KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - "ujjgyakorlatok"

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[51] lorantfy2003-12-17 13:44:07

15. feladat: Az ABC\Delta területe 1. Legyen AB felezőpontja C1, AC felezőpontja B1, BB1 felezőpontja D, CC1 felezőpontja E. Mekkora a B1C1DE négyszög területe?

[50] lorantfy2003-12-15 20:28:19

14. feladat megoldása: Legyen

AO = 1\implies  AC=2,\quad OE = \frac12,\quad BC=\sqrt2

AEO\Delta\simACF\Delta, mert mindkettő derékszögű és van egy közös szögük. Így  \frac{AF}{CF}= \frac{AO}{EO}= 2

AFB\angle=45o, mert középponti szögpárja 90o. Tehát FG szögfelező ACF\Delta-ben, így az AC átfogót 2:1 arányban osztja:

AG= \frac{4}{3} \quad GC= \frac{2}{3} \quad OG=AG-AO= \frac{1}{3}

BOG\Delta-ből BG=\frac{\sqrt{10}}{3} A keresett arány:  \frac{BC}{BG}= \frac {3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}

Előzmény: [49] Suhanc, 2003-12-13 22:23:02
[49] Suhanc2003-12-13 22:23:02

14.

Szakköri feladat: volt, aki trigonometriával oldotta meg, volt, aki koordinátageometriával... elemi? (szerintem a legszebb)

Adott egy kör két, egymásra merőleges AC és BD átmérője; a kör középpontja O. OD szakasz felező pontja E. AE egyenese két pontban metszi a kört; ezek egyike A pont, a másik pont legyen F. BF szakasz AC átmérőt G pontban metszi. Mekkora BC és BG szakaszok aránya?

(Elnézést kérek mindenkitől, ehhez egy ábra is; sajnos ezt nem tudok készíteni.)

[48] Rácz Béla2003-12-11 00:19:37

13.

Igaz-e, hogy ha egy n természetes szám minden d természetes számmal osztva kvadratikus maradékot ad (olyan maradékot, ami előáll, mint egy mégyzetszőám d-s maradéka), akkor n maga is négyzetszám?

(Ez már lehet, hogy nem ujjgyakorlat:) És ha ezt csak akkor tudjuk, ha d prímszám?

[47] Suhanc2003-12-10 18:07:06

Kedves Attila!

Köszi a megoldást! Ez hamar megvolt! :)

Előzmény: [45] jenei.attila, 2003-12-10 12:46:50
[46] lorantfy2003-12-10 14:19:59

Megoldás a 11. feladatra

A háromszög területképletéből kifejezve:  bc= \frac{2T}{\sin \alpha} állandó.

a2=b2+c2-2bccos \alpha

Tehát a2 akkor minimális ha b2+c2 minimális. Ezt csökkentketjük egy konstassal, a minimum helye nem változik:

b2+c2-2bc=(b-c)2\geq0

Ez akkor minimális, ha b=c, vagyis ha a háromszög egyenlő szárú.

 a=2b \sin \frac{\alpha}{2}=2\sin \frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{2T}{\sin \alpha}}

Előzmény: [42] evilcman, 2003-12-07 17:15:46
[45] jenei.attila2003-12-10 12:46:50

Kedves Suhanc!

Rendezzük át az egyenletet, és a jobboldalt alakítsuk szorzattá:

a2=b(b1998-1)

Legyen p a b egy prím osztója. Ekkor p|a2, ezért a2 prím felbontásában p páros hatványon szerepel. De p nem osztója b1998-1-nek, ezért p a b felbontásában is páros hatványon szerepel, vagyis b négyzetszám. Mivel a2 és b is négyzetszám, ezért b1998-1 is négyzetszám kell, hogy legyen. De b1998 szintén négyzetszám, ezért csak b=1 lehet, amikor a=0.

Előzmény: [43] Suhanc, 2003-12-07 18:18:36
[44] Hajba Károly2003-12-07 23:29:47

Kedves László!

Köszönet és gratula mindkét feladatnál (9., 10.) a szép bemutató ábrákért és a megoldásért.

HK

Előzmény: [41] lorantfy, 2003-12-07 15:43:39
[43] Suhanc2003-12-07 18:18:36

12. feladat

Mely a; b egész számokra teljesül az alábbi egyenlőség?

a2+b=b1999

[42] evilcman2003-12-07 17:15:46

11. feladat

Azon háromszögek közül, amelynek adott a területe és az egyik szöge, melyikben lesz az adott szöggel szemben lévő oldal a legkisebb? Mennyi lesz?

[41] lorantfy2003-12-07 15:43:39

Kedves Károly!

Megoldás a 10. feladatra:

T(negyzet)=1,\quad  T(90^\circ haromszog)= \frac{1}{2},\quad   T(60^\circ  haromszog)= \frac{\sqrt3}{4}

T(90^\circ  korcikk)= \frac{\pi}{4},\quad   T(60^\circ  korcikk)= \frac{\pi}{6},\quad    T(30^\circ  korcikk)= \frac{\pi}{12}

T(90^\circ  korszelet)= \frac{\pi}{4}-\frac12

T(60^\circ  korszelet)= \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}

T(rogbilabda)=2T(90^\circ  korszelet)=  \frac{\pi}{2}-1

T(suveg)= T(30^\circ  korcikk)+2 T(60^\circ  korszelet)= \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}

T(suveg)=\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{2}

T_x=2T(suveg)-T(rogbilabda)= \frac{5\pi}{6}-\sqrt3-\frac{\pi}{2}+1=\frac{2\pi}{6}-\sqrt3+1

Előzmény: [32] Hajba Károly, 2003-12-05 23:40:05
[40] lorantfy2003-12-07 12:49:07

9.feladat megoldása:

A keresett kisgömb középpontja egy szabályos tetraéder súlypontja, melynek csúcsai a nagygömbök középpontjai. A tetraéder oldalai 2R=2 egység hosszúak, magassága:

m= DO=2\frac{\sqrt6}{3} \qquad DS= \frac34m= \frac{\sqrt6}{2}

A kisgömb sugara: r=DS-R=\frac{\sqrt6}{2}-1. (Az ábrákat Laci fiam készítette)

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05
[39] lorantfy2003-12-07 11:52:46

Egy felülnézeti kép:

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05
[38] lorantfy2003-12-07 11:49:21

Kedves Károly és Fórumosok!

Térbeli szemléltetés a 9. feladathoz.

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05
[37] Suhanc2003-12-07 09:04:52

László 7b)feladatára a négyzetek:

2(x+1)2+2(z+1)2+(x+y+z)2+3(z+y/2)2+5(x+y/2)2=0

Ez csak akkor teljesülhet, ha minden tag 0. Ebből x=z=-1 így y=2 nek kell lennie, ami valóban jó megoldás.

[36] Kós Géza2003-12-06 09:48:31

Kedves Suhanc,

\ge   =   \ge,       \le   =   \le.

A képleteket egészben érdemes dollárjelek közé tenni, pl. $a^+2ab+b^2$ és nem $a^2$+2ab+$b^2$. A képleteken belül kicsit más a betűtípusok kezelése, a betűk alapértelmezésben dőltek, és a szóközök automatikusan kimaradnak.

Előzmény: [35] Suhanc, 2003-12-06 09:21:16
[35] Suhanc2003-12-06 09:21:16

László 9a) feladatára van egy másfajta megoldásom:

Egy tétel kimodja, hogy a derékszögű háromszögben a befogók összege nem nagyobb az átfogó \sqrt2 szeresénél. Ezt az alábbi módon, indirekten bizonyíthatjuk:

TFH: a+b >\sqrt2*c

Ekkor: a2+2ab+b2 >2c2

Vagyis: a2+2ab+ b2 > 2a2+2b2

Tehát: 0> a2-2ab+b2

0> (a-b)2 Ez ellentmondás, tehát eredeti állításunk igaz volt. Vagyis, mivel meg van adva az átfogó, így a kerület legfeljebb ennek 1+\sqrt2 szerese lehet, abban az esetben, ha a háromszög egyenlő szárú, így a-b=0.

(kérdés: a TeX-ben hol találom a >= jelet szépen?)

[34] Hajba Károly2003-12-06 01:24:37

Megoldás László 9.b feladatára:

Legyen a kúp alapjának sugara egységnyi, magassága m. Legyen továbbá a henger sugara 0<x<1.

Vhenger=x2\pim(1-x)=\pim(x2-x3)

Vhenger'=\pim(2x-3x2)=0

x=\frac23

\frac{V_{henger}}{V_{ku'p}}=\frac{\pi m \bigg[\Big(\frac23\Big)^2-\Big(\frac23\Big)^3\bigg]}{\frac{\pi m}{3}} = \frac49

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18
[33] Hajba Károly2003-12-06 00:51:50

Megoldás László 9.a feladatára:

A háromszög kerülete:

K=1+sin\alpha+cos\alpha

K'=cos\alpha-sin\alpha=0

cos\alpha=sin\alpha

\alpha=45°

Tehát, ami szemrevételezéssel is nyilvánvaló, az egyenlŐ szárú háromszögnek a legnagyobb a kerülete az egységnyi átfogójú derékszögű háromszögek közül.

HK

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18
[32] Hajba Károly2003-12-05 23:40:05

10. feladat:

Mekkora az alábbi egységnyi oldalú négyzetbe egységnyi sugarú körívekkel szerkesztett sraffozott terület nagysága?

HK

[31] Hajba Károly2003-12-05 23:29:05

9. feladat:

Adott 4 darab egységsugarú tömör golyónk, mely mindegyik mindegyikkel érintkezik. Mekkora az a tömör 5. golyó, mely mind a 4 darab golyót érinti?

Hajba Károly

[30] lorantfy2003-12-05 23:24:18

9.feladat:

a.) Adott átfogojú derékszögű háromszögek közül melyik kerülete a legnagyobb?

b.) Mekkora az adott kúpba irható hengerek térfogatának maximuma?

[29] lorantfy2003-12-05 23:14:06

Elnézést! Az előbbi hozzászólás rossz témába tettem!

[28] lorantfy2003-12-05 23:07:00

Kedves Péter, Károly és Fórumosok!

Azt hiszem a feladat szövegéből (az 5-ből 3 sapkásról van szó!) nem derült ki, hogy a börtönigazgató véletlenszerűen választ-e a sapkák közül, vagy a 7 féle minta valamelyike szerint rak fel 3-at a fejekre. (Hajlok rá, hogy ha nagy sorozatban játszaná ezt a játékot Péternek lenne igaza, hacsak nincs egy kis naptárja, amibe be van jegyezve aznap melyik mintát teszi fel a 7 közül.)

Így azt hiszem Károlynak megadhatjuk a megoldási útmutató szerinti, maximális 3-3 pontot. Péter pedig dícséretet kap "értékes megjegyzéséért"! :-)

Legközelebb beleírom az igazgató monológjába: "Most becsukott szemmel választok 3 sapkát az 5 közül, és véletlenszerűen teszem fel a fejetekre." - ,hogy pontos legyen a szöveg. (Így meg túl tudálékos lesz.)

Namost aki csak utólag olvassa a megoldást, azért érdemes átgondolni a poént. Akinek látszólag legkevesebb információja van a sapkákról - az 1. rab - annak legvalószinűbb a szabadulása. Tehát ebben az esetben, ha nincs információ (nem szólnak a hátam mögötti rabok) az is információ.

Előzmény: [24] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:29:34
[27] nadorp2003-12-05 09:12:44

Bocs, egyenlőség x=-1 esetén van

Előzmény: [26] nadorp, 2003-12-05 09:11:23

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley