|
[1611] w | 2012-12-10 16:46:48 |
Köszönöm szépen, a megoldásotok nagyon szép, és igen sok feladatra felhasználható.
A feladatot eredetileg nyolcadik osztályosoknak tűzték ki, talán 2007-ben (?), ezért nyilván van olyan megoldás, ami tömény, elegáns háromszöggeometria.
|
Előzmény: [1610] HoA, 2012-12-10 11:26:43 |
|
[1610] HoA | 2012-12-10 11:26:43 |
A [1609] –beli megközelítés egy konkrét megvalósítása, a szükséges nem triviális közös metszéspont bizonyításával: Válasszuk meg az A, B, C csúcsokat az ábra szerint, így ABC a feladatban szereplő háromszög. Mivel egy sokszög oldalhoz, ill. a körülírt körben a hozzá tartozó ívhez 10 fokos kerületi és 20 fokos középponti szög tartozik, AOC = 160 fok , így CAO = 10 fok. A CA –val 30 fokos szöget bezáró P11P4 ( = CE ) , egyenes és a P5P14 átmérő metszéspontja legyen F. Az OEF háromszögben OEF = 20 fok, mint a P11P13 ívhez tartozó kerületi szög, FOE = 20 fok, mint a P4P5 –höz tartozó középponti szög, OEF háromszög egyenlőszárú. Az AOE egyenlőszárú háromszögben O-nál 60 fokos szög van, mint P1P4 –hez tartozó középponti szög, AOE háromszög szabályos. AEFO deltoid, AF átlója felezi a 60 fokos OAE szöget, FAO = 30 fok, FAC = 40 fok , F tehát feladatunk P pontja. Mivel P rajta van a P5P14 átmérőn és a P11P4 átlón, ezért az utóbbinak P5P14 –re vett tükörképén , a P6P17 átlón is rajta van. A BCP háromszögben BCP = P6CP4 = 20 fok, CBP = P11BP17 = 60 fok, így BPC = 100 fok.
|
|
Előzmény: [1609] Fálesz Mihály, 2012-12-10 09:28:23 |
|
[1609] Fálesz Mihály | 2012-12-10 09:28:23 |
Az ilyenfajta feladatokhoz egy kiváló cikk: Csirmaz László: Egy geometriai feladatról
A lényeg röviden:
1. Egy szabályos 18-szögben az átlók közötti szögek mind a 10o többszörösei.
2. Vannak olyan átlók, amik nem teljesen triviálisan egy ponton mennek át. Például a O középpontú P1P2...P18 szabályos 18-szögben a P9P15 átló az OP12 sugár felező merőlegese, és ebből következik, hogy a P1P10 egyenes tükörképe a P9P15 átlóra éppen a P7P12 egyenes. Ha ezeket a P1P10 átmérőre is tükrözzük, láthatjuk, hogy a P1P10, P5P11, P7P12. P8P13 és P9P15 átlók egy ponton mennek át.
3. A feladat megoldása ezek után abból áll, hogy megkeressük a rengeteg oldal és átló között a feladat ábráját...
|
|
Előzmény: [1608] w, 2012-12-09 11:22:59 |
|
|
|
[1606] w | 2012-12-08 21:34:35 |
ABC háromszögben AB=AC, P belső pontra PAC<=40 fok, ACP<=30 fok. Mekkora a BPC<, ha ABC<=80 fok?
|
|
|
|
[1603] Mordon | 2012-10-31 15:00:07 |
P az ABC háromszög belső pontja. A CP egyenes az AB oldalt a D, az AP egyenes a BC oldalt az E, a BP egyenes a CA oldalt az F pontban metszi. Tudjuk, hogy PA+PB+PC=43 és PD=PE=PF=3. Határozzuk meg a PA.PB.PC szorzat értékét.
Ennek a tavalyi Szőkefalvi feladatnak a megoldását valaki le tudná írni?
Előre is köszönöm!
|
|
|
[1601] HoA | 2012-10-24 13:02:31 |
Gondolom mivel a szereplő betük közül N a B mellett van a billentyűzeten, a kérdező B-t gondolt. Ekkor a metszéspont Jónás T pontja, a keresett hosszúságok AT = 4/5 AC = 4/5 * 28 cm = 22.4 cm, BT = 3/5 BC = 3/5 * 21 cm = 12.6 cm , mint [1597]-ben.
|
Előzmény: [1596] jonas, 2012-10-23 22:01:37 |
|
|
[1599] Blinki Bill | 2012-10-24 06:57:11 |
Mivel F felezi az ívet, ezért CF a C-nél levő szög szögfelezője és az AB oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja a szögfelező-tétel miatt. Az arány 3:4, így a 35cm-t kell ilyen arányban bontani, adódik 20cm és 15cm.
|
Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04 |
|
|
[1597] jonas | 2012-10-23 22:26:48 |
A feladat első részéhez vedd észre, hogy a háromszög derékszögű.
Tegyük fel, hogy a BC oldal hossza 21 cm, az AC oldalé pedig 28 cm. Koordinátázzuk úgy a síkot, hogy a háromszög körülírt körének a középpontja legyen az origó, az A pont legyen a (-17.5 cm, 0), a B legyen (17.5 cm, 0), a C második koordinátája pedig legyen pozitív.
Jelölje T a C-hoz tartozó magasság talppontját. A talppont az AB átfogón úgy helyezkedik el, hogy az AT távolság egyenlő az AC befogó négyzete osztva az átfogóval, vagyis 22.4 cm. Ebből a T koordinátái (4.9 cm, 0). A CT magasság hossza egyenlő a befogók szorzata osztva az átfogóval, vagyis 16.8 cm, így a C koorindátája (4.9 cm, 16.8 cm).
Mármost az F pont a feladat szerint annak az ívnek a felezőpontja, aminek az átmérője az A és a B pont, ezért az F koordinátái (0, -17.5 cm). Ebből a CF szakasz metszete az AB koordinátatengellyel, amit hívjunk R-nek, (4.9cm.17.5cm/(17.5cm+16.8cm),0) = (-2.5cm,0). Ebből pedig az AR szakasz hossza 20 cm, az RB szakasz hossza pedig 15 cm.
|
Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04 |
|
|
[1595] Kásás János | 2012-10-23 20:10:04 |
Segítséget szeretnék kérni tőletek, mert nem tudom megoldani a gyermekem házi feladatát:
Az ABC háromszög oldalainak hossza 21, 28 és 35 cm. A háromszög köré írt kört a háromszög csúcsai három ívre bontják. Ezek közül a leghosszabb ív felezőpontja F. Kössük össze F-et a háromszög szemközti csúcsával (legyen ez a csúcs C). Mekkora részre bontja a CF szakasz az AB szakaszt? Tükrözzük a C pontot az AN szakasz egyenesére (C’). Mekkora részre bontja a CC’ szakasz az AB oldalt?
A szögfüggvényeket még nem tanulták, azokat nem lehet használni.
Fáradozásotokat előre is megköszönve.
Tisztelettel: Kásás János
|
|
|
[1593] m2mm | 2012-08-14 10:50:14 |
Projektív megoldást találtam én is, elemi engem is érdekelne.
Ma böngészve régebbi KöMaL-példák között találtam a B.3680. feladatra, ami tulajdonképpen a 181. feladat nemtriviális része, így egy újabb megoldást rakhatunk a feladathoz, a hivatkozásban láthatunk egy újabb bizonyítást.
B.3680
|
Előzmény: [1570] Vonka Vilmos Úr, 2012-05-27 20:25:16 |
|
|
|
|
|
[1588] Fálesz Mihály | 2012-08-13 09:07:23 |
Állandó görbületű felületeken (terekben) is igaz, hogy ha AB egy kör (gömb) átmérője, C pedig egy harmadik pont a körvonalon (gömbfelületen), akkor az ABC háromszög C-nél levő szöge egyenlő a másik két csúcsnál levő szög összegével.
|
Előzmény: [1587] Gézoo, 2012-08-13 08:23:50 |
|