KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraeder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - Nehezebb matematikai problémák

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[585] gortvalui2007-12-09 16:11:17

Ezekben tudtok segíteni?

1. Krisztián 17g vízhez 3g sót kever! Hány százallékos sóoldatot kapott?

[584] nadorp2007-12-09 11:43:47

Süllyedt!!. Még egyszer bocsi, nem kötözködni akartam.

Előzmény: [583] Sirpi, 2007-12-09 09:19:07
[583] Sirpi2007-12-09 09:19:07

Az 5/36 onnan jön, hogy összesen 2 kedvező eset van, viszont nem ugyanakkora a valószínűségük!

1234 -> 2314 és 1234 -> 3124 (itt egyszerűen az szerepel, hogy ki kit húz)

Az első eset valószínűsége: 1/3.1/3.1/2=2/36 (az egyes számok azt jelzik, hogy az 1-es, 2-es és 3-as milyen valószínűséggel húzza rendre a 2, 3, 1 cetliket)

A másodiké: 1/3.1/2.1/2=3/36. A különbséget az okozza, hogy ebben a 2. esetben miután az 1-es kihúzta a 3-ast, a kettes (mivel saját magát nem húzhatja), ezért csak 1 és 4 közül választhat, ezért különbözik a 2. szorzótényező. Remélem így már világos.

Előzmény: [581] nadorp, 2007-12-08 22:57:11
[582] nadorp2007-12-09 00:04:08

Amúgy az jött ki - az én értelmezésemben - hogy c_n=\frac{a_n}{a_n+na_{n+1}}. Mivel \lim a_n=\frac1e\neq0 ezért \lim c_n=0

Előzmény: [581] nadorp, 2007-12-08 22:57:11
[581] nadorp2007-12-08 22:57:11

Valószínű tényleg nem értem a példát :-( vagy nem látom a fától az erdőt.

Az 5/36 hogy jött ki, hiszen a 4 elemű permutációk száma csak 24, és 36>24. Ráadásul a kedvező esetek száma 2 (1->2->3->1) és (1->3->2->1), akkor miért van a számlábóban 5 ?

Előzmény: [577] Sirpi, 2007-12-07 14:50:30
[580] Róbert Gida2007-12-08 12:53:56

T halmaz elemeinek reciprokösszege természetesen véges marad, legfeljebb S reciprokösszegének a kétszerese.

Előzmény: [579] Róbert Gida, 2007-12-08 12:52:16
[579] Róbert Gida2007-12-08 12:52:16

A 3. feltételt elhagyhatod, pontosan akkor van ilyen pozitív egész számokból álló S halmazod, ha csak az 1,2,4 feltételek teljesülnek, többet nem tudok most mondani.

Legyen ugyanis T=S\cup2S\cup3S\cup6S, de a többszörös elemeket csak egyszer veszem bele. Legyen \frac ab-nek egy előállítása:

\frac ab=\sum_{i=1}^{n} \frac {1}{q_{i}}

, ahol q1<q2<...<qn, ekkor

\frac ab=\Big(\sum_{i=1}^{n-1} \frac {1}{q_{i}}\Big)+\frac {1}{2q_{n}}+\frac{1}{3q_{n}}+\frac {1}{6q_{n}}

, ami az előzőtől különböző felbontás, így, ha S-ben legalább egy előállítás volt, akkor T-ben már legalább két különböző előállítás van.

Előzmény: [578] SÁkos, 2007-12-08 11:30:45
[578] SÁkos2007-12-08 11:30:45

Van-e olyan valós számokat tartalmazó halmaz, amelynek elemeire a következő kitételek teljesülnek:

1) a halmaz elemei pozitív egész számok reciprokai

2) bármely ]0;1[ intervallumba eső racionális szám előáll a halmaz elemei közül véges soknak az összegeként úgy, hogy bármely elem legfeljebb egyszer szerepel ebben a felbontásban

3) bármely racionális számhoz végtelen sok különböző felbontás található (két felbontást különbözőnek tekintünk, ha van legalább 1 eltérő tag a felbontásban) például \frac 12 esetén az \frac 13+\frac 16 és \frac 13+\frac 1{12}+\frac1{18} felbontásokat különbözőnek tekintjük.

