KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - "ujjgyakorlatok"

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[845] aaaa2013-08-18 08:49:25

3671, mert jól ismert: n>4-re n<2(n-2), 4-re 2.2=4, és 2.2.2<3.3, k=k-ból indulva ez alapján cserélve az összegben a tagokat a szorzat nő, végül pedig max 2 db 2-es lehet, a többi 3-as.

Előzmény: [844] w, 2013-08-17 18:12:06
[844] w2013-08-17 18:12:06

Néhány pozitív egész összege 2013, legfeljebb mennyi a szorzatuk?

Előzmény: [843] R.R King, 2013-08-17 08:07:45
[843] R.R King2013-08-17 08:07:45

Szép feladat. Igaz, hogy kicsit körülményesebben, de pl. végtelen leszállással is kijön.

[842] w2013-08-16 13:52:22

Kicsit szebben is lehet: xy|x2-y2. lnko(x,y)=d, x=da,y=db, (x,y)=1 \implies d2ab|d2(a2-b2) \implies a|b2,b|a2 \implies |a|=|b|=1,|x|=|y| \implies x2-y2=0=2|xy|z=2x2z \implies x=y=0 vagy z=0 és ezek megoldások is.

Előzmény: [841] aaaa, 2013-08-16 12:45:10
[841] aaaa2013-08-16 12:45:10

x=0 ekvivalens y=0-val, ekkor z tetszőleges. Egyébként u=\frac{x}{y}-ra megoldva kapjuk, hogy u=z\pm\sqrt{1+z^2}, innét z=0, és |x|=|y| kell. Szóval a megoldások (0,0,n), (\pmn,\pmn,0) és n tetszőleges egész.

Előzmény: [840] w, 2013-08-14 10:40:49
[840] w2013-08-14 10:40:49

Itt egy diofantszi egyenlet:

x2-y2=2xyz.

[839] w2013-05-23 19:25:07

Igen. Valóban ennyi, a feladat csak arról szól, hogy értsük meg :)

Írnék még három gyakorlatot.

1. Legyen n zsák pénzünk, mindegyik zsákban 1000 érmével. Tudjuk, hogy vannak hamis érmék, amik a) 1g-mal könnyebbek, b) 1g-mal eltérő tömegűek a jó érméktől. Egy zsákon belül ugyanolyan nehéz érmék vannak. Mennyi lehet az n, ha egykarú mérleggel két mérés elegendő az egyes zsákokban lévő érmék tömegének meghatározására?

2. Kétkarú mérleggel mérnénk meg egy m gramm tömegű tárgyat. Rendelkezésünkre áll 6 db 1 grammos, 6 db 7 g-os, 3 db 50 g-os, 3 db 350 g-os súly. Tudjuk, hogy m\inZ>0 és m\le1200. Meg bírjuk-e mérni a tárgyat (pontosan)?

Előzmény: [838] Micimackó, 2013-05-23 09:44:09
[838] Micimackó2013-05-23 09:44:09

Nincs, indirekt: Legyen a a első számjegye, t a számrendszer, n a jegyei száma, x a szám, y a jegyei szorzata. Ekkor:

x\gea*tn-1>a*(t-1)n-1\gey

Hiszen minden jegy maximum (t-1)

Előzmény: [836] w, 2013-05-20 18:10:34
[837] w2013-05-20 18:40:50

Ez a link a bizonyítást is tartalmazza.

Előzmény: [835] w, 2013-05-20 18:07:42
[836] w2013-05-20 18:10:34

Leírnék egy saját feladatot. Nagyon aranyos, Kömalban egyik pontversenybe sem illene.

Létezik-e olyan számrendszer, amelyben van olyan többjegyű szám, amely egyenlő számjegyeinek szorzatával?

[835] w2013-05-20 18:07:42

Az Euler-féle formula szerint - ami koordinátákkal igazolható - a két középpont távolságának négyzetéhez a beírt kör sugarának négyzetét hozzáadva, a kapott szám négyzetgyöke éppen a két kör sugarának különbsége, ami az érintést igazolja.

Előzmény: [834] Sinobi, 2013-05-06 23:50:51
[834] Sinobi2013-05-06 23:50:51

Egy háromszögben a k beírt kört eltolom a beírt-körülírt körök centrálisára merőleges sugárnyi hosszú vektorral, hogy a középpontja a beírt körön legyen (lásd ábra). Bizonyítsd be, hogy az így kapott kör érinti a körülírt kört.

[833] w2013-05-02 15:29:43

Ha valamely két szám egyenlő, akkor a kezdeti kifejezés nem értelmezhető. :-)

Nekem a nadorp-féle hozzáállás nagyon tetszik, a kifejezésről ordít az interpolációs képlet, csak felfedezni nem véltem ilyet. Amúgy az interpolációs feladatot valahol ki is tűztem a fórumon, csak válasz nem érkezett.

Előzmény: [830] Lóczi Lajos, 2013-05-02 14:53:56
[832] jonas2013-05-02 15:11:28

Aha, értem. Szóval te most Fálesz Mihály megoldásához hasonlót szeretnél kapni.

Előzmény: [829] nadorp, 2013-05-02 14:52:23
[831] nadorp2013-05-02 14:56:36

Így kevesebbet kellett írni. :-)

Előzmény: [830] Lóczi Lajos, 2013-05-02 14:53:56
[830] Lóczi Lajos2013-05-02 14:53:56

>>> Tekintsük a következő p(x) polinomot. ( a\neqb\neqc )

És mi van, ha a=c ? :)

Előzmény: [826] nadorp, 2013-05-02 13:44:57
[829] nadorp2013-05-02 14:52:23

a,b és c adott valós számok. A nevezőben nincs "x". p miért nem polinom?

Előzmény: [827] jonas, 2013-05-02 14:36:48
[828] Lóczi Lajos2013-05-02 14:51:41

Mert nincs x a nevezőben.

Előzmény: [827] jonas, 2013-05-02 14:36:48
[827] jonas2013-05-02 14:36:48

De honnan tudod, hogy p polinom (vagyis nincs nevezője)?

Előzmény: [826] nadorp, 2013-05-02 13:44:57
[826] nadorp2013-05-02 13:44:57

Remélem, ez már jó megoldás lesz.

Tekintsük a következő p(x)polinomot. ( a\neqb\neqc)

p(x)=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}

Látszik, hogy a p(x)=x egyenletnek az a,b és c különböző gyökei. Mivel egy másodfokú egyenletnek csak két különböző gyöke lehet, ez csak úgy lehet, ha a p(x)=x egyenlet azonosság, tehát minden x-re

x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}

-x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(c-a)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(b-c)}

Behelyettesítve az x=a+b+c értéket

-(a+b+c)=a\frac{(a+c)(a+b)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(b+c)(a+b)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(b+c)(a+c)}{(c-a)(c-b)}

Előzmény: [825] nadorp, 2013-05-02 13:29:00
[825] nadorp2013-05-02 13:29:00

Bocs, az előző megoldás hibás, még finomításra szorul

Előzmény: [824] nadorp, 2013-05-02 13:24:21
[824] nadorp2013-05-02 13:24:21

Tekintsük a p(x)=x polinomot. Ekkor p(a)=a, p(b)=b és p(c)=c. Írjuk fel a Lagrange interpolációs képletet. Kapjuk, hogy minden x-re

x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}

-x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(c-a)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(b-c)}

Behelyettesítve az x=a+b+c értéket

-(a+b+c)=a\frac{(a+c)(a+b)}{(a-b)(c-a)}+b\frac{(b+c)(a+b)}{(a-b)(b-c)}+c\frac{(b+c)(a+c)}{(c-a)(b-c)}

Előzmény: [807] w, 2013-04-29 16:36:16
[823] Fálesz Mihály2013-04-30 23:50:11

Ennek mintájára, hozzuk egyszerűbb alakra ezt a kifejezést:


f(x_1,\dots,x_n) =
\sum_{i=1}^n \left(x_i \cdot \prod_{j\ne i}\bigg(1+\frac1{x_i-x_j}\bigg)\right)

Ja, és ha lehet, fejben.

Előzmény: [820] Fálesz Mihály, 2013-04-30 23:02:25
[822] Fálesz Mihály2013-04-30 23:45:09

Köszi, már kezdtem aggódni, hogy esetleg hibás. :-)

Előzmény: [821] jonas, 2013-04-30 23:31:34
[821] jonas2013-04-30 23:31:34

Ja értem! Azt mondod, hogy a közös nevezőre hozás után g alternáló, vagyis g(a,c,b)=-g(a,b,c), ezért (b-c) osztóha g-nek. Hasonlóan (a-b) és (c-a) is osztója. Így aztán h osztója g-nek.

Most g/h a fokszámok miatt elsőfokú polinom. Mivel viszont g(b,c,a)=g(a,b,c) és h(b,c,a)=h(a,b,c), ezért az elsőfokú hányados csak a+b+c skalárszorosa lehet.

Ügyes megoldás.

Előzmény: [820] Fálesz Mihály, 2013-04-30 23:02:25

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]    [36. oldal]    [37. oldal]    [38. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley