|
[1230] sakkmath | 2009-05-20 14:37:23 |
Az alábbiakban közlöm egy saját feladatomat. Nemrég rájöttem, hogy sajnos elődös: egy régi, közismert versenyfeladat következményének - vagy átfogalmazásának - is tekinthető.
152. feladat:
Egy adott ponton áthalad három, egymást páronként metsző kör. Mindegyik körön felveszünk egy-egy – a körök metszéspontjaitól különböző – pontot, melyek azonos körüljárási irányban befutják a körüket úgy, hogy egyszerre indulnak és azonos, állandó szögsebességgel haladnak.
1) Bizonyítsuk be, hogy e három pont felvehető úgy, hogy az általuk meghatározott háromszögek a teljes mozgás alatt hasonlóak legyenek egymáshoz.
2) Az így kapott háromszögek közül melyiknek a legnagyobb a területe?
|
|
[1229] Editkesss | 2009-05-17 15:10:56 |
De igen. A geometria nem az erősségem. (Ezeket a feladatokat már megoldottam . Abban viszont nem vagyok biztos, hogy jó is.) Ezért kértem segítséget!
|
|
|
[1227] Editkesss | 2009-05-17 09:10:21 |
Köszönöm szépen a segítséget! :) De lenne még egy-két feladatom! Az első: Tetszőleges e egyenes esetén jelölje: "Te" az e-re való tükrözést. Mutassuk meg, hogy ha "a" és "b" párhuzamos egyenesek, továbbá TaTbTcTaTbTc= identitás, akkor "c" is párhuzamos a-val és b-vel.
Második: Mutassuk meg, hogy ha az A1A2A3A4 és B1B2B3B4 négyszögek paralelogrammák, az AiBi szakasz Ai-hez legközelebbi negyedelőpontja Ni (i=1,2,3,4), akkor az N1N2N3N4 négyszög is (esetleg elfajuló) paralelogramma.
Előre is köszönöm!:)
|
|
[1226] Euler | 2009-05-16 22:21:09 |
A feladatot megpróbálom általánositva megoldani, vegyünk két nem egybeeső pontot, ekkor keressük azt a pontot a sikon, amelytől vett távolságaik négyzetösszege minimális, könnyen ellenőrizhető, hogy pont a két pontot összekötő szakasz felezőpontja lesz, pl. koordinátageometriával könnyen kijön,legyen A(a1;a2), B(b1;b2), a keresett pont: P(x;y), innen már csak egy másodfokú kifejezésnek kell vizsgálni a szélsőértkét, adódik az eredmény.Ez máshogy is kijöhet, bár itt nem biztos, hpogy "érdemes" igy gondolkodni, de ha mégis igy tesszük, akkor könnyen általánositható a probléma. Tudjuk ugyanis azt, hogy bármely háromszögben a szokásos jelölésekkel: 4sc2=2a2+2b2-c2(ez elég ismert összefüggésnek tekinthető,remélem.),a PAB háromszögre ezt felirva, kapjuk, hogy akkor lesz minimális a négyzetösszeg, ha a felezőponttól vett távolság minimális, máris adódik az eredmény. Kicsit továbblépve, vegyünk egy háromszöget(az egyszerűség kedvéért nem elfajulót), legyenek a csúcsai:A(a1;a2), B(b1;b2), C(c1;c2). keressük azt a pontot a sik egy adott egyenesén , amelytől vett távolságnégyzetösszeg minimális. Itt is hasonlóan eljárva, ráhúzodik a súlypontra az, ami előbb a felezőpontra húzodott rá,emiatt pedig az egyenesen lévő merőleges vetülete lesz a megfelelő pont.(Remélem érthető).Eljutottunk a Te problémádhoz, innen már "könnyű" elbánni vele, hiszen tekintsük az EBA és ECD háromszögeket, adódik, hogy akkor lesz mionimális a négyzetösszeg, ha az E-nek a CD és AB oldalak feletzőpontjától vett négyzetösszeg minimális, ez pedig használva az előzőeket, pontosan akkor lesz, ha a két felezőpont felezőpontjától vett távolság minimális, ez a pont pedig éppen a tetraéder súlypontja, ezt pl. vektorokkal lehet igazolni nagyon könnyen, igy itt a súlypontot kell merőlegesen vetiteni a sikra, ez lesz a keresett pont. Nyilván ha emeljük a dimenziószámot, hasonlóan adódik a feladat megoldása, csak maximum nem tudjuk elképzelni, hogy miről is szól a feladat. :-) remélem, tudtam segiteni a probléma megértésében.
|
Előzmény: [1225] Editkesss, 2009-05-16 18:57:42 |
|
[1225] Editkesss | 2009-05-16 18:57:42 |
Hello, nekem egy olyan feladatom lenne, hogy adva van egy S sík és egy abcd tetraéder. veszünk egy E pontot . kérdés: Az S sík mely E pontjára lesz ez AE*2+BE*2+CE*2+DE*2 a kifejezés értéke a legkisebb? *2 a négyzetet jelöli!
|
|
|
[1223] Vonka Vilmos Úr | 2009-05-15 15:46:44 |
Akkor tényleg csak néhány ötlet:
1. és 2. Az adott ponton keresztül, amelynek a képét keressük, tekintsünk egy tetszőleges segédegyenest, és próbáld először ennek a képét megszerkeszteni.
3. A megfelelő egyenespár segítségével először határozzuk meg a kollineáció tengelyét, majd használjuk ki azt a tényt, hogy a centrum és az eltűnési egyenes távolsága megegyezik a tengely és az ideális egyenes képének távolságával.
4. A megfelelő egyenespár és egy pont ismeretében ismét először keressük meg a tengelyt. Majd válasszunk egy tetszőleges segédpontot azon az egyenesen, amelyiknek adott a képe; és próbáld a választott pont képét megszerkeszteni.
5. Az ABCD négyszög képe akkor lesz paralelogramma, ha a szemköztes oldalegyenesek metszéspontjaihoz a kollineáció ideális pontot rendel. Ez alapján határozd meg először az eltűnési egyenest. A tengely meghatározásához pedig tekintsünk ismét egy segédegyenest azon a ponton keresztül, amelynek a képe adott, és szerkesszük meg először a segédegyenes képét.
Remélem, innentől már menni fog!
|
Előzmény: [1218] kandi, 2009-05-13 07:55:44 |
|
[1222] kandi | 2009-05-15 10:42:38 |
Köszönöm a linket, bár nem igazán értem az anyagot:( Amúgy centrális kollineációval oldhatók meg elvileg a feladatok és mi a projektív geometriával foglalkozunk. Ha mégis lenne még egy kis segítség mert én már kifuladtam a sz ötletekből?!
|
|
[1221] jonas | 2009-05-14 21:55:55 |
Én inkább ábrázoló geometriára tippelnék, bár szerencsére nekem nem kellett ilyesmit tanulnom, úgyhogy nem vagyok biztos, hogy valóban erről van szó.
|
Előzmény: [1219] HoA, 2009-05-14 15:22:08 |
|
[1220] HoA | 2009-05-14 16:14:44 |
Gratulálok! Igen, erre a megoldástípusra gondoltam! A D ponthoz tartozó bizonyításra egy másik változat: A definíció szerint D a P9P18 és P6P17 átlók metszéspontja, és azt kell igazolni, hogy P4P16-on is rajta van. DBO=20o ,mint a P6P8 ívhez tartozó kerületi szög. BOD=20o ,mint a P17P18 ívhez tartozó középponti szög, OBD egyenlőszárú. P14OP17=60o ( 3 ívegység középponti szöge ) , P14OP17 szabályos. Így BDOP14 deltoid, P17P14D=30o . Így D rajta van a P14P17-tel 30o-ot bezáró P2P14 átlón és ennek P9P18 -ra vett tükörképén, P4P16-on is.
|
|
Előzmény: [1216] sakkmath, 2009-05-12 15:24:47 |
|
[1219] HoA | 2009-05-14 15:22:08 |
Szia Kandi! Ez itt a KöMaL Geometria fóruma. Feladataid úgy látom, nem egészen a középiskolai geometria témájába tartoznak, ami még önmagában nem baj. Csak az nem világos, miről is van szó. A használt fogalmak alapján úgy gondolom, valamilyen projektív geometriai kurzusra jársz. A feladatok esetleg mind centrális kollineáció témába esnek? Ha nem ismered, talán segít ez a jegyzet:
http://www.jgytf.u-szeged.hu/~krisztin/projektiv.doc
|
Előzmény: [1218] kandi, 2009-05-13 07:55:44 |
|
[1218] kandi | 2009-05-13 07:55:44 |
Szia Mindenki! Én még itt új vagyok, úgyhogy nem nagyon tudom, hogy hogyan működik, de nagy segítségre lenne szükségem. Van 5 db szerkesztési példám. Ami elvileg nagyon könnyű, de én nem tudtam megcsinálni, ha valaki segítene megköszönném. Leírom a feladatokat: 1., adott : tengely, centrum, eltűnési egyenes.Szerk. meg tetszőleges pont képét! 2., adott : tengely, centrum, ideális egyenes képe.Szerk. meg tetszőleges pont képét! 3., adott : az eltűnési egyenes, az ideális egyenes képe, és egy egymásnak megfelelő egyenespár.Szerk. meg a centrumot és a tengelyt! 4., adott : egy megfelelő pontpár, egy megfelelő egyenespár és a tengely egy pontja. Szerk. meg a centrumot és a tengelyt! 5., adott : a centrum és egy megfelelő pontpár. Határozzuk meg a tengelyt úgy, hogy egy előre adott ABCD négyszög képe paralelogramma legyen! Előre is köszönöm:)
|
|
[1217] MTM | 2009-05-12 18:06:51 |
151.feladat:
ABC háromszög körülírt körét, AB és AC oldalt rendre D, E, G-ben érinti egy kör. Bizonyítsuk be, hogy BDC szög felezője felezi EG szakaszt.
|
|
|
|
|
[1213] sakkmath | 2009-05-12 15:20:18 |
A HoA [1208]-as hozzászólásában kitűzött 150. feladat két feladatnak tekinthető. Elnézést, de sajnos csak négy részletben tudom feltenni a megoldást: a képek 50 KB-os határával a megfelelő képminőség ugyanis nem összeegyeztethető.
A megoldás 1. része:
|
|
Előzmény: [1208] HoA, 2009-04-29 15:00:17 |
|
|
[1211] BohnerGéza | 2009-05-11 23:22:32 |
Segítség a 150. feladat egy lehetséges megoldásához: Az E és D pontot máshogy definiálva lássuk be addíciós tételek következménye segítségével, hogy megfelelnek az eredeti definíciónak.
Egyelőre megpróbálok más jellegű (számomra szebb) megoldást is kitalálni.
|
Előzmény: [1208] HoA, 2009-04-29 15:00:17 |
|
[1210] HoA | 2009-05-07 22:43:48 |
Mit néztél el? Szerintem a feladat jó. Nyilván sokunknak beugrik a hetedik, azonos sugarú kört és egymást érintő hat kör, és ezek befoglaló köre. De azt nem sikerült bizonyítanom, hogy a hetedik kör elhagyásával nem adható jobb megoldás - kisebb befoglaló kör.
|
Előzmény: [1209] BohnerGéza, 2009-05-07 00:35:55 |
|
|
|
[1207] BohnerGéza | 2009-04-17 13:56:24 |
A 149. feladathoz: 2. rész.
Az előző [1206] hozzászólás folytatása.
A megoldásban nem törekedtem a teljességre, a legegyszerűbb megfogalmazásra, inkább a gondolatmenet bemutatására.
Jó lenne, ha valaki szebben megfogalmazott, vagy más jellegű megoldást is adna!
Vegyük észre a kapcsolatot az itt és HoA[1204] hozzászólásában látottak közt!
|
|
Előzmény: [1206] BohnerGéza, 2009-04-17 13:43:59 |
|