4) a halmaz elemeinek összege véges

[577] Sirpi2007-12-07 14:50:30

Először a második kérdésedre válaszolnék:

Nem, an tényleg annak az esélyét jelöli, hogy az utolsó önmagát húzza. A rekurzió ugyanaz (lásd alább), de a kezdőérték nem: a0=0, a1=1, míg ha azt akarjuk kiszámolni, hogy az utolsó nem önmagát húzza, akkor a két értéket éppen fel kell cserélnünk.

A rekurzió: tegyük fel, hogy n-es indexig már kiszámoltuk az a sorozatot, és meg szeretnénk tudni an+1-et.

Az első húz, igazából teljesen szimmetrikus, hogy kit, tegyük fel ezért, hogy a 2-est. Most a 2-es vagy az 1-est húzza, vagy a 3...n+1 halmazból húz. Az első eset valószínűsége 1/n, és ilyenkor az a maradék n-1 gyerek tiszta lappal indul, annak valószínűsége, hogy az utolsó önmagát húzza, an-1. Ha a második eset következik be (valsége (n-1)/n), akkor vonjuk össze az 1-es és 2-es gyerekeket egy gyerekké. Így n gyerek marad, és kapjuk az (n-1)/n.an tagot.

* * *

És hogy mi a különbség a két feladat között? Elég sok, mert amit most feladtam, azt nem tudom megoldani :-)

Itt az a feladat, hogy ülésrend szerint sorban húznak, először az 1-es, aztán a 2-es, majd a 3-as, függetlenül attól, hogy ki kit húzott, és a kérdés a sorban n.-ről szól (jelöljük itt a valószínűséget cn-nel). Az előző feladatban a látott rekurzió alapján a0=0, a1=1, a2=0, a3=1/2, a4=1/3. Viszont az új feladatnál 3 gyerekre már nem 1/2 jön ki:

Az 1-es vagy a 2-est, vagy a 3-ast húzza. Utóbbi esetben a 3-as már nem fogja saját magát húzni, tehát csak az első eset az érdekes. Most a 2. húzhatja az 1-est, vagy a 3-ast, de megint csak az első eset az, amikor a 3-as végül saját magát húzza, így ilyenkor a valószínűség c3=1/2.1/2=1/4. Hasonlóan végig lehet gondolni, hogy c4=5/36\neqa4.

Előzmény: [576] nadorp, 2007-12-07 12:37:05
[576] nadorp2007-12-07 12:37:05

Bocsi, de lassulok. Mi a különbség az eredeti feladathoz képest ?

Másik kérdésem az lenne, hogy \frac1e nem annak a valószínűsége, hogy az utolsó NEM magát húzza ?

Előzmény: [575] Sirpi, 2007-12-06 14:10:32
[575] Sirpi2007-12-06 14:10:32

Tökéletes, pont így csináltam én is :-)

Viszont valaki felvetette, hogy mi van, ha a körbeülés szerinti sorrendben húznak, függetlenül attól, hogy ki kit húzott ki (ilyenkor persze titokban is marad, hogy végül ki kinek ad ajándékot). Mit mondhatunk ilyenkor annak valószínűségéről, hogy az utolsó magát húzza? Annyit látok csak, hogy tart 0-hoz, de ezt leszámítva semmi értelmeset nem tudtam eddig mondani.

Előzmény: [572] Cckek, 2007-12-06 13:14:49
[574] Cckek2007-12-06 13:37:01

A valoszínűség pedig a levezetett összeg:D

Előzmény: [573] Cckek, 2007-12-06 13:17:26
[573] Cckek2007-12-06 13:17:26

A kérdés a fixpont nélküli permutaciok számához kapcsolodik.

