Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: nem euklideszi geometria

  [1]    [2]    [3]    [4]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[44] Vonka Vilmos Úr2013-01-28 11:35:06

A hiperbolikus háromszög mindhárom középvonala egy-egy ilyen ekvidisztáns görbe tengelye. (Ennek a ténynek a megfelelője az euklideszi síkon is igaz: mindegyik oldalegyenes és a szemköztes csúcson át azzal húzott párhuzamos, mint párhuzamos egyenespár, egy ilyen ekvidisztáns görbe.)

A bizonyítás elemi úton pl. Coxeter Non-Euclidean Geometry c. könyvében megtalálható (9.67.). Érdekes az előző hozzászólásomban említett projektív megközelítés is: például ebben a jegyzetben a 144. oldalon található meg három pontra illeszkedő, adott kúpszeletet kettősen érintő kúpszelet szerkesztése. Ha a k kúpszelet a Klein-modell határköre, akkor éppen a hiperbolikus sík adott háromszöge köré írt ekvidisztáns görbe meghatározását jelenti a feladat. A jegyzet ábráján adódó X és Y pontok ekkor pontosan a megfelelő háromszögoldalak felezőpontjai (a hiperbolikus felezőpont a modellben ugyanis éppen egy olyan pontpár belső eleme, ami konjugált a határkörre nézve és harmonikusan választja el a szakasz végpontjait). Tehát a jegyzetben olvasható szerkesztés éppen azt mutatja, hogy a középvonalak mindig egy-egy megfelelő ekvidisztáns görbe tengelyei. A negyedik ekvidisztáns görbe pedig pontosan akkor jön létre, ha az ábrán szereplő X'Y' szakasz metszi a modellkört. Mivel X'Y' éppen a felezőmerőlegesek által alkotott sugársor tartópontjának polárisa, ez pontosan akkor igaz, ha a felezőmerőlegesek közös pontja "kívül esik a hiperbolikus síkon" - tehát ha a háromszög köré nem írható kör.

Előzmény: [43] jonas, 2013-01-28 10:16:28
[43] jonas2013-01-28 10:16:28

Ebből a három ekvidisztáns görbét nem értem. Én azt hittem, hogy mindig csak nulla vagy egy ekvidisztáns görbe lehet, ami a háromszög három csúcsán átmegy.

Előzmény: [42] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-26 16:39:52
[42] Vonka Vilmos Úr2013-01-26 16:39:52

Valóban, a hiperbolikus geometria tételeit legegyszerűbben a modellekben bizonyíthatjuk be. Például az említett Klein-modellben csak le kell fordítani a szóban forgó tételt a projektív geometria "nyelvére", és azzal a gazdag eszköztárral már jóval könnyebb a tételeket bizonyítani. (Persze ehhez azt is tudnunk kell, hogy a hiperbolikus síknak izomorfia erejéig egyetlen modellje van - ennek belátásához kell az említett kiegészítés az ideális elemekkel.) Érdekes feladat például a háromszögek oldalfelező-merőlegeseire vonatkozó említett tételt megfogalmazni a Klein-modellben és a kapott állítást projektív geometriai úton bebizonyítani.

Ha egy háromszög köré nem írható kör, abban az esetben is írható köré másféle ciklus (ez egy rögzített pontnak egy sugársor elemeire vett tükörképeinek halmaza). Tulajdonképpen ez az állítás szoros összefüggésben van azzal, hogy a felezőmerőlegesek sugársort alkotnak. Ha ugyanis ennek a sugársornak a tartópontja éppen a modellkörön van, akkor a háromszög köré ún. paraciklus ("végtelen sugarú kör") írható. Ha pedig a sugársor tartópontja a modellkörön kívül esik, a háromszög köré nem 3, hanem 4 ekvidisztáns görbe írható. (Ezek egy adott egyenestől adott távolságra levő pontok halmazai, amik a hiperbolikus síkon nem egyenesek, hanem a Klein-modellben a modellkört kettősen érintő ellipszisek.) Szintén érdekes feladat lehet (haladóknak...) a háromszög köré írható ekvidisztáns görbék szerkesztését a modellben a projektív geometria módszereivel elvégezni. A szerkesztésből ugyanis leolvasható, hogy éppen akkor van 4 megoldás, ha a felezőmerőlegesek által alkotott sugársor tartópontja a modellkörön kívül esik, egyébként a megoldások száma 3.

Előzmény: [40] Fálesz Mihály, 2013-01-24 16:06:41
[41] Alma2013-01-24 22:09:10

Helyes, de szerintem ne beszéljünk többet erről itt, mert szerintem túltárgyaltuk, és ennek nem sok köze volt a nem euklideszi geometriához.

