Fórum: GEOMETRIA

HELP : Nem tudom megoldani a következö feladatot: lehet-e szerkeszteni olyan egyenest, amely felezi a háromszög területét és keruletét is ?(vonalzóval és körzövel)

Megint elakadtam (sok ideje nincs semmi uj eredmenyem), orulnek, ha valaki megcsinalna helyettem:

Adottak P pont, es ABC haromszog. P pontbol ABC haromszoget levetitem a korulirt korere, kapom A' B' C' haromszoget. A, B es C pontokat tukrozom sorban a B'C', C'A' es A'B' egyenesekre, kapom: A*, B*, C* pontokat. Igazold, hogy A*B*C* haromszog hasonlo ABC-hez.

Re: adott egy parabola (fókuszával, vezéregyenesével) és három pontja. Szerkeszd meg a három ponton átmenő körrel vett negyedik metszéspontját!

Éppen a te Projektív geometria [65] - beli ábrádból és a megelőző hozzászólásokból kiolvasható, hogy a P₁,P₂,P₃ parabola pontokon átmenő k kör és a parabola P₄ metszéspontjára áll, hogy P₁P₂ ugyanakkora, csak ellentétes irányú szöget zár be a tengellyel - és így a vezéregyenessel is - mint P₃P₄ .

Úgy gondolom, hogy egyszerűbb így. Jobb szeretem, ha egy feladatban egyáltalán nem kell felírni képletet, egyenletet, ilyesmit.

Egyébként azt hiszem, se a a négy ponton átmenő kúpszeletek középpontjánál, se a négy egyenesen átmenő kúpszeletek középpontjánál (ez utóbbi lényegesen egyszerűbb) nem kell felírni egy darab egyenletet se, ki lehet geometriázni mindkettőt, de teljes (leírt) megoldásom még nincs.

Más feladat: adott egy parabola (fókuszával, vezéregyenesével) és három pontja. Szerkeszd meg a három ponton átmenő körrel vett negyedik metszéspontját!

Hasonlóan: adott egy hiperbola/ellipszis fókuszaival és három pontjával, szerkeszd meg a három ponton átmenő körrel vett negyedik metszéspontját. Adott két tetszőleges kúpszelet három metszésponttal, szerkeszd meg a negyedik metszéspontjukat.

A "pontosan két parabolához" nem kell a húrnégyszög. Ahhoz elég a párhuamos oldalakkal nem rendelkező konvex négyszög. A húrnégyszög a merőleges tengelyű parabolákhoz kell.

Ez jól hangzik, átgondolom.

Az úgy volt, hogy egy konvex négy pont húrnégyszögbe affinítható (az affinitás parabola, és parabolaszámtartó), és ha már húrnégyszög, akkor pontosan két parabola megy rajta keresztül. Az irányuk az négyszög átlóinak szögfelezőinek irányai. Ez elég elemi módszerekkel kijön.

Megtaláltam. Projektív geometria [59] és környéke.

Igen, az én megfogalmazásom is pontatlan. Az állítás csak úgy teljesül, ha a feladatban a párhuzamos egyenespárokat is elfajult parabolának számítod.

...hha

:-)

Úgy emlékszem ez nemrég volt itt a fórumon. Még azt is beláttuk, hogy a négyszög húrnégyszög iff a parabolák tengelye merőleges egymásra. ( A megfogalmazás így egy kicsit pontatlan. Négyzetre például már csak szimmetria okokból sem valószínű. )

Ha már itt tartunk, be tudjátok ezt látni? Én nem tudok rá bizonyítást, de szeretnék rá hallani.

Adott a síkon négy pont, amelyek egy konvex négyszög csúcsai. Lássuk be, hogy pontosan két parabola megy át rajtuk.

Adott a síkon négy pont