Fórum: "ujjgyakorlatok"

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[370] Lóczi Lajos	2005-10-24 23:11:17
De azt nem látom, hogy mi a kapcsolat a két egyenlet (azaz a 4.-5. hatványos és a köbösszeges) között? Mire lehet következtetni a másikra nézve, ha tudjuk, hogy az egyiknek mi a megoldása/nincs megoldása?
Előzmény: [368] Káli gúla, 2005-10-24 23:03:26

[369] Káli gúla	2005-10-24 23:06:03
A "12³-höz hasonlóan" szövegrész törlendő. Elnézést.

[368] Káli gúla	2005-10-24 23:03:26
Egyrészt az x⁴+y⁵=1728 egyenletnek nincs megoldása mod 41, másrészt, a 12³-höz hasonlóan a 41³ is többféleképpen írható fel, de nem két, hanem három köbszám összegeként.
Előzmény: [366] Lóczi Lajos, 2005-10-24 22:50:25

[367] jonas

2005-10-24 22:59:46

Valóban, fel is van sorolva a listában (ami nem rendezett).

Talán kiszámolom, ha kevésbé vagyok fáradt.

Előzmény: [363] Lóczi Lajos, 2005-10-24 22:20:20

[366] Lóczi Lajos	2005-10-24 22:50:25
Miért, az x³+y³+z³=41³ egyenletről mit lehet tudni? (És hogyan kapcsolódik az x⁴+y⁵=1728-hoz? Kíváncsi lettem.)
Előzmény: [364] Káli gúla, 2005-10-24 22:35:27

[365] nadorp	2005-10-24 22:36:24
Ez poén, beismerem ezzel a konstrukcióval még nem találkoztam.
Előzmény: [360] jonas, 2005-10-24 21:20:47

[364] Káli gúla	2005-10-24 22:35:27
De épp a 40-nél kár lenne abbahagyni a keresést. Erre próbáltam tegnap is célozgatni, a 41³=x³+y³+z³ egyenlet megoldásszámával.
Előzmény: [363] Lóczi Lajos, 2005-10-24 22:20:20

[363] Lóczi Lajos	2005-10-24 22:20:20
Sajnos a megoldásod hibás: az első számkupacban ott az 1-es, míg a másodikban a 7-es, és 1+7=8.
Előzmény: [362] jonas, 2005-10-24 21:49:44

[362] jonas

2005-10-24 21:49:44

Jé, tényleg elrontottam valamit.

A 40 modulus jó: x⁴mod 40 lehet 0, 1, 16, 25

y⁵mod 40 lehet 0, 1, 32, 3, 24, 5, 16, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39

Így aztán x⁴+y⁵mod 40 lehetséges értékei 0, 1, 32, 3, 24, 5, 16, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 2, 4, 6, 10, 12, 14, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 34, 36, 38.

1728mod 40=8 nincs ezek között.

Előzmény: [361] Lóczi Lajos, 2005-10-24 21:21:54

[361] Lóczi Lajos	2005-10-24 21:21:54
Pedig lehet. Segítség: cáfoljuk meg a megoldás létezését, hogy az egyenletet egy alkalmas maradékosztály felett nézzük.
Előzmény: [359] jonas, 2005-10-24 21:12:05

[360] jonas

2005-10-24 21:20:47

Ha már a pitagoraszi számhármasokról van szó, mutatok egy módszert, ahogy elő lehet állítani őket. Legyen a,b egészek.

|b+ai|=|a+bi|

ezért

$1 = \left|\frac{b + ai}{a + bi}\right| = \left|\frac{(b + ai)(a - bi)}{a^2 + b^2}\right| = \frac{|2ab + (a^2 - b^2)i|}{|a^2 + b^2|}$

tehát a számláló és a nevező négyzete egyenlő:

(2ab)²+(a²-b²)²=(a²+b²)²

Ez persze nem bizonyítja, hogy csak ilyen alakúak lehetnek (konstans szorzótól eltekintve).

Előzmény: [358] nadorp, 2005-10-24 10:11:01

[359] jonas

2005-10-24 21:12:05

Átrendezve x⁴+y⁵=1728.

Ez érdekes egyenlet: nem tudom modulusokkal megcáfolni, de megoldást sem találtam rá (próbálgatással). Kis megoldás úgy tűnik nincs egyikre sem.

Előzmény: [353] Lóczi Lajos, 2005-10-23 17:10:39

[358] nadorp

2005-10-24 10:11:01

Itt egy érdekes adalék az eredeti problémához.

Legyenek a,b,c pitagoraszi számhármasok, azaz a²+b²=c². Ekkor

(ab)⁴+(ac)⁴+(bc)⁴=a⁴b⁴+c⁴(a⁴+b⁴)=a⁴b⁴+c⁴((a²+b²)²-2a²b²)=a⁴b⁴-2a²b²c⁴+c⁸=(c⁴-a²b²)²

Tehát a x⁴+y⁴+z⁴=t² egyenletnek végtelen sok megoldása van, ellentétben az x⁴+y⁴=t² egyenlettel,aminek egy sincs.

[357] Lóczi Lajos	2005-10-23 20:48:12
Igen, direkt szerepeltettem olyan számokat, amelyek utalnak taxicab-number-ekre, de ezt csak szándékos megtévesztésnek szántam :-), szerintem köbszámokhoz az egésznek nincs sok köze.
Előzmény: [355] Káli gúla, 2005-10-23 20:01:59

[356] Lóczi Lajos	2005-10-23 20:42:22
Természetesen próbálgattam. (A nemlineáris diofantoszi egyenletek elmélete tele van ad hoc módszerekkel, és szerintem a legnehezebb matematikák közé tartozik. Elképzelhető persze, hogy az algebrai görbék vagy varietások elméletével lehetne valamit mondani általában, de ehhez nem konyítok, messze meghaladja a képességeimet.)
Előzmény: [354] Csimby, 2005-10-23 19:49:34

[355] Káli gúla	2005-10-23 20:01:59
Érdekes szám ez, főleg így rendszám alakba normálva :) A problémás modulus köbe többféleképp írható fel három pozitív köbszám összegeként?
Előzmény: [353] Lóczi Lajos, 2005-10-23 17:10:39

[354] Csimby	2005-10-23 19:49:34
A 13 honnan jött? Elkezdtél próbálgatni vagy van valami okosabb módszer?
Előzmény: [352] Lóczi Lajos, 2005-10-23 16:43:09

[353] Lóczi Lajos

2005-10-23 17:10:39

Akkor én is generáltam egy egyenletet, ami megoldandó az egészek körében:

x⁴+y⁵+1=10³+9³.

[352] Lóczi Lajos

2005-10-23 16:43:09

Nem a kicsiség számít, hanem a maradékosztályok :)

Az egyenletnek nincs egész megoldása, ugyanis nézzünk mindent modulo 13:

egy negyedik hatvány 13-mal maradékosan osztva négyféle maradékot adhat, nevezetesen {0,1,3,9} valamelyikét,

egy harmadik hatvány 13-mal maradékosan osztva ötféle maradékot adhat: {0,1,5,8,12} valamelyikét,

viszont 19¹⁹ maradékosan osztva 13-mal 7-et ad.

És a 7 nem áll elő két olyan szám összegeként, amelyben az első tag az első halmazból, a második a másodikból van véve.

Előzmény: [351] Káli gúla, 2005-10-23 16:20:51

[351] Káli gúla	2005-10-23 16:20:51
75. feladat. Van-e egész számokból álló megoldása az x⁴+y³=19¹⁹ egyenletnek? (Valamivel kisebb a jobb oldal, mint az előző feladatban:)

[350] jonas	2005-10-23 15:29:27
Izé, ezt zárójelezni kéne, vagyis 2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+2682440⁴+15365639⁴= (-15365639)⁴+2682440⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+(-15365639)⁴+2682440⁴= (-2682440)⁴+15365639⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+(-2682440)⁴+15365639⁴= (-15365639)⁴+(-2682440)⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+(-15365639)⁴+(-2682440)⁴= 2061567⁴
Előzmény: [349] jonas, 2005-10-23 15:24:41

[349] jonas

2005-10-23 15:24:41

Még néhány megoldást az első alapján könnyű találni, hiszen

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴= -18796760⁴+2682440⁴+15365639⁴= -15365639⁴+2682440⁴+18796760⁴= -18796760⁴+-15365639⁴+2682440⁴= -2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴= -18796760⁴+-2682440⁴+15365639⁴= -15365639⁴+-2682440⁴+18796760⁴= -18796760⁴+-15365639⁴+-2682440⁴= 20615673⁴

Előzmény: [348] Lóczi Lajos, 2005-10-23 13:56:18

[348] Lóczi Lajos	2005-10-23 13:56:18
Egy megoldást tehát találtunk, de ezzel nem szabad megelégedni. Most megkérdezem a kitűzőt, hogy árulja el az ÖSSZES TÖBBI megoldását az egyenletének, vagy mutassa meg, hogy nincs más :-)

[347] lorantfy

2005-10-23 13:54:48

Kedves Lajos!

Gratulálok! Erről van szó. A Fermat sejtés bizonyításakor komoly problémát jelentettek az Euler sejtést cáfoló számítógépes megoldások. Ezért ezeket meg lehet találni az interneten, vagy pl. Simon Signh: A nagy FERMAT sejtés c. könyvében.

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴

Előzmény: [345] Lóczi Lajos, 2005-10-23 13:36:55

[346] Lóczi Lajos

2005-10-23 13:46:50

Á, némi internetes keresgélés után rátaláltam:

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?