Előzmény: [571] Sirpi, 2007-12-06 12:58:06
[572] Cckek2007-12-06 13:14:49

Jelölje an-an-1=xn,\impliesx1=1, ekkor \frac{x_{n+1}}{x_n}=-\frac{1}{n} és tagonként összeszorozva kapjuk:

\frac{x_{n+1}}{x_1}=\frac{(-1)^{n}}{n!} Tehat a_n-a_{n-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} Tagonként összegezve kapjuk:

a_n-a_0=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k!} azaz a_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k!} ami nyílván tart \frac{1}{e}-be.

Előzmény: [567] Sirpi, 2007-12-06 11:40:44
[571] Sirpi2007-12-06 12:58:06

Na, akkor ott tartasz, ahol én egy órája :-) Tényleg ennyi a megoldás.

A feladat pedig, ami erre a rekurzióra vezet, a következő (elég aktuális is):

Van egy osztály, karácsonyi ajándékozásra készülvén körbeülnek, középen pedig ott egy kalap a neveikkel. Az első húz egyet, és ha nem magát húzta, akkor leül a helyére, és akit húzott, az jön következőnek. Ha valaki magát húzta, akkor újat húz (addig nem teszik vissza a cetlijét). Ha körbeér a dolog, akkor a legkisebb sorszámú, aki még nem húzott, megy oda következőnek a kalaphoz. Az utolsó embernél viszont probléma adódhat, lehet, hogy már csak a saját neve szerepel a kalapban, ilyenkor ugye nem tud újat húzni helyette, rossz a sorsolás. Az a kérdés, hogy mekkora ennek a valószínűsége.

Előzmény: [570] rizsesz, 2007-12-06 12:10:33
[570] rizsesz2007-12-06 12:10:33

A miértje jó kérdés, de 1/e.

Biztos valami okos sorbafejtés. :)

[569] Sirpi2007-12-06 11:57:53

90. 0,301 91. 0,312 92. 0,301 93. 0,312 94. 0,302 95. 0,312 96. 0,302 97. 0,312 98. 0,302 99. 0,312 100. 0,302

Tehát szerinted a90=0,301, a91=0,312. Ekkor a92=90/91.0,312+1/91.0,301=0,31188

Szóval itt valamit elszámoltál (már a 90. tag se jó).

Előzmény: [568] rizsesz, 2007-12-06 11:53:37
[568] rizsesz2007-12-06 11:53:37

Nekem az Excel ezt mondta:

90. 0,301 91. 0,312 92. 0,301 93. 0,312 94. 0,302 95. 0,312 96. 0,302 97. 0,312 98. 0,302 99. 0,312 100. 0,302

Szerintem a szomszédos elemek közötti különbség nem tart 0-hoz :(

Előzmény: [567] Sirpi, 2007-12-06 11:40:44
[567] Sirpi2007-12-06 11:40:44

Nem tudom, volt-e már, de nekem egy feladat kapcsán a következő sorozat jött ki: a0=0, a1=1, majd a további indexekre:

a_{n+1}=\frac{n-1}{n} \cdot a_n + \frac 1n \cdot a_{n-1}

Ugye minden érték az előző kettő súlyozott számtani közepe, így a sorozat szűkülő intervallumokban oszcillál.

A feladat annak bizonyítása lenne, hogy ezeknek az [an,an+1] intervallumoknak 0-hoz tart a hossza, így a sorozatnak van határértéke, valamint mondjuk is meg, hogy mennyi.

Ha sikerült megoldanunk (nekem már igen :-) ), akkor elmondom majd azt is, hogy mi volt a feladat :-)

[566] Cckek2007-07-31 11:01:18

Észrevesszük, hogy x=0,y=z=1 illetve x=y=z=2 megoldások, és bebizonyítjuk, hogy nincs más megoldás. Ehez csak azt használjuk fel, hogy a jobboldal 5 többszöröse illetve Sophie Germaine híres képletét az-az a4+4b4=(a2-2ab+2b2)(a2+2ab+2b2). 3 hatványainak az utolsó számjegye 3,9,7,1 ha a hatványkitevő 4k+1,4k+2,4k+3,4k alakú, 4 hatványainak az utolsó számjegye 4,6 ha a hatványkitevő 2p+1,2p alakú. Tehát a baloldal csak akkor 5 többszöröse ha x=4k,y=2p+1 illetve x=4k+2,y=2p. Természetesen k,p>0

I. x=4k,y=2p+1\implies3x+4y=(3k)4+4(2p)4=(32k-3k2p+1+22p+1)(32k+3k2p+1+22p+1) s mivel jobboldalt 5 hatványa van ezért mindkét tényező osztható kell legyen 5-el de ekkor az különbségük is osztható 5-el, az az 3k2p+2 osztható 5-el ami lehetetlen.

II. x=4k+2,y=2p\implies3x+4y=9.(3k)4+(2p)4=5.(3k)4+(2p)4+4.(3k)4 tehát (2p)4+4.(3k)4=(22p-2p+13k+32k)(22p+2p+13k+32k) osztható kell legyen 5-el az az mindkét tényező oszthato 5-el tehát különbségük 2p+23k osztható 5-el ami lehetetlen.

Előzmény: [562] kdano, 2007-07-12 18:39:21
[565] Lajos Arpad2007-07-21 10:45:42

Ez nem olyan nehéz, de rá kell érezni a megoldásra. Melyik játék bonyolultabb, a sakk vagy a go? Miért?

[564] Fálesz Mihály2007-07-13 10:59:19

A feladatnak sok általánosítása létezik, íme egy, ami nem annyira közismert. (A KöMaL-ban is szerepelt már.)

Tekintsük az összes olyan 3n hosszúságú szót (betűsorozatot), ami n darab A-, n darab B- és n darab C-betűből áll. Ezeknek hányadrészére igaz, hogy tetszőleges 1\leh\le3n-re az első h betű között legalább annyi A-betű van, mint B-betű, és legalább annyi B-betű, mint C-betű?

A választ is elárulhatom, nem igazán segít a megoldásban: \frac2{(n+1)^2(n+2)}.

A megoldás nehéz, de több pontján is nagyon bájos.

[563] kdano2007-07-12 21:02:55

Természetesen \frac{2q}{p+q}\binom{p+q}p-ra gondoltam :D

Előzmény: [562] kdano, 2007-07-12 18:39:21
[562] kdano2007-07-12 18:39:21

Hát igen, én adottnak vettem a végeredményt. Amúgy szigorú vezetés mellett (ha a 0-0 állást megengedjük :P) nekem 2\binom{p+q-1}p=\frac{2p}{p+q}\binom{p+q}p jött ki rossz esetre, azaz ugyanaz, mint neked :P Ezzel a valószínűség \frac{p-q}{p+q}.

Akkor itt egy következő feladat:

Keressük meg a 3x+4y=5z egyenlet összes pozitív egész számokból álló megoldását! (IMO Shortlist, 1991)

Előzmény: [561] nadorp, 2007-07-12 08:36:58
[561] nadorp2007-07-12 08:36:58

Nálam a "vezetés" azt jelentette, hogy egyenlő állás nem megengedett, de ez most részletkérdés. Az összes eset az érdekesebb: én úgy értelmeztem a feladatot, hogy adott egy szavazás és a végeredménye n szavazat. Ekkor az n darab szavazat bármi lehet, mert a feladat szerint a szavazatok minden sorrendje azonos valószínűségű. Tehát én arra válaszoltam, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy P végig vezetett és p darab szavazatot kapott. Te pedig arra válaszoltál, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy P végig vezetett, feltéve, hogy végül p darab szavazatot kapott.

Amúgy valószínű, hogy a Te értelmezésed a jó.

Előzmény: [560] kdano, 2007-07-11 20:31:33

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley