KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - "ujjgyakorlatok"

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[19] Kós Géza2003-12-04 14:11:14

Lényegében ugyanaz, de talán kicsit egyszerűbb megtalálni a megoldást Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel:

\big(3x+4\sqrt{1-x^2}\big)^2\le\big(3^2+4^2)\bigg(x^2+\sqrt{1-x^2}^2\bigg)=25.

Egyenlőség akkor áll, ha x:\sqrt{1-x^2}=3:4.

Azzal maximálisan egyetértek, hogy az ilyen trükköket hasznos megtanulni és begyakorolni.

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48
[18] lorantfy2003-12-04 14:09:36

Kedves Nádor P.!

Nagyon gyors voltál és persze nagyon ügyes!

Most aztán megoldásod alapján rögtön általánosíthatjuk is a feladatot:

6.feladat:

Legyenek a,b,c egy derékszögű háromszög oldalai.

Bbh. \frac{ax+by}{c}\leq \sqrt{x^2+y^2}.

(Más módszerrel oldjuk meg!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32
[17] nadorp2003-12-04 13:36:32

Megoldás az 5. feladatra.

Legyenek p és q pozitív egész számok, melyek értékét majd később adjuk meg. Ekkor a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés miatt

\frac{\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y}{p+q}=\frac{p\cdot\frac{3x}{5p}+q\cdot\frac{4y}{5q}}{p+q}<=\sqrt{\frac{p\cdot\frac{9x^2}{25p^2}+q\cdot\frac{16y^2}{25q^2}}{p+q}}

Ebből

\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y<=\sqrt{\frac{p+q}{p}\cdot\frac{9}{25}x^2+\frac{p+q}{q}\cdot\frac{16}{25}y^2}

Látszik, hogy a p=9 q=16 választással épp a kívánt egynelőtlenséget kapjuk.

Előzmény: [15] lorantfy, 2003-12-04 13:01:55
[16] Hajba Károly2003-12-04 13:25:06

Kedves László!

Én a geometria oldaláról közelítve találtam egy "csűrcsavarta" megoldást.

A maximumhely X koordinátájának keresésekor nem számít, ha az egész függvényt elosztom 4-gyel. Így egy origón átmenő, 0,75 meredekségű egyenes és origó központú egység sugarú kör összegét kapjuk.

Torzítsuk el képzeletben a körív minden pontját úgy, hogy az egyenes és X tengely közötti távolsággal távolítsuk az X tengelytől el. Ez a függvény képe és egyben egy ellipszis is. Szerkesszük meg a kőr és a hozzá tartozó ellipszis pontokhoz illesztett, összetartozó érintőket. Ezen érintők az Y tengelyen metszik egymást, mivel ott az eltolás 0. Az ellipszis maximumhelyéhez tartozó érintő párhuzamos az X tengellyel. Könnyen belátható, hogy e két érintő által bezárt szög \alpha, így a kör ezen érintőpontját az eredeti egyenes y=x tengelyre történő tükrözött egyenessel képzett metszéspont adja.

Ezt visszatéve a függvényekre, a megoldást a kör és az egyenes inverzének metszéspontja adja.

\root\of{1-x^2} = \frac43x

Ennek eredménye éppen X=\frac35

HK

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14
[15] lorantfy2003-12-04 13:01:55

Na ez már igen!

Kedves Péter!

Köszönöm a megoldást!

Érdemes a "közepek" közötti összefüggéseket jól begyakorolni, mert versenyfeladatoknál és néha-néha még KÖMAL feladatokban is nagy hasznát vehetjük!

Akkor próbálkozzatok ezzel:

5.feladat Bbh. \frac{3x+4y}{5}\leq \sqrt{x^2+y^2}

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48
[14] Pach Péter Pál2003-12-04 11:06:48

Megoldás a 4. feladatra

Írjuk fel a számtani és a négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget 9 darab \frac{x}{3}-ra és 16 darab \frac{\sqrt{1-x^2}}{4}-re:

\frac{9\cdot\frac{x}{3}+16\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}}{25}\le\sqrt{\frac{9\cdot\left(\frac{x}{3}\right)^2+16\cdot\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}\right)^2}{25}}

Mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozva:

\frac{3x+4\sqrt{1-x^2}}{25}\le\frac15

3x+4\sqrt{1-x^2}\le5

Így a kifejezés maximuma 5, amit pontosan akkor vesz fel, ha \frac{x}{3}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}, azaz, ha x=\frac35.

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14
[13] lorantfy2003-12-04 00:16:58

Kedves Attila!

Szép a megoldás. Köszönet érte!

\sqrt{1-x^2}-ből adja magát ez a helyettesítés, de sajnos a 9-edikesek még nem tanulták matekból a szögfgv-ket. Kérdés a tankönyvírók hogy gondolták a megoldást? Hátha valakinek van még más ötlete.

Előzmény: [12] evilcman, 2003-12-03 22:47:58
[12] evilcman2003-12-03 22:47:58

4. megoldás:

kikötés: 1>=x>=-1

ha ez az intervallum, akkor x-et helyettesíthetjük sin (\alpha) -val

így-ha A a maximuma a függvénynek:

A=3sin (\alpha)+4cos (\alpha)

elosztjuk mindket oldalt 5-tel

 \frac{A}{5} = \frac35\sin(\alpha) + \frac45\cos(\alpha)

legyen \sin(\beta) = \frac35 ezért \cos(\beta) = \frac45

így addíciós képlettel:

 \frac{A}{5} = \sin(\alpha+\beta)

a sinus függvénynek a maximuma 1, vagyis az eredeti függvény maximuma 5

Innen pedig már ki lehet számolni x-et, az eredeti egyenlet egyetlen gyöke 3/5.

[11] lorantfy2003-12-03 18:28:14

4.feladat: Keressük a maximum helyét és értékét, de semmi deriválás, kilencedikesek vagyunk!

 f(x)=3x+4 \sqrt{1-x^2}

(Sokszínű Matek 9-ből van!)

[10] Sirpi2003-12-02 14:14:56

alg b=(10lg a)lg b=10lg a.lgb, ami szimmetrikus a-ban és b-ben, tehát C=1.

Előzmény: [9] lorantfy, 2003-12-02 14:11:11
[9] lorantfy2003-12-02 14:11:11

Kedves Fórumosok!

Nézzetek be ide is mert kihal a téma!

C= \frac {5^{lg20}}{20^{lg5}}=?

[8] Suhanc2003-11-27 18:03:42

Igen, tényleg elírtam! Nem szerencsés:(

[7] lorantfy2003-11-26 22:04:42

Kedves Suhanc!

Szépen elvagyunk itt ketten ebben a témában. Beírok egy megoldást - de szerintem elírtad a 4c2-et!

2. feladat megoldása: Belátjuk, hogy

a+4b+4c^2 \geqq 5+4c- \frac{1}{a}- \frac {1}{b}\qquad  ha\quad (a,b \geqq 0)

A 4c2-ből és a 4c-ből látszik, hogy bal oldalon egy különbség négyzete lesz, amihez kell még, hogy mindkét oldalhoz 1-et adjunk:

4c^2-4c+1 \geqq 6 -(a+ \frac{1}{a})-(4b+ \frac {1}{b})

Jobb oldalon a jól ismert egyenlőtlenség:

a+ \frac{1}{a} \geqq 2 \qquad  (a,b \geqq 0)

és a második tag is ilyen lesz, ha kiemelünk 2-t:

(2c-1)^2 \geqq 6 -(a+ \frac{1}{a})- 2(2b+ \frac {1}{2b}) \leqq 0

Előzmény: [1] Suhanc, 2003-11-23 19:04:38
[6] Suhanc2003-11-26 18:24:56

Hahó!

Szakkörön kaptunk két érdekes feladatot, a témakört nem árulom el, elég könnyen kiderül. Az egyik tényleg villámkérdés, a másikról a szakkörvezető ennyit mondott: "aki ismeri a trükköt, annak trivi, aki még nem, annak lesz min gondolkodnia" :)

4. Bizonyítsuk be, hogy tekintve 2 ; 3; és 5 n. hatványainak összegét, van olyan két szám, melyek különbsége osztható 1237-tel. (ígérem, nemsokára megtanulom a képletszerkesztést)

5. Tekintsünk 512 egész számot! Bizonyítsuk be, hogy ki tudunk választani közülük néhányat, hogy összegük 512-vel osztható legyen! (leglább 1-et választunk ki, de akár az összeset is)

[5] lorantfy2003-11-26 14:57:05

Kedves Suhanc!

Jól gondolod, pont a sarokház az ellenpélda a b)-nél.

A d)-nél szigorú értelemben igazad van. De ha azt mondjuk, hogy testvérek azok, akiknek legalább egyik szülője közös, akkor már nem.

Szóval tágabb értelemben egyik sem tranzitív.

Előzmény: [4] Suhanc, 2003-11-25 20:16:51
[4] Suhanc2003-11-25 20:16:51

Kedves Lórántfy!

Ha valóban ennyire "nagy" az érdeklődés, akkor én is leírom a 3. feladatra az ötleteimet.

d)nyilván tranzitív. c) Nem tranzitív./sajnos a suli számos ellenpéldát hoz a tranzitivitásra :( /

a) ha A és B szomszédok, valamint B és C szomszédok, úgy A és C B két oldalán laknak, így nem lehetnek szomszédok (eltekintve egy olyan speciális elhelyezéstől, amelyben a 3 házat egy kör alakú utca veszi körül/

Szándékosan cseréltem fel a sorrendet, mert számomra a b) nem egyértelmű. Mi van, ha B egy sarokházban lakik. Vehetem úgy, hogy mindkét utca lakója? Ugyanis szerintem függ ettől a tranzitivitás.

Ja, az első két feladatról: az 1. Egy "Urbán: Matek+" című könyvben találtam,(egyben könyvajánlás; szerintem érdekes feladatokat rejt, egyedi megoldásokal), a második feladat pedig egy régi Arany Dani példa volt.

[3] lorantfy2003-11-24 23:43:18

Mivel a fiatalok nem nyüzsögnek, beírom az elsőt:

1. feladat megoldása: Legyen „a” pozitív egész szám, összes pozitív osztója: p1,p2,p3,...pn.

A következő tört értékét keressük:

 \frac {p_1+p_2+p_3+...+p_n} {\frac {1}{p_1}+\frac {1}{p_2}+\frac {1}{p_3}+...+ \frac {1}{p_n}}

Szorozzuk be a számlálót és nevezőt is a-val.

A nevezőben lévő összeg:

{\frac {a}{p_1}+\frac {a}{p_2}+\frac {a}{p_3}+...+ \frac {a}{p_n}}

nem más mint „a” pozitív osztóinak összege, hiszen pi azért osztója „a”-nak, mert létezik pj, hogy pipj=a, vagyis p_i=\frac {a} {p_j}.

Így a tört értéke: „a” .

(Persze szóban is elintézhettem volna: Ha az osztók reciprokösszegét „a”-val megszorozzuk, az osztók összegét kapjuk. Gyakoroltam kicsit a törtek beírását.)

Előzmény: [1] Suhanc, 2003-11-23 19:04:38
[2] lorantfy2003-11-23 21:57:19

Kedves Suhanc!

Ügyes a két példa! Nem írom be a megoldást, gondolkodjon más is rajta. (Érdemes különben belenézni a TeX-be – én kimásoltam Word-be, igy folyamatosan lapozható – mert egy négyzetreemelés vagy pl. a törtek nagyon könnyen beírható és sokkal jobban mutat a képlet!)

Egy tényleg villám feladat:

3. Tranzitív egy reláció ha A\mapstoB és B\mapstoC\impliesA\mapstoC

Tranzítív-e:

a) az A szomszédja B-nek

b) az A egy utcában lakik B-vel

c) az A barátja B-nek

d) az A testvére B-nek

reláció?

[1] Suhanc2003-11-23 19:04:38

Sziasztok!

Néha túl fáradt vagyok, hogy egy-egy feladat megoldásába mélyebben elmerüljek, vagy sokáig foglalkozzam vele, és otthagyom. Gondolom, ez ismerős dolog másoknak is. Ezért szerintem jó lenne egy hely, ahova olyan feladatok kerülnek, amelyek megoldása nem igényel 10-15 percnél hosszabb elmélyülést, azonban a megoldás szép, nem darálós fajta. Kezdetnek itt van 2 -valóban ujjgyakorlatni:)-feladat:

1. Egy pozitív egész szám pozitív osztóinak összegét elosztottuk a pozitív osztók reciprokösszegével. Mennyi a hányados?

2. Ha a; b nemnegatív valós számok és c tetszőleges valós szám, bizonyítsd be, hogy:

a+4b+(4c)*(4c)>= 5+4c -1/a -1/b

(bocsi, a képletszerkesztés nem az erősségem)

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley