KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - "ujjgyakorlatok"

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[144] lorantfy2004-05-02 10:39:46

Kedves Fórumosok!

A következő feladat Bólyai Farkas egy híres átdarabolásából született.

46. feladat: Legyen ABC hegyesszögű \Delta AB oldalának felezőpontja F1, BC oldalának felezőpontja F2 és a B csúcsból induló magasság talppontja M.

Legyenek AM és MC felezőpontjai D és E. Húzzuk meg a DF2 egyenest és állítsunk rá merőlegest az F1 és E pontokból. Ezek talppontjai legyenek T1 és T2. Tükrözzük a T1 pontot D-re, a T2 pontot E-re. A tükörképek legyenek Q és R. Ezekben a pontokban állított merőlegesek metszéspontja legyen P.

Igyaz-e, hogy a keletkezett négyszög négyzet és területe megegyezik az ABC \Delta területével?

[143] lorantfy2004-05-02 10:05:37

Kedves Károly!

Ezt a kis feladatot amolyan EU-belépési tesztnek szántam. Gratulálok! Te már beléphetsz!

Rajzos megoldás: a sárgára szinezett részek a kék és piros részt is a terület felére egészíti ki.

Előzmény: [142] Hajba Károly, 2004-05-02 00:26:06
[142] Hajba Károly2004-05-02 00:26:06

Megoldás a 45. feladatra:

Egy-egy háromszög területe a négyzet területének felével egyenlő, vagyis a két háromszög területe épp a négyzetével egyenlő. (azaz fehér + 2*piros = négyzet) Így amennyi az átfedésük területe (piros), annyinak kell lennie a le nem fedett területnek (kék) is.

Ezt a feladatot annyiban lehet általánosítani, hogy akár téglalapon és bármely két oldalára felvett háromszöggel is igaz.

HK

Előzmény: [141] lorantfy, 2004-05-02 00:04:39
[141] lorantfy2004-05-02 00:04:39

45. feladat: Egy négyzet két szomszédos oldalán felvettünk egy-egy tetszőlegesen választott pontot, melyet összekötöttünk a szemközti oldal végpontjaival. Igazoljuk, hogy az így keletkezett pirosan színezett síkidom területe megegyezik a kékkel színezett síkidomok területeinek az összegével!

[140] Suhanc2004-04-18 18:59:55

Kedves Csimby!

Hát ezek nem sokáig maradtak életben... :)

Köszi a megoldásokat!

A 45. feladaton érdekesnek hangzik... gondolkodok rajta!

Előzmény: [139] Csimby, 2004-04-18 16:06:00
[139] Csimby2004-04-18 16:06:00

43. feladat megoldása:

n=(102k+1-1)/9-2*(10k+1-1)/9=(102k+1-2*10k+1+1)/9=((10k+1-1)/3)2

Mivel 10k+1-1 csupa 9-esből áll, osztható 3-mal, tehát (10k+1-1)/3 egész szám, n pedig négyzetszám!

44. feladat megoldása:

n(n+1)(n+2)(n+3)=6n+11n2+6n3+n4, ugyanakkor 6n+11n2+6n3+n4+1=(n2+3n+1)2

Két négyzetszám különbsége pedig nem lehet 1 (kivéve, ha az egyik a 0, hiszen (n+1)2-n2=2n+1 ami csak n=0-ra egyenlő 1-gyel).

Hasonlít a 43. feladathoz a tanárképző főiskolák idei Péter Rózsa matematika versenyének 1. feladata (legyen ez a 45. feladat):

A=177...76 (2k+3 jegyű), B=355...52 (k+2 jegyű). Biz. be, hogy \sqrt{A-B} természetes szám és mondjuk meg, hogy hány jegyű.

Előzmény: [138] Suhanc, 2004-04-17 22:00:51
[138] Suhanc2004-04-17 22:00:51

Kedves Fórumosok!

Az alábbi két feladattal Bonifert Domonkos: Néhány tipikus problémaszituáció matematikából c. könyvében találkoztam.

Szerintem okozhatnak néhány kellemes percet, mégha komoly fejtörést nem is...

43.feladat Lássuk be, hogy n=111...111-222...222

(2k db 1-es, és k db 2-es) minden k>o egészre négyzetszámot ad!

44.feladat Lássuk be, hogy n(n+1)(n+2)(n+3) nem lehet négyzetszám, ha n poz. egész!

[137] nadorp2004-04-14 08:22:25

Kedves Csimby !

A 41. feladatra inkább ebben a topicban adok egy megoldást, mert a bizonyítás algebrai, bár az ötletet a háromszögbe írható körhöz húzott érintőszakaszok adták.

Legyen a=y+z, b=x+z, c=x+y. Ekkor az egyenlőtlenség az alábbi alakba írható:

(y+z)2.2x+(x+z)2.2y+(x+y)2.2z\leq3(y+z)(x+z)(x+y)

6xyz\leqx2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2 vagy "szebben" írva

xyz\leq\frac{x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2}6

A fenti egyenlőtlenség pedig azonnal következik a számtani és mértani közép közötti összefüggésből.

Előzmény: [134] Csimby, 2004-04-11 22:10:02
[136] Csimby2004-04-11 22:21:43

A 41. és 42. feladatot a Geometria témába akartam rakni, de most már mindegy...

[135] Csimby2004-04-11 22:16:40

42.feladat Bizonyítsuk be, hogy minden húrnégyszög szétvágható n db. húrnégyszögre, ha n\ge4 poz. egész.

[134] Csimby2004-04-11 22:10:02

41. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha a,b,c egy háromszög oldalai, akkor:

a2(-a+b+c)+b2(a-b+c)+c2(a+b-c)\le3abc

[133] Suhanc2004-04-10 23:11:06

Kedves László!

Bevallom őszintén, összetörtél bennem egy elképzelést erről feladatról...:)

Nem gondoltam, hogy ilyen elegáns alakban is megkaphatjuk a megoldást, és sok apró lépegetés során hoztam ki egy olyan alakot,amiben már csak a három oldal négyzete szerepel... erre gondoltam, amikor "csavargatásról" írtam...

Hát ez van! ;))

De mindenképp tanulságos volt nekem, köszönöm a megoldást!

[132] lorantfy2004-03-23 10:47:25

40. feladat megoldása: Hát egyenlő oldalú nem lehet a \Delta mert akkor a nevező 0 lenne. Egyenlő szárú is csak úgy, ha b az egyik szár. Kicsit átalakítva:

(a2-c2-b2)(a+c)2=0

Így aztán derékszögű lesz a \Delta, az átfogója: a.

Előzmény: [131] Suhanc, 2004-03-20 15:48:51
[131] Suhanc2004-03-20 15:48:51

Kedves Veresh!

Köszönöm a megoldást!:) Az esetszétválasztás szerintem nem szükséges, elég azt mondani, hogy "végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, és csak véges sok maradék osztály..." de a Te megoldásod ezt sokkal elegánsabban tálalja.

Egy matematika tesztverseny 10. osztályos feladatsorának feladata volt az alábbi feladat. Nem bonyolult, mégis szép, ahogy csavargatod, hogy kijöjjön a kívánt eredmény...:)

40.Feladat: Egy háromszög a, b, c oldalaira teljesül, hogy \frac {3b^2(a-c)^2+12ab^2c}{a^4+2a^3c-c^4-2ac^3}=3 Mit mondhatunk el ekkor a háromszögről?

Előzmény: [130] veresh, 2004-03-15 23:13:30
[130] veresh2004-03-15 23:13:30

39. feladat megoldása

Legyen n=123456789. Tekintsük a következő sorozatot:

a1=1,    a2=11,    a3=111,    ...,    an=1...1

(1) Ha

\existsi\in{1,...,n}:    n|ai,

akkor készen vagyunk.

(2) Ellenkező esetben (legfeljebb) n-1 maradékosztály van. És mivel a sorozat n tagú, ezért a skatulya-elv szerint van a sorozatnak két olyan tagja, amely ugyanabba a maradékosztályba tartozik; formálisan:

\existsi>j:    ai\equivaj(mod n)    <==>    n|(ai-aj)

De

ai-aj  =  1...10...0  =  1...1.10j

(ahol i-j db. 1-es és j db. 0 számjegy van). És mivel

\forallj\inN:    (n,10j)  =  (32.3607.3803,10j)  =  1

Ezért n|1...1 (i-j db. 1-es). Azaz

\existsk\inN:    n.k=1...1

Előzmény: [129] Suhanc, 2004-03-15 20:17:43
[129] Suhanc2004-03-15 20:17:43

Kedves László!

Köszöm szépen! Még pár év fórum, és megismerem az egész klaviatúrát...:)

Ez a feladat szerintem nagyon tanulságos, és szép:

39.Feladat. Igazoljuk, hogy 123456789-nek van olyan pozitív egész többszöröse, amelyben csupa 1-es szerepel!

Előzmény: [128] lorantfy, 2004-03-15 12:28:59
[128] lorantfy2004-03-15 12:28:59

Kedves Suhanc!

Kösz a megoldást! Sokszor jól alkalmazható trükk prímszámos feladatokban, hogy a 3-nál nagyobb prímszámok p=6k\pm1 esetleg p=12n\pm1 vagy p=12n\pm5 alakban írhatók!

Az oszhatóság jelet simán be lehet gépelni: AltGr+w kombinációval.

Előzmény: [127] Suhanc, 2004-03-15 08:19:13
[127] Suhanc2004-03-15 08:19:13

Megoldást írok László 38. feladatára:

Mivel p>3, és prím, ezért nem osztható 3-mal. Négyzetszámok 3-as mardéka 0 vagy 1 lehet, ez esetben tehát csak 1. Tehát p2-1 osztható 3-mal. Mivel p>3vés prím, ezért páratlan. Páratlan négyzetszámok 8-as maradéka 1. Tehát p2-1 osztható nyolccal is. Mivel 8 és 3 relatív prímek, ezért p2-1 osztható 24-gyel.

Lenne egy prózaibb kérdésem: László, az oszthatóságjelet hogyan "gyártottad"? :)

Előzmény: [126] lorantfy, 2004-03-15 00:30:19
[126] lorantfy2004-03-15 00:30:19

38. feladat: Bbh. ha p>3 prímszám, akkor 24 | p2-1 -nek!

[125] lorantfy2004-03-11 22:21:42

Kedves Attila!

Kösz a megoldást! Nehezítsük egy kicsit a feladatot:

37.b feladat: Mit mondhatunk az osztási arányokról, ha ABC egyenlő szárú háromszög és csúcsszöge \alpha ?

Előzmény: [124] jenei.attila, 2004-03-11 15:02:18
[124] jenei.attila2004-03-11 15:02:18

Még egyszerűbben: BD párhuzamos AC-vel, és fele akkora, ezért BF is fele akkora, mint FC.

[123] jenei.attila2004-03-11 14:57:35

Vektorokkal megoldva a feladatot, legyen AB=a, AC=b (A-ból B-be mutató vektorról vab szó, csak nem tudok felső nyilat írni). A BC oldal felezőpontja legyen H. Ekkor HD vektor=a/2, és AD vektor=a+b/2. Innen már látszik, hogy az AE és AD szakaszok a BC oldalt harmadolják. AF= 2/3*a+1/3*b.

Előzmény: [122] lorantfy, 2004-03-11 01:29:10
[122] lorantfy2004-03-11 01:29:10

37. feladat

ABC egyenlő oldalú \Delta BC oldala fölé félkört rajzolunk és ezt D, E pontokkal három egyenlő részre osztjuk. Milyen arányban osztja AD és AE egyenes a BC oldalt ?

[121] Hajba Károly2004-03-02 20:43:48

Kedves Csimby!

Az "átlós kérdés"-nél arra gondoltam, hogy ha egy pont mindkét koordinátája végtelen, elvileg addig már végtelen sok piros vagy kék pontnak kellene lennie, így csorbul a véges feltétel.

A b. feladatrésznél is hasonló lehet a megoldás, csak itt a pontok gyakorlatilag a végtelenségig besűríthetők. Így nem biztos, hogy létezik megoldás.

(Az óvatosságom oka, hogy a végtelennel való műveletekben nem vagyok otthon, nincs kellő gyakorlatom ezzel kapcsolatban.)

HK

Előzmény: [120] Csimby, 2004-03-02 20:23:14
[120] Csimby2004-03-02 20:23:14

Kedves Onogur!

A megoldásod jó, én is ezt ismertem, bár biztosan(?) van még. A 4 darab átlós irányra vonatkozó kérdésedet nem teljesen értem (a 45°-os egyenesekre gondolsz? és mi a kérdés/feladat?). A b. feladatről mit gondolsz?

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley