Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Számelméleti érdekességek

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[94] Cckek2006-10-10 19:03:16

Ez valójában azt jelenti hogy: \root\of{2}+2\cdot \root\of{2}=3\cdot \root\of{2}  Olyat mely nem n\cdot\root\of{a}+m\cdot \root\of{a}alaku???

Előzmény: [93] Yegreg, 2006-10-10 18:56:35
[93] Yegreg2006-10-10 18:56:35

Szerintem én erre a kérdésre válaszoltam. Akkor írható fel ilyen gyökként, ha ab négyzetszám. Pl. 2.8=16, \sqrt2+\sqrt8=\sqrt{18}.

Előzmény: [91] Cs.Balázs, 2006-10-10 18:04:56
[92] Cckek2006-10-10 18:32:07

Már Newton binomális képletéből következik hogy egyiknek sem:)

Előzmény: [91] Cs.Balázs, 2006-10-10 18:04:56
[91] Cs.Balázs2006-10-10 18:04:56

Rendben,pontosítok: \sqrt{a}+\sqrt{b} = \root{n}\of{x}  Pl: \sqrt3+\sqrt5 milyen x természetes számnak lesz az n-edik gyöke? Persze az a és b négyszetszámok esetektől tekintsünk el.

[90] Cckek2006-10-10 14:10:15

És ilyenek: {\root n\of{u}}+{\root m\of{v}}={\root p\of{w}} ahol u,v,w prímszámok???

Előzmény: [89] Lóczi Lajos, 2006-10-10 13:27:52
[89] Lóczi Lajos2006-10-10 13:27:52

Vagy esetleg ilyenek:

\root 3 \of{2-\frac{10}{3
   \sqrt{3}}}+\root 3 \of {2+\frac{10}{3 \sqrt{3}}}=\sqrt{4}

.

Előzmény: [88] Sirpi, 2006-10-10 10:42:49
[88] Sirpi2006-10-10 10:42:49

pl: \root 3\of{16} + \root3\of{54} = \root 3 \of{250}

Bár gondolom nem nagyon van olyan példa, ami ennél trükkösebb (pl. hogy a kitevők - egyszerűsítéstől eltekintve - különbözőek).

Előzmény: [87] Lóczi Lajos, 2006-10-10 01:35:56
[87] Lóczi Lajos2006-10-10 01:35:56

Nem egészen világos a kérdésfelvetés "Hogyan írható fel általánosan két gyökszám összege egy természetes szám gyökeként (akár magasabb fokú is,nem csak négyzetgyök)?"

Tudnál egy konkrét példát írni, mire gondolsz?

Előzmény: [80] Cs.Balázs, 2006-10-09 16:08:35
[86] Lóczi Lajos2006-10-10 01:34:26

Persze itt a sor konvergenciáját meg kell vizsgálni, nem minden a és b szám esetén értelmes a szumma. (k index áll benne amúgy i helyett.)

Ha (1+x)^\alpha sorfejtését írjuk fel, az (-1,1)-en konvergál (a végpontokbeli konvergencia függ \alpha-tól), ebből nyilván ki lehet találni a fenti alakra is.

Előzmény: [84] Cckek, 2006-10-09 19:29:51
[85] Cckek2006-10-09 20:56:52

Mikor igaz? a1a2...am mod p=(a1+a2+...+ammod p ahol p prímszám.

[84] Cckek2006-10-09 19:29:51

Talán a Taylor sorbafejtésből adodó:

(a+b)^r=a^r+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{r(r-1)\cdots{[r-(k-1)]}}{k!}a^{r-k}b^k

Előzmény: [80] Cs.Balázs, 2006-10-09 16:08:35
[83] S.Ákos2006-10-09 19:23:57

igaz, a nincs két olyan j és i amelyre j=i, így módosítva helyes a kérdés

Előzmény: [79] Cckek, 2006-10-08 19:04:43
[82] Yegreg2006-10-09 17:57:21

Igazából, elég, hogy ab négyzetszám legyen

[81] Yegreg2006-10-09 17:52:41

A binomiális tétel általánosítását majd valaki okosabb leírja, szerintem tudom, hogy hogy néz ki, de nem vagyok benne biztos, hogy be is tudnám bizonyítani.

A második kérdésre: Ha jól számoltam, akkor \sqrt{a}+\sqrt{b} az x4-2(a+b)x2+(a-b)2 polinom egyik gyöke, ami egyetlen egészből volt n-edik gyökkel ritkán (a=b) írható fel.

[80] Cs.Balázs2006-10-09 16:08:35

Üdv,kedves fórumosok! A következő kérdés merült fel bennem,ehhez kérném segítségeteket: Mi az általánosított binomiális tétel (tetszőleges valós n kitevőre)? Valamint: Hogyan írható fel általánosan két gyökszám összege egy természetes szám gyökeként (akár magasabb fokú is,nem csak négyzetgyök)? Előre is köszönöm: Balázs

[79] Cckek2006-10-08 19:04:43

Ha így vetjük fel a kérdést valóban minden m-re van megoldás:)

Előzmény: [78] Csimby, 2006-10-08 17:33:16
[78] Csimby2006-10-08 17:33:16

Legyen a baloldalon nm db. tag és mindegyik 1. :-)

Előzmény: [76] S.Ákos, 2006-10-08 15:13:49
[77] Cckek2006-10-08 16:25:59

Ezer oldal sem lenne elég, hogy erre valaki válaszoljon. Mindenesetre már m>2 esetben, ha a baloldalon két szám áll a nagy Fermat tételt kapjuk. Ha m=2 van megoldás, m=3-ra is például: 33+43+53=63 A Wikipedia-n is találsz hozzászolásokat. Probálkozhatsz előbb a x12+x22+...+xn2=xn+12 egyenlettel is mely n=2 esetben a Pitágoraszi számhármasokat származtatja.

Előzmény: [76] S.Ákos, 2006-10-08 15:13:49
[76] S.Ákos2006-10-08 15:13:49

Sziasztok!

A következő kérdésem lenne: Mely m esetén van megoldása a

am+bm+...+lm=nm

egyenletnek, ha a,b,...,l,m,n pozitív egészek, és tetszőleges sok tag szerepel a bal oldalon?

[75] nadorp2006-09-11 12:46:40

Igazad van, tágabb értelemben természetesen a Cn-ek határértéke létezik. Egyébként csak arra akartam utalni, hogy a tört minden n-re az 1 és Cn közt vesz fel valamilyen értéket. Kérdés, hogy minden számhoz elég közel kerül-e.

Előzmény: [74] Gubbubu, 2006-09-11 12:09:49
[74] Gubbubu2006-09-11 12:09:49

Kukacoskodok: én nem határértékről, hanem szuprémumról beszéltem.

(((((De még ettől eltekintve sem vagyok bizonyos benne, hogy nincs értelme határértékről beszélni, hisz rögzített n esetén ugyanis Cn egy konkrét kibővített valós szám (Az n-változós S függvény és a szintén n-változós produktum függvények hányadosának szuprémuma, ha a független változók a prímszámok P halmaza n-edik hatványának elemei, és emellett még különbözőek is - ez a szuprémum vagy véges, vagy végtelen, de mindenképp létezik, így a kibővített valós számok egy sorozatának kibővített valós számokbeli határértékéről van szó - biztos, hogy ez nem értelmes? Persze ez nagyon mellékes megjegyzés, hiszen nem egy formálisan megfogalmazott, precíz feladatot adtam fel [főleg azért nem, mivel a formalizmustól a TEX egy kicsit viasszatart], így aztán bizonyos pongyolaság óhatatlan; ahol nem, ott igyekeztem javítani))))).

Egyébként köszönöm a választ, azt hiszem, ez így most már lassan megoldottnak nevezhető.

Előzmény: [73] nadorp, 2006-09-11 11:45:43
[73] nadorp2006-09-11 11:45:43

A kérdésfelvetés nem jó, mert nincs értelme határértékről beszélni, hiszen C nem csökken és nem is nő,hanem 1 és végtelen közt tetszőlegesen nagy lehet. Az \frac{S(p_1,...,p_n)}{p_1...p_n} tört értéke tetszőlegesen nagy lehet, ha n-et növeljük ( erre adtam példát az első n darab prímmel), de tetszőlegesen meg is közelítheti az 1-et ( nyilván mindig nagyobb 1-nél), mint az alábbi példa mutatja:

Legyen n tetszőleges, és tekintsünk n darab n2-nél nagyobb prímet. Ekkor \frac{S(p_1,...,p_n)}{p_1...p_n}<\left(1+\frac1{n^2}\right)^n, ami 1-be tart ha n tart végtelenbe.

Előzmény: [71] Gubbubu, 2006-09-11 11:25:59
[72] Gubbubu2006-09-11 11:29:04

Bocs, kicsit megint pongyola voltam. C-vel eredetileg a hányadost jelöltem, az előző hozzászólásomban meg a hányados szuprémumát. Az eredeti hozzászólásomban lehetne "Cn" konstanst írni "C konstans" helyett.

Előzmény: [71] Gubbubu, 2006-09-11 11:25:59
[71] Gubbubu2006-09-11 11:25:59

Bocs, kicsit pongyola voltam, a TEX-et már elfelejtettem. S(pn)-en azt értettem, S(p1,p2,...,pn).

A második megjegyzésed én nem értem, de lehetséges, hogy egy másik problémát oldasz meg, mint az én kérdésem, ugyanis én p1,...,pn-nel nem az első n darab prím sorozatát jelöltem, hanem tetszőleges, bár különböző n darab prímszámot.

Ha neked van igazad, akkor nagy n-ekre a C hányadosnak a végtelenbe kellene tartania, haegyre nagyobb n-t veszek, nem?

Én viszont úgy látom, hogy minél nagyobb n-t veszek, egyre csökken, mégpedig egyelőre 1-hez tart.

Érdekes, mert te, azaz a mathworld link ugyanis egy részhalmazát veszi a  C = sup \{ \frac{S(p_1 , p_2, ..., p_n)}{\prod_{i=1}^{n}p_i} \} kibővített valós számot definiáló halmaznak (a szuprémum-operátor argumentumának). Mégpedig azt a részhalmazát, ahol minden prím egy speciális sorozat első néhány eleme. Na mármost, ha egy részhalmazt tekintünk, akkor annak a szuprémuma kisebb mint a bővebbé. Így az általad adott link tartalmából és a te előző megjegyzésedből következően, a "kisebb halmaz" szuprémuma végtelen, akkor viszont ha tetszőleges prímeket válszthatunk, bővebb lesz az argumentum-halmaz, és ugye (nagyobb halmaz szuprémuma nagyobb), a szuprémum is nő; vagyis az én kérdésemre is "végtelen" a válasz, azaz az eredeti kérdésemre, valóban "igaz" a válasz.

Most már csak azt nem értem, hogy hogy egyeztethető össze mindez az empirikus számításaimmal, melyek szerint C csökken, ha egyre növelem az n-t.

Előzmény: [70] nadorp, 2006-09-11 10:43:15
[70] nadorp2006-09-11 10:43:15

Bocs, de két dolgot nem értek.

Az első: Mit jelent az S(pn) jelölés ?

A második: idézet Tőled "Igaz-e, hogy bármely C konstanshoz található olyan n, hogy valamely p1, ... , pn prímekre S(p1,...,pn)>Cp1p2...pn?". Erre a válaszom igenlő, hiszen tetszőleges C-re van olyan n, hogy ln pn megfelelően nagy.

Előzmény: [69] Gubbubu, 2006-09-11 10:28:04

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]