KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - "ujjgyakorlatok"

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[677] logarlécész2011-10-15 15:56:02

Az első feladat c részéhez nem elég, hogy sinx/x határértéke a nullában 1, és ennek x-edik gyöke is egy lesz?

Előzmény: [669] kovátsnorbi1994, 2011-10-12 20:39:44
[676] kovátsnorbi19942011-10-14 20:16:41

Köszönöm mindenkinek aki válaszolt, hasznos és használható ötleteket kaptam, nem hiába írtam. Most nem sok időm van, de legközelebb a második - számomra problémás - feladatokat is megosztom veletek. Mégegyszer köszönöm a válaszokat és jó hétvégét Mindenkinek!

[675] Fálesz Mihály2011-10-14 14:20:18

Néhány gyakori ötlet, amit érdemes megjegyezni:

1. Sorozat határértéke helyett megpróbálhatod függvény határértékét venni: n vagy 1/n helyett x-et írsz. Függvényekre többféle eszközt használhatsz, mint sorozatokra, pl. a L'Hospital-szabályt.

2. Hatványok és gyökök helyett átírhatod a kifejezést törtekkel vagy szorzatokkal, ha veszed a logaritmusát. A végén majd behelyettesítesz az exponenciális függvénybe, ami folytonos.

Pl. az 1a feladatban megkeresheted a


\lim_{x\to+0} \ln \left(\frac1x\sin x\right)^{1/x} =
\lim_{x\to+0} \frac{\ln\sin x - \ln x}{x}

határértéket. (L'Hospital, rendezés, nagy levegő, még kétszer L'Hospital...)

Előzmény: [674] Maga Péter, 2011-10-13 12:18:15
[674] Maga Péter2011-10-13 12:18:15

Az 1.-re (ha jól látom, ez maradt nyitva): az a) és c) feladatban használhatod a sin  Taylor-sorból adódó közelítését a 0 pontban: \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-..., az a)-ban valami olyasmi marad, hogy (1-\frac{1}{6n^2}+...)^n, csendőr-elvvel vagy Bernoulli-egyenlőtlenséggel is be tudod fejezni; a c)-ben hasonló módon.

A b)-ben van egy csomó nem értelmezett függvényérték: ahol a sin  negatív, ott negatív számból kellene gyököt venni. A pozitív sin x-et adó részre szorítkozva sincs határérték, 0-hoz és 1-hez is tetszőlegesen közel kerülünk tetszőlegesen messze is.

Előzmény: [669] kovátsnorbi1994, 2011-10-12 20:39:44
[673] jonas2011-10-12 23:52:39

A 2. feladathoz a következő kiírást tudom elképzelni, ha a megoldás 63 kell legyen.

Hány olyan permutációja van az (1,2,3,4,5,6) számoknak, amiben van valahol három szomszédos helyen három szomszédos szám növekvő sorrendben, de sehol nincs négy szomszédos helyen négy szomszédos szám növekvő sorrendben?

A 63 ilyen permutáció a következő: 123546 123564 123645 123654 124563 126345 132456 134526 145623 145632 152346 156234 163452 165234 214563 216345 231456 234156 234165 234615 234651 245613 245631 261345 263451 312456 314562 321456 324561 345126 345162 345216 345261 412356 412365 451236 456123 456132 456213 456231 456312 456321 461235 465123 512364 516234 523416 523461 541236 546123 562341 564123 612354 613452 615234 621345 623415 634512 634521 641235 645123 652341 654123 .

Az 1. feladathoz most inkább nem szólok hozzá, mert fáradt vagyok, hanem megvárom, hogy valaki olyan segítsen, aki jobban ért az analízishez.

Előzmény: [671] kovátsnorbi1994, 2011-10-12 22:31:18
[672] jonas2011-10-12 23:10:08

A 3. feladatban épp az a trükk, hogy nem kell az integrált explicit alakban megtalálnod.

Előzmény: [671] kovátsnorbi1994, 2011-10-12 22:31:18
[671] kovátsnorbi19942011-10-12 22:31:18

Köszönöm a gyors választ és a javaslatokat jonas! A harmadiknál azt hiszem pont az integrálást nem tudtam elvégezni, szerintem kellett volna hozzá valamilyen azonos átalakítás, még azért megpróbálom és köszönöm még egyszer. A második feladatban én ott vesztettem el a fonalat, hogy a következő képpen értelmeztem a feladatot: A természetes sorrend gondolom a növekvő. Egy permutáció például a 6-5-1-4-3-2 mely eleget tesz a feltételnek, mert páronként összehasonlítva 3 esetben ugyanabban a sorrenben követik egymást a számok ahogy a számsorban is, vagyis jobb oldalon áll a nagyobb tőle balra pedig a kisebb, és ebben a permutációban pontosan 3 darab ilyen van. 65,61,64,63,62- 51,54,53,52- 14,13,12- 43,42- 32-

Itt tehát az 1 után 4, 1 után 3 végül az 1 után 2 is áll. De például az 1-2-3-4-5-6 esetén 15 db "természetes követés" van, míg mondjuk a 6-5-4-3-2-1-ben meg egy sincs. Viszont így azt hiszem nem találtam 63 darab helyes megoldást. Egyébként szerintem is elég ostobán van megfogalmazva ez a feladat.

Előzmény: [670] jonas, 2011-10-12 21:25:06
[670] jonas2011-10-12 21:25:06

A 2. feladatot nem értem.

A 3. feladatnál először bizonyítsd be, hogy az x0 körül f értelmezett és folytonos. Utána használd a Newton-Leibniz tételt ahhoz, hogy meghatározd a primitív függvény deriváltját az x0 pontban.

A 4. feladatot talán többféleképpen is el lehet kezdeni. Én úgy kezdeném, hogy először azt szeretném belátni, hogy a=1. Ezt úgy látod be, hogy ha modnjuk a<1, akkor (a2x+b)/(2ax+b) határértéke az x\to\infty-ben nulla lenne, pedig mi azt szeretnénk, hogy ez a hányados minden x esetén pontosan 1 legyen. Hasonlót lehet mondani, ha 1<a lenne.

Előzmény: [669] kovátsnorbi1994, 2011-10-12 20:39:44
[669] kovátsnorbi19942011-10-12 20:39:44

Helló mindenki! Az egyik ismerősöm mutatott egy feladatsort (emelt érettségire készülök, gépész főisk. a terv), és kiválogattam belőle néhány feladatot amiket nem tudtam megoldani :-( Annak ellenére sem, hogy a feladatok végeredményét néhány esetben látom, de nem értem hogy jött ki! Felteszem: könnyű példákról van szó és én vagyok a béna valószínűleg, ezért is ebbe a témába írom. Összesen 2 kérdés-sorozatom van, most az elsőt írom le és ha jön rá válasz, leírom a másodikat is. Ahol megtaláltam a feladat forrást, leírtam, az eredménnyel együtt. Előre is köszi mindenkinek, aki részletes megoldással válaszol! Norbi

 1. \qquad a.) \lim_{n\to\infty}\left[{n\sin{\left(\frac1n\right)}}\right]^n=? \qquad b.) \lim_{x\to\pm\infty}\root{x}\of{\frac{\sin{x}}x}=? \qquad c.)  \lim_{x\to0}\root{x}\of{\frac{\sin{x}}x}=?

2.) Állapítsa meg,hogy az 1,2,3,4,5,6 számoknak hány olyan különböző permutációja van. amelyben pontosan három szám a természetes sorrendben

követi egymást! Scharnitzky Viktor: Matematikai feladatok (a műszaki fősikolák számára) 158.oldal 11.3 feladat és a megoldás: 63.

3.) Határozzuk meg milyen irányúak az y = f(x) függvény primitív függvényeinek az érintői az x0 abszcisszájú pontban, ha

 (3) \quad f(x)=\frac{\sin2x}{\sqrt{{\rm cos}\left(\frac{x}{2}\right)}} \qquad \qquad x_0=\frac{\pi}2

Sain Márton: Matematikai feladatgyűjtemény III. , 1987. 192. oldal 16.70. (3) részfeladat, melynek megoldása: Az érintők vízszintesek.

4.) Határozzuk meg mindazon a,b valós számokat, melyekre a\neq0 és minden valós x esetén:

a . 2x+b = 2ax+b

Fazekas Mihály Gimnázium honlapján találtam itt.

[668] Hajba Károly2011-10-04 21:31:18

Ha a hurok mentén végighaladva nézzük, hogy hányszor fordulunk jobbra ill. balra, akkor az irányválasztástól függően az egyik 4-gyel több lesz, mint a másik. Azaz egy teljes fordulatot ír le (360°). Ha minden második fordulatot megjelöljük, akkor gyakorlatilag szétválasztottuk a vízszintesbe fordulást és a függőlegesbe fordulást. A hurok vonala nem metszi önmagát és teljesen kitölti a pályát.

Nézzük meg, hogy a lehetséges és lehetetlen esetek vonalvezetésénél milyen a vízszintes ágak irányultsága. A lehetségesnél mindkettő bemegy a csomópontba és ellenkező irányba megy ki. Az ellenkezője (egyik be, másik ki) nem lehetséges, mert ekkor a függőleges irányban is így kellene lennie és ha ezt a kettőt összekötöm, akkor az evvel kialakított hurokrészben lenne az egyik vízszintes és ezen kívül a másik vízszintes ág. Így azokat keresztezés nélkül nem lehetne összekötni.

Hasonló megfontoltságokból eredően a másik két esetben a vízszintes ágak egyike be, míg a másika ki mutat.

Azaz a lehetséges esetekben mindkét ág azonos kimenetirányultságú, mindkettő vagy függőlegesbe fordul vagy vízszintesbe A lehetetlen eseteknél a kimenő ágak mindig ellentétesek egymással.

S mivel a lehetséges esetek azonos irányultságúak, ezért vagy mindkettő jelölt vagy mindkettő jelöletlen.

Előzmény: [653] Valezius, 2011-04-12 14:38:15
[667] Kemény Legény2011-09-25 18:39:48

Így már valóban jobbnak tűnik megoldásod. Ha állandóan a precíz feladatkitűzést követeled meg, akkor az a legkevesebb, hogy a megoldásaid is olyanok legyenek, amilyeneket magad is mgkövetelsz másoktól...

Előzmény: [665] Róbert Gida, 2011-09-25 14:00:46
[666] Róbert Gida2011-09-25 14:07:59

További érdekes általánosítások: mi van akkor, ha v valószínűséggel születik sárkányfiú, és 1-v-vel sárkánylány? Vagy, ha egy évben több párzási ciklus van? A sárkánylányok r>0 valószínűséggel elvételnek? s>0 valószínűséggel meteor csapódik be, és kihalnak, mint a dinoszauruszok? u>0 valószínűséggel adott évben a hadjárat elmarad?

Előzmény: [665] Róbert Gida, 2011-09-25 14:00:46
[665] Róbert Gida2011-09-25 14:00:46

Ügyes vagy, leülhetsz. Az azért látható, hogy csak néhány kisebb/nagyobb egyenlőt szúrtam el. Helyesen:

Ebben az esetben p<\frac 13 esetében a kolónia fennmaradhat, míg p\ge \frac 13 esetén biztosan kipusztul. Legyen először p\ge \frac 13, ha legfeljebb \frac n3 sárkányfiú van, akkor első hadjárat során öljék meg őket, ekkor nem marad sárkányfiú, és a kolónia kihal. Így feltehető, hogy több, mint \frac n3 sárkányfiú van, ami azt jelenti, hogy kevesebb, mint \frac {2n}{3} sárkánylány. Ekkor a hadjáratok során csak őket öljék meg: legyen kezdetben t<\frac {2n}{3} sárkánylány a kolóniában, ekkor egy hadjárat után számuk t-pn lesz (vagy nulla, ha ez negatív), míg a szülések után 2(t-pn)<t, így n év alatt kihalnak.

Ellenkező irány: legyen p<\frac 13 és \frac n3 sárkányfiú és \frac {2n}{3} sárkánylány. Egy hadjárat alatt megölnek kevesebb, mint \frac n3 sárkányt, így biztosan megmarad legalább \frac n3 sárkánylány és legalább egy sárkányfiú. A szülésekkel pótolják a meghalt sárkányokat (annyi sárkánylány és fiú szülessen, mint amennyit megöltek), ekkor visszaáll az eredeti állapot, a maradék születések olyanok legyenek, hogy a kolóniában az 1:2 arány fennmaradjon a sárkányfiúk és lányok között (+-1 sárkány, ha n nem osztható 3-mal). Ekkor a kolónia nem hal ki, feltéve, hogy n elég nagy. Ezt csak Kemény Legénynek írom, mert igen, ha mondjuk p=0.3333, akkor bizony megeshet, hogy mondjuk az ezredik hadjárat után szépen kihalnak (ha a kezdeti n kicsi, és a +-1 sárkány éppen annyira megbillenti az 1:2 arányt, hogy nekünk rossz lesz).

Előzmény: [664] Kemény Legény, 2011-09-25 11:36:54
[664] Kemény Legény2011-09-25 11:36:54

Tehát az ellenkező irányra adott megoldásod pl. az n=6, p=\frac13 esetben: van 2 sárkányfiú+ 4 sárkánylány. Ha Artúr megöli mind a 2=n*p sárkányfiút, a lányok nehezen fognak utódokat nemzeni és pótolni a veszteségeket...

Előzmény: [663] Róbert Gida, 2011-09-25 09:40:53
[663] Róbert Gida2011-09-25 09:40:53

Ebben az esetben p\le \frac 13 esetében a kolónia fennmaradhat, míg p>\frac 13 esetén biztosan kipusztul. Legyen először p>\frac 13, ha legfeljebb \frac n3 sárkányfiú van, akkor első hadjárat során öljék meg őket, ekkor nem marad sárkányfiú, és a kolónia kihal. Így feltehető, hogy legalább \frac n3 sárkányfiú van, ami azt jelenti, hogy legfeljebb \frac {2n}{3} sárkánylány. Ekkor a hadjáratok során csak őket öljék meg: egy hadjárat után számuk kevesebb, mint \frac n3 lesz, míg a szülések után kevesebb, mint \frac {2n}3, így \frac {2n}{3} év alatt kihalnak.

Ellenkező irány: legyen p\le \frac 13 és \frac n3 sárkányfiú és \frac {2n}{3} sárkánylány. Egy hadjárat alatt megölnek legfeljebb \frac n3 sárkányt, így biztosan megmarad legalább \frac n3 sárkánylány. A szülésekkel pótolják a meghalt sárkányokat (annyi sárkánylány és fiú szülessen, mint amennyit megöltek), ekkor visszaáll az eredeti állapot, a maradék születések olyanok legyenek, hogy a kolóniában az 1:2 arány fennmaradjon a sárkányfiúk és lányok között (+-1 sárkány, ha n nem osztható 3-mal). Ekkor a kolónia nem hal ki

Előzmény: [662] Csimby, 2011-09-24 19:27:09
[662] Csimby2011-09-24 19:27:09

Ez jó, ha véletlenszerűen ölik a sárkányokat. De most engedjük meg, hogy válogathassanak is (valami külső jel alapján el tudják dönteni egy alvó sárkányról hogy hím vagy nőstény).

Előzmény: [661] Róbert Gida, 2011-09-24 19:14:02
[661] Róbert Gida2011-09-24 19:14:02

Aha, akkor q=2 (azaz p=\frac 12) a megoldás. Hiszen először legyen p\ge \frac 12, vagy nem marad sárkányfiú egy hadjárat után, így nincs születés, és a kolónia kihal egy mértani sor szerint. Ha van sárkányfiú, akkor a hadjárat után legfeljebb \frac n2 sárkány marad, (legalább) egyikük sárkányfiú, így legfeljebb \frac n2 + (\frac n2 -1)=n-1-en lesznek a hadjárat és a szülések után. Így n év alatt kihalnak.

Ha p<\frac 12, akkor adható olyan n, amelyre a kolónia létszáma egy r>1 kvóciensű mértani sorozattal becsülhető alulról, így nem hal ki. (kezdetben egy sárkányfiú legyen a kolóniában, őt egy hadjárat során se öljék meg, és mindig sárkánylány szülessen.)

Előzmény: [660] Csimby, 2011-09-24 17:03:01
[660] Csimby2011-09-24 17:03:01

n-sárkányból legfeljebb \frac{n}{q} felsőegészrésznyit tud megölni. És a legnagyobb olyan q-t keressük amivel végezni tud velük. (Örök élet = végelgyengülésben nem hal meg. De ha levágják a fejét, akkor persze igen.)

Előzmény: [658] Róbert Gida, 2011-09-24 10:56:30
[659] Sirpi2011-09-24 15:50:51

Szerintem próbáld úgy, hogy "legfeljebb p-ed részét..."

Előzmény: [658] Róbert Gida, 2011-09-24 10:56:30
[658] Róbert Gida2011-09-24 10:56:30

"Nyilván olyan p kell ami a "legrosszabb esetben" is működik." Nem nyilvánvaló.

"Példádban, ha örök életűek a sárkányfiúk akkor nem jó a p=0, mert Artúr egyet se öl meg, ők meg nem döglenek meg maguktól" De, akkor p>0 esetben egy örök életű sárkányt hogyan lehet megölni? Mert akkor az a sárkány nem örök életű.

Feladatodnak akkor viszont nincs megoldása: tegyük fel n>1 a kolónia létszáma kezdetben. Ha ennek p-ed részét ölik meg, akkor p=\frac kn (0\lek\len egész), mivel ennek minden n>1-re müködnie kell így csak p=0 és p=1 lehet. De az előbbi nem megoldás szerinted. Míg p=1 sem lehet, mert: "p-ed részét sikerül legyilkolnia mielőtt felébrednek és elkergetik.", de akkor egy sárkány sem marad, így nem kergethette el őket senki.

[657] Csimby2011-09-24 00:02:38

Példádban, ha örök életűek a sárkányfiúk akkor nem jó a p=0, mert Artúr egyet se öl meg, ők meg nem döglenek meg maguktól. Nyilván olyan p kell ami a "legrosszabb esetben" is működik.

Előzmény: [656] Róbert Gida, 2011-09-23 20:26:08
[656] Róbert Gida2011-09-23 20:26:08

Csak én érzem úgy, hogy itt hiányzik egy rakás adat? Ha mondjuk eredetileg sárkánylány nem is volt a kolóniában, akkor p=0 biztos jó.

Előzmény: [655] Csimby, 2011-09-23 18:52:48
[655] Csimby2011-09-23 18:52:48

Artúr király minden télen hadjáratot indít a hegyekben élő sárkányok ellen, akik ilyenkor téli álmunkat alusszák barlangjukban. A barlangban talált jószágok p-ed részét sikerül legyilkolnia mielőtt felébrednek és elkergetik. Párzási időszak után minden sárkánylány kis sárkánynak ad életet (egészen addig amíg a kolóniában van fiú sárkány). A kis sárkányok, hála a mágikus környezetnek, már a következő párzási időszakra nemzőképesek lesznek. Mi a legkisebb p, amilyen hatékonysággal Artúr ki tudja irtani a sárkány kolóniát?

[654] jonas2011-09-06 21:09:49

A következő feladatot sokat ismerhetitek. Nem emlékszem, szerepelt-e már a fórumon.

Lássuk be, hogy a következő sorozat tagjai páronként relatív prímek.

3,5,17,257,65537,4294967297,...,22n+1,...

[653] Valezius2011-04-12 14:38:15

Egy 2nx2n méretű négyzetrácsos ábrába hurkot rajzolunk olyan módon, hogy a hurok minden négyzeten átmegy, és mindig oldalasan szomszédos mezők középpontjait köti össze. (Egyszerűbben mondva csak vízszintesen és függőlegesen mehetünk)

Az egyik helyre, ahol a hurok irányt vált (például az egyik sarokba) rajzolunk egy kört, majd a hurkon végighaladva minden második töréspontra (és csak azokra) újabb kört rajzolunk.

1. Lássuk be, hogy a 4 sarok közül pontosan két szemben lévőben lesz kör.

2. Ha két kör egymás mellett van, akkor a képen látható négy lehetőség közül csak az első kettő valósulhat meg.

Mindkét bizonyítást elég egyszerűnek gondolom, úgyhogy remélem jó helyen van az ujjgyakorlatok között.

A könnyebb érthetőség kedvéért itt van néhány logikai feladvány, ahol minden kör meg van adva, és a feladat a hurok megrajzolása. www.logikairejtveny.5mp.eu

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley