az újságírók nem voltak elég pontosak, csak azt nem tudtam, hogy mi az amit rosszul tálaltak.

Előzmény: [1219] Maga Péter, 2011-03-21 22:11:56
[1219] Maga Péter2011-03-21 22:11:56

A wikipedia azt mondja Rényi Alfrédról, hogy Rényi azt látta be, hogy van olyan K szám, hogy minden (2-nél nagyobb) páros szám felírható két olyan szám összegeként, ahol az egyik prím, a másik pedig legfeljebb K darab prím szorzata. Egy másik helyen ezt konkrétan már K=2-vel is Rényi nevéhez kötik, nem tudom, mi a pontos történeti igazság. A wikipedia (Goldbach-sejtés) a K=2-t csak elegendően nagy páros számokra állítja és Chen Jingruntól eredezteti.

Nem tudom, milyen helyeken olvastál, vagy milyen terminológiát értettél félre. Ha Rényi bebizonyította volna a páros Goldbach-sejtést, akkor arról tudnánk.

Előzmény: [1218] Zilberbach, 2011-03-21 21:13:43
[1218] Zilberbach2011-03-21 21:13:43

Néhány helyen az interneten azt írják, hogy Rényi Alfréd megoldotta "kvázi Goldbach" sejtés bizonyítását.

Ha jól veszem ki, akkor az ő terminológiájuk szerint ez a páros Golbach sejtés.

Tud erről valaki valamit mondani?

[1216] Róbert Gida2011-02-09 23:03:37

Nézd meg Eukleidész Elemek című munkáját. Definíció/axióma, állítás/tétel, bizonyítás, és ez így megy már 2200 éve a matematikában.

[1212] márton2011-02-09 19:25:54

A 998. és 1192. sz.hozzászólásaimban igyekeztem pontosan meghatározni, hogy mit mivel jelölök. Kérlek, ha valamelyik jelölésem mégsem világos, tisztázzuk.

Az eddig leírtakkal még nem akartam semmit sem bizonyítani, inkább csak levezetések, számítások eredményeit próbáltam összefoglalni. Ezeket teljes részletességgel itt nem tudom előadni, mert kb. 20 évvel ezelőtt készültek, még írógéppel írt tanulmányomban, kézzel rajzolt diagramokkal és számokat, nagy méretben pedig csak azok jelölt helyeit tartalmazó táblázatokkal. Most ezeket nekem is újra tanulnom kell.

Ha azonban valamelyik részlet közelebbről érdekel, szívesen tisztázom. Gondolom, hogy ilyen lehet pl. 1192-ben n-re és n-re megadott kétváltozós függvény. Ha van rá érdeklődés, szívesen magyarázom, bár erre elég korlátosak a lehetőségeim, de megpróbálom. A TeX-et is még csak távolról szagolom. Ezeken kívül még mi az, amit részletesebben szeretnél látni?

Előzmény: [1211] Róbert Gida, 2011-02-09 18:05:40
[1211] Róbert Gida2011-02-09 18:05:40

Változók neveit nem írod le, bizonyítani sem bizonyítasz semmit, ez így nyilván nem megy.

Előzmény: [1210] márton, 2011-02-09 17:41:56
[1210] márton2011-02-09 17:41:56

A 1192 sz. hozzászólásomban feltártakból következik, hogy a Goldbach-sejtés igazolását célszerűbb nem egy lépésben, általában a páros számokra keresni, hanem inkább külön-külön a páros számok részsorozataira (AnCnEn).

Ha megvizsgáljuk, kiderül, hogy a Goldbach-sejtés triviális módon való teljesülésének léteznek – nem túl magas, a megjelölt 3 páros sorozatra eltérő – számhatárai. Legyen:

x=An=6nA

és az x-nél kisebb pozitív prímek száma:

\pi(x)=\pi(6nA)=2+\piB(x)+\piF(x)

, ahol az indexált \pi függvények az index szerinti sorozatba tartozó x-nél kisebb prímek számát jelentik.

Nyilvánvaló, hogy a 0<xtA<xA* számtartományban addig az xA* számhatárig, amíg az An* páros számot összegszerűen párosával képező, An*-nál kisebb Bn és Fn sorozattagok között több a prímek száma, mint az összetetteké, a számpárok között feltétlenül kell prím-prím számpárnak lennie. A Goldbach-sejtés triviális teljesülésének ez a számtartománya az An sorozatra nézve:

0<xtA<936\lexA*=6nA*=6[\piB(xA*)+\piF(xA*)]\le984

Hasonló módon, a 0<xtC<xC* számtartományban addig az xC* számhatárig, amíg a Cn* páros számot összegszerűen párosával képező, Cn*-nál kisebb Bn sorozattagok között több a prímek száma, mint az összetetteké, a számpárok között feltétlenül kell prím-prím számpárnak lennie. A Goldbach-sejtés triviális teljesülésének ez a számtartománya a Cn sorozatra nézve:

0 < xtC < 566 \le xC* = 6*int[(nC*+2)/2] = 6\piB(xC*\le 884

Ismét hasonló módon, a 0<xtE<xE* számtartományban addig az xE* számhatárig, amíg az En* páros számot összegszerűen párosával képező, Cn*-nál kisebb Fn sorozattagok között több a prímek száma, mint az összetetteké, a számpárok között feltétlenül kell prím-prím számpárnak lennie. A Goldbach-sejtés triviális teljesülésének ez a számtartománya az En sorozatra nézve:

0 < xtE < 1090 \le xE* = 6*int[(nE*+1)/2] = 6\piF(xE*\le 1324

Előzmény: [1192] márton, 2011-02-06 20:48:15
[1209] Maga Péter2011-02-09 07:57:26

Ez inkább számelmélet, azt gondolom. Azt jobban szeretem.

Előzmény: [1207] Fernando, 2011-02-08 12:35:12
[1208] Sirpi2011-02-08 12:35:46

Nem zavartál, sőt! Én még nem hallottam erről korábban, jó volt olvasni ebben a topikban komolyabb matematikát is (bár az utolsó hozzászólásod azért elég tömény lett :-) )

Előzmény: [1206] Maga Péter, 2011-02-07 23:53:18
[1207] Fernando2011-02-08 12:35:12

Ez már döfi! Algebrával foglalkozol? :D Régen nagyon szerettem az algebrát.

Előzmény: [1205] Maga Péter, 2011-02-07 23:27:22
[1206] Maga Péter2011-02-07 23:53:18

Folyt. az előzőnek. Egy (racionális) adél a következőképpen néz ki: (aR,a2,a3,a5,a7,...,ap,...), ahol minden ai\inQp, és véges sok kivételtől eltekintve minden ai\inZp. A Zp a Qp maximális kompakt részgyűrűje: azon elemek halmaza, amiknek a p-adikus normájuk legfeljebb 1 (ezek a p-adikus egészek, részgyűrűt alkotnak Qp-ben).

Az adélek topologikus gyűrűt alkotnak (a megszorított szorzattopológiával), ezt AQ-val jelöljük. Ebben Q megtalálható: a q racionális számnak a (q,q,q,...) adél felel meg (a véges sok kivételes koordináta a q nevezőjében levő prímek halmaza). A beágyazott Q diszkrét(!), az AQ/Q faktor kompakt(!).

Ezek segítségével magyarázta meg J. Tate legendás doktori disszertációjában a \zeta-függvény függvényegyenletét. Korábban is be tudták azt bizonyítani, de Tate volt az első, aki megértette, hogy miért jönnek be a képbe a \Gamma-faktorok. Valahogy arról van szó, hogy a \zeta függvénybe minden prím koordináta ad valamit (az Euler-faktort). És azért kell kiegészíteni, mert az igazi jellemzője a számtestnek úgy áll elő, hogy az R koordináta analóg függvényét is belevesszük a buliba. Ennek lesz függvényegyenlete. Egyébként én ezt az egészet nem értem. Magukat a bizonyításokat igen, de az esszenciát még nem sikerült megragadnom: nyilván egy ilyen magyarázat kitalálásához nem arra van elsősorban szükség, hogy az ember bebizonyítsa sorban az állításokat (az technika), hanem hogy hihetetlenül erős intuíció legyenek a számelmélet mozgatórugóit illetően. Gyönyörű dolog.

No, hát idáig sikerült asszociálnom Bily konvergencia-fejtegetéseiből indulóan. Remélem, nem zavartam vele senkit.

Előzmény: [1203] Róbert Gida, 2011-02-07 17:01:30
[1205] Maga Péter2011-02-07 23:27:22

Ne foglaljuk így össze! Arról van éppen szó, hogy a Róbert Gida által említett 2-adikus normában ez a sor valóban konvergens, és az összege -1.

A 2-adikus norma definíciója úgy szól, hogy ||0||2=0, minden más racionális számot felírhatunk egyértelműen q=2^n\frac{a}{b} alakban, ahol n egész, a,b relatív prím, páratlan egészek, és akkor ||q||2=2-n. Ez a norma egy olyan távolságot definiál, amire igaz a háromszög-egyenlőtlenség, szorzat normája a normák szorzata. És ebben a normában 1+2+4+8+...=-1, pontosan annyira, mint amennyire 1+1/2+1/4+1/8+...=2 R-ben.

Ez a norma semmivel sem kevésbé természetes, mint az abszolút értékes norma. És ha már van egy távolság (metrika) egy halmazon (jelen esetben Q-n), akkor arra nézve teljessé lehet tenni, vagyis lehet venni azt a teret, amiben sűrű, és amiben minden Cauchy-sorozat konvergens. Ha az abszolút értékből indultál ki, akkor R-et kapod. Ha a 2-adikus normából, akkor Q2-t. Lehet a fentivel analóg módon minden p prímre definiálni egy úgynevezett p-adikus normát, arra nézve Q teljessé tétele Qp.

És meg lehet mutatni, hogy Q-nak nincs más teljessé tétele, vagyis Q-t nem lehet más módon sűrűn beágyazni úgynevezett lokális testbe. Ezt valahogy úgy is lehet interpretálni, hogy ha Q megértéséhez analízist akarunk használni, akkor R és a Qp-k a vizsgálandó objektumok (Q-n magán nincs analízis, de minden analízis, amivel Q-t vizsgálni lehet, az ezek valamelyikéből származik).

Előzmény: [1202] jonas, 2011-02-07 16:49:48
[1204] bily712011-02-07 19:10:42

Igazából nics, vagyis hirtelen azt hittem, hogy van, de biztos rossz. Ha ráérek, majd leírom, most megint a tanulással vagyok elfoglalva.

Előzmény: [1198] Maga Péter, 2011-02-07 14:40:41
[1203] Róbert Gida2011-02-07 17:01:30

"Egyébként azt tudjátok, mi az az adél?"

Még nem hallottam róla.

Előzmény: [1200] Maga Péter, 2011-02-07 16:23:11
[1202] jonas2011-02-07 16:49:48

Összefoglalva az 1+2+4+8+16+... sornak nincs összege, de ha lenne, akkor -1 lenne.

Előzmény: [1183] Maga Péter, 2011-02-05 12:11:15
[1201] Maga Péter2011-02-07 16:35:50

Egyébként Weil: Basic number theory című könyvéről. A cím tényleg haláli:) választás. Erdős például állítólag utálta ezt a címet, mert nem tudta elfogadni, hogy ez a ,,basic''. Pedig ha az ember analitikus vagy algebrai számelméletet akar csinálni, akkor ezeket tényleg tudnia kell, André Weil teljesen komolyan gondolta a címet, nem szerénykedni akart, sem alázni egyet a többi világhírű matematikuson.

Az elején ír a feltételezett ismeretekről (mint minden graduate könyv), és abban azt írja, hogy bevezető absztrakt és lineáris algebrát használ, kis Fourier-analízist, meg hogy jó, ha az olvasó tudja, mi a Haar-mérték, illetve szükség lesz a racionális számok néhány alaptulajdonságára. És elkezdtem olvasni, mondván, hogy ezeket lényegében tudom... közben kiderült, hogy a racionális számok néhány alaptulajdonsága az kb. minden, ami a Freud-Gyarmatiban benne van (amiket tényleg tudtam, csak meglepődtem, hogy miket ért alaptulajdonságokon; de a bevezető lineáris algebrájával jócskán felül is múlta az én alapismereteimet, közben kellett pótolni).

Előzmény: [1200] Maga Péter, 2011-02-07 16:23:11
[1200] Maga Péter2011-02-07 16:23:11

:(

Gondoltam, hogy te ismered, nem igazán neked szántam. Egyébként azért szeretem ezt a példát, mert annak idején így mutatta be nekünk egy táborában Pósa Lajos, hogy nem lehet azért ,,ész nélkül'' számolgatni. Aztán amikor Weil: Basic number theory könyvét olvastam, akkor egyszerre csak eszembe jutott a valamikori elrettentő példa, és megértettem, hogy nem is volt annyira értelmetlen az a számolás (vagyis inákbb úgy mondanám, nem is volt eleve rossz).

Ez nekem nagy élmény volt, el is meséltem Kemény Legénynek egy focimeccsünk után, és neki is nagyon tetszett a dolog. Reménykedtem, hogy nem fogja lelőni, és más se, aki ismeri. Legközelebb majd le is írom, ha ilyen kívánságom van.

Egyébként azt tudjátok, mi az az adél? Illetve dolgoztatok már vele valamennyit (ez már neked is kérdés, Róbert Gida:))?

Előzmény: [1199] Róbert Gida, 2011-02-07 15:38:34
[1199] Róbert Gida2011-02-07 15:38:34

2-adikus normával lesz a sor összege -1. ( http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number ), a normát már ismertem, példádat nem.

Előzmény: [1197] Maga Péter, 2011-02-07 14:30:36
[1198] Maga Péter2011-02-07 14:40:41

Ld. [1194]. Szóval nem a számokkal kell manipulálni, nem lesz több értelme annak, hogy 1+2+4+8+... attól, hogy így átalakítjuk a kifejezést. De kérdezhetném provokatív formában is: amit beírtál a helyére, attól neked van elképzelésed arról, miért lehet -1? Szerintem nincs, nem is lehet. Az [1194]-esben, ha megnézed, már van egy elképzelés, hogy mit nézzünk máshogy. De ott sem úgy fejeződik be, hogy 1+z+z2+...=1/(1-z), ha |z|<1, hanem folytatódik, hogy vegyük észre, hogy a jobb oldal értelmes minden z\neq1-re, és akkor írjunk bele 2-t a feladatnak megfelelően. És erre azért nem bólintottam rá, mert nem erre gondoltam, és változatlanul meg akarok nektek mutatni egy gyönyörű számelméleti jelenséget (attól bocs, aki már ismeri).

Előzmény: [1193] bily71, 2011-02-07 07:02:03
[1197] Maga Péter2011-02-07 14:30:36

Nem számosságokról van szó, konkrét számokról beszélünk. És nem is viccet kell megérteni, hanem igazi matematikát. Annyira nem bonyolult, és szerintem elképesztően érdekes.

Segítőlökés. A konvergencia definíciójában konkrét számok mellett szerepel a konkrét számoknak egy olyan függvénye, ami alapján eldöntjük, hogy a szám mennyire kicsi abszolút értelemben: mennyire van messze a 0-tól. Egy szám 0-tól való távolságának elviekben ,,nem sok'' köze van a konkrét számhoz. Hogyan lehetne bevezetni egy másfajta ,,abszolút értéket'' úgy a racionális számok halmazán, hogy az értelmes abszolút érték legyen (a) háromszög-egyenlőtlenség; b) szorzat abszolút értéke = abszolút értékek szorzata; c) a 0-nak és csak a 0-nak 0), és ezen abszolút érték mellett az 1+2+4+8+... sor konvergens (ekkor az összege csak -1 lehet majd, mint azt már Sirpi bebizonyította nekünk)?

Előzmény: [1195] Fernando, 2011-02-07 13:19:05

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]