Előzmény: [39] Zilberbach, 2013-01-24 14:39:06
[40] Fálesz Mihály2013-01-24 16:06:41

Pont az ilyen megállapítások mutatják, hogy milyen nagy szükség van a modellekre. Sugársorról sokkal könnyebb beszélni akkor, ha a hiperbolikus síkot kiegészítjük ideális (végtelen távoli, sőt végtelenen túli) elemekkel.

Például a Klein-modellben a hiperbolikus síkot (teret) beágyazzuk a valós projektív síkba (térbe). A látszólag három különböző sugársor típus csak abban különbözik, hogy a közös pontjuk a modell belsejében, a modell határán vagy a modellen kívül van.

De még mindig van mit rágni a kérdésen: mi mondhatunk akkor, ha egy háromszög köré nem lehet kört írni?

Előzmény: [38] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-24 10:57:46
[39] Zilberbach2013-01-24 14:39:06

Ha a definíciód szerinti alfa szög csúcsa A pont, a béta szög csúcsa B pont, akkor az egyenesen az A és B pont közötti C, harmadik "csúcspont" az elfajult háromszögbe írható kör középpontja. Indoklás: a beírható körnek érintenie kell mindhárom oldalt.

Előzmény: [37] Alma, 2013-01-24 03:04:00
[38] Vonka Vilmos Úr2013-01-24 10:57:46

A hiperbolikus sík háromszögeinek oldalfelező merőlegeseivel kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy bár valóban nem mindig van közös pontjuk, az mindig teljesül, hogy sugársort alkotnak. Ez azt jelenti, hogy a következő esetek valamelyike áll fenn:

- van közös pontjuk;

- határpárhuzamosak;

- van közös merőlegesük.

Előzmény: [31] marcius8, 2013-01-23 12:29:11
[37] Alma2013-01-24 03:04:00

Még egy apró kiegészítés: Ha a sorozatbeli háromszögek körülírható körének és beírható körének középpontjának koordinátáiból képezünk sorozatokat, akkor a beírható kör középpontjának koordinátáiból álló sorozatok konvergensek lesznek, míg a körülírható kör középpontjának (legalább) egy koordinátájának sorozata nem lesz konvergens, "a körülírható kör középpontja a végtelenben van".

Gondolkodj el azon, hogy hol van az elfajult háromszög beírható körének középpontja az én definícióm szerint!

Előzmény: [36] Alma, 2013-01-23 23:52:04
[36] Alma2013-01-23 23:52:04

Ezeket a "maszatolásokat" meg lehet fogalmazni (legalább félig) korrektül is. Vegyünk egy olyan háromszögekből álló sorozatot, amelyeknek egyik oldala fix hosszúságú, és az azon lévő két szög (\alpha és \beta) egyre kisebb lesz. Ha vesszük az \alpha-kból álló, illetve a \beta-kból álló sorozatokat, akkor legyenek ezek konvergensek, és határértékük legyen nulla. Így a háromszögekből álló sorozat olyan lesz, amely (bizonyos értelemben "konvergens") és "határértéke" egy olyan "háromszög", amelynek három csúcsa egy egyenesre esik.

Na most fogadjuk el a következő definíciót:

Legyen a limeszként kapott "háromszög" (melynek csúcsai egy egyenesre esnek)

a) körülírható körének sugara az a szám, amely a sorozatbeli háromszögek körülírható köreinek sugaraiból képzett sorozat határértéke,

b) beírható körének sugara az a szám, amely a sorozatbeli háromszöget beírható köreinek sugaraiból képzett sorozat határértéke.

Belátható, hogy az a)-beli határérték nem létezik, "a körülírható kör sugara végtelen". A b)-beli sorozatnak létezik határértéke, és ez 0, a beírható kör sugara 0.

Tömören: ha valahogy értelmezni akarod az elfajult háromszöged beírható és körülírható körének a sugarát, akkor a beírható kör sugara 0, a körülírható köré végtelen. Ettől még persze nem lesz jól definiált a körülírható kör, a beírható körrel szerintem nincs gond, bár én nem vagyok járatos a matematikában, ez ilyen fizikus definíció volt. :)

Előzmény: [34] Zilberbach, 2013-01-23 22:03:20
[35] Zilberbach2013-01-23 22:05:15

Elismerem ez már túlzás volt - mert a kör nagy része kívül esik a háromszögön. Elnézést kérek.

Előzmény: [34] Zilberbach, 2013-01-23 22:03:20
[34] Zilberbach2013-01-23 22:03:20

Még ragozhatjuk: ez a végtelen sugarú kör ráadásul még a egyúttal a háromszögbe írható kör is (egyszemélyben), mert érinti mind a három oldalt.

Előzmény: [33] Zilberbach, 2013-01-23 21:24:05
[33] Zilberbach2013-01-23 21:24:05

Ha elfogadjuk hogy akkor tekinthető egy kör a háromszög köré írható körnek, ha mindhárom csúcsát érinti - illetve hogy egy végtelen sugarú kör egy darabja azonos lehet az egyenes egy szakaszával, akkor belátható hogy érintheti a háromszög mindhárom pontját a végtelen sugarú kör egy az adott egyenessel a háromszög három pontján egybeeső körszelete.

Elnézést kérek a fönti maszatolós elmeszüleményért, de sajnos szerintem sok hasonló akad az elfogadott geometriában és matematikában is.

Előzmény: [32] Zilberbach, 2013-01-23 20:59:05
[32] Zilberbach2013-01-23 20:59:05

"Ennek speciális esetét érzékelhetjük az euklideszi geometriában is, amikor a háromszög csúcsai egy egyenesen vannak, - elfajult háromszög - akkor ebben az esetben sincs a háromszögnek köré írható köre." - írod.

Mint laikus érdeklődő sokszor érzem maszatolásnak a végtelenben elpattanó egyeneseket, és a még távolabbi végtelenben elpattanó egyeneseket, valamint azt is amikor egy háromszög csúcsai egy egyenesre esnek.

Akkor maszatolnék én is egy kicsit a végtelennel: ha egy háromszög csúcsai egy egyenesre esnek, akkor a köré írható (elfajult) kör sugara végtelen.

Előzmény: [31] marcius8, 2013-01-23 12:29:11
[31] marcius82013-01-23 12:29:11

"FM" kérdése nagyon jó!!! A hiperbolikus síkon nem minden háromszögnek van köré írható köre. Ez adódik abból, hogy tetszőleges geometriában két adott ponttól egyenlő távol levő pontok halmaza egyenlő a két adott pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegesével. Ebből következik, hogy tetszőleges geometriában van egy háromszögnek köré írható köre, akkor a háromszög köré írható kör körének középpontja - amely egyenlő távol van a háromszög csúcsaitól - rajta kell legyen a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontján. Ennek a tételnek a bizonyítása a középiskolás bizonyítással megegyezzően történik. Viszont a hiperbolikus síkon a háromszög oldalfelező merőlegesei nem mindig metszik egymást, ezért nem minden háromszögnek van köré írható köre. Ennek speciális esetét érzékelhetjük az euklideszi geometriában is, amikor a háromszög csúcsai egy egyenesen vannak, - elfajult háromszög - akkor ebben az esetben sincs a háromszögnek köré írható köre.

[30] w2013-01-21 21:58:40

A hiperbolikus és elliptikus sík tehát valóban egy térbeli görbefelület? Hogyan értelmezhetjük akkor a rajta haladó egyeneseket stb.? Bolyai az egészet a párhuzamossági axióma újragondolásával indította, de ez hogyan vezethető le a nyeregfelületig? Le tudnátok írni alaposabban, hogy mi ezeknek a különböző változatoknak az alapja? Gondolom, enélkül értelmetlen volna a különböző tételek leírása.

[29] Fálesz Mihály2013-01-21 20:25:35

Ez így túl sok egyszerre. Haladjunk kisebb lépésekben. :-)

Kezdjük a háromszög köré írt körrel. Mi történik akkor, ha a háromszög oldalfelező merőlegesei nem metszik egymást?

Előzmény: [28] marcius8, 2013-01-21 15:34:31
[28] marcius82013-01-21 15:34:31

Tisztelt eddigi hozzászólók!

Köszönöm az eddigi hozzászólást mindenkinek. Úgy látom, hogy a hozzászólások leginkább a hiperbolikus sík modellezéséről szólnak (nyeregfelület). Azonban a nem-euklideszi geometria másik ága a gömbi (elliptikus) geometria, az a sík ahol a gömbi geometria valósul meg, az az elliptikus sík, ennek modellezéséről eddig nem esett szó.

Amit még hiányolok, az hogy egyszerűbb középiskolás tételek, amelyek euklideszi geometriában érvényesek, hogyan szólnak nem euklideszi geometriában. 1. Például a háromszög köré írható körének középpontja egyenlő a háromszög oldalfelezőinek metszéspontjával, ez a tétel érvényes akármilyen geometriában. 2. Például euklideszi geometriában egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a négyszög két szemközti szögének összege 180°, ez csak az euklideszi geometriában érvényes, nem euklideszi geometriában egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a négyszög két szemközti szögének összege egyenlő a négyszög másik két szemközti szögének összegével. Érdemes egyszerűbb térgeometriai tételeket is végiggondolni (például tetraéder magasságpontjára vonatkozó tétel), de aki "haladó" szinten tudja a nemeuklideszi geometriát, az egyszerűbb számolásokat is tud végezni. (Például Pitagorasz-tétel, kör kerülete, kör területe, téglatest átlója,..mind ez mindenféle geometriában, és érdemes megnézni, hogy a kapott eredmények hogyan vannak összhangban egymással...)

Mindenkinek sikeres fejtörést kívánok: Bertalan Zoltán (marcius8)

[27] Solaris2013-01-19 20:18:24

Nincs gond, sőt, köszönöm! Majd legközelebb a traktrix-szal kínálom meg Zilberbachot, hogy készítsen vele forgásfelületet. A traktrix forgatásával keletkező pszeudoszférán biztosan interpretálható a hiperbolikus geometria, kivéve a szinguláris pontjait. :)

A házi feladat szerintem túlzó. Ha elkészítené a modellt, akkor rájönne.

Előzmény: [23] Fálesz Mihály, 2013-01-19 16:55:19
[26] Zilberbach2013-01-19 20:02:52

A kék egyenesekre a hiperbolikus paraboloid síkban merőleges egyenesek mind ilyenek. Ezek a hiperbolikus paraboloid síkon párhuzamosak a piros egyenesekkel. Ez akkor különösen nyilvánvaló ha szemléltető eszközt úgy készítjük el, hogy a piros vonalak egy kocka lapfelező szakaszai lesznek.

Előzmény: [23] Fálesz Mihály, 2013-01-19 16:55:19
[25] Solaris2013-01-19 19:49:50

Az esőcsepp az nem pontszerű. :) Van a felületen egy és csak egy pont, ahol a "pontszerű" esőcsepp nyugalomban lehet. Ez a nyeregpont. Úgy gondolom, a hiperbolikus paraboloid eléggé közismert ahhoz, hogy ne itt vitassuk meg a tulajdonságait. Csak érdekességképpen hoztam ezt a példát/modellt Zilberbach számára, aki az adatlapja szerint laikus érdeklődő a geometria iránt. :)

Előzmény: [24] Lóczi Lajos, 2013-01-19 18:59:00
[24] Lóczi Lajos2013-01-19 18:59:00

"Bárhová esik rá egy esőcsepp, csak lefelé vezet az útja."

Ha a csepp pontszerű, a fenti mondattal nem teljesen értek egyet.

Előzmény: [22] Solaris, 2013-01-19 16:11:36
[23] Fálesz Mihály2013-01-19 16:55:19

Elnézést a pontosításért.

A felületnek nem állandó a Gauss-görbülete (de legalább negatív. :-) ) Emiatt, ha a metrikát a legrövidebb görbe hosszával definiáljuk, a szögek pedig akkorák, mint amekkorának látszanak, akkor ez a struktúra nem azonos "a" hiperbolikus geometriával.

Viszont ha már előjött ez a vicces felület, egy házi feladat Zilberbachnak: hol vannak még egyenesek a felületben?

Előzmény: [20] Solaris, 2013-01-18 23:24:41
[22] Solaris2013-01-19 16:11:36

A jó térlátás nagyszerű adottság. A lelki szemeiddel látott felület neve hiperbolikus paraboloid. :) Időnként alkalmazzák az építészek fedésre. Bárhová esik rá egy esőcsepp, csak lefelé vezet az útja. Nyeregfelületnek is mondják. Rozsdamentes acélból olyan szép, hogy elmegy asztali dísznek.

Előzmény: [21] Zilberbach, 2013-01-19 13:17:32
[21] Zilberbach2013-01-19 13:17:32

Köszönöm. Az ábra jó, ezért a vizualizációm működik. Lelki szemeim előtt anélkül is megjelent a felület, hogy valóban legyártottam volna. (Meg egy kicsit lusta vagyok néha.)

Előzmény: [20] Solaris, 2013-01-18 23:24:41
[20] Solaris2013-01-18 23:24:41

Olvastam a profilodban és látom is, hogy érdekel a geometria. Mellékelek egy ábrát és némi magyarázatot. Vegyél egy kisebb dobozt merev kartonpapírból, vagy készíts egyet. A fedőlapját távolítsd el, hogy lásd majd az eredményt. Az egyik lapján középen húzz egy vízszintes vonalat. A szemközti lapon is rajzolj egy vonalat, de most merőlegesen. Ezeket a vonalakat pirossal rajzoltam. Jelölj ki egyenletes kiosztásban pld. 5 mm távolságra pontokat mindkét vonalon, kb. 15 - 20 pontot, vagy sűrűbben és többet, akkor jobban fogod majd látni, amit kell. A pontoknál lyukaszd ki a kartont, majd keress hosszú cérnát és tűt. Fűzögesd át szorgalmasan a lyukakon a cérnát az ábra kék vonalai szerint. Olyan felület rajzolódik ki a szemed előtt, amelyik csupa egyenes vonalból áll, mégis görbe mindenhol. Ez egy olyan felület, amelyiken a hiperbolikus geometria az érvényes.

Előzmény: [2] Zilberbach, 2013-01-11 21:42:50

  [1]    [2]    [3]    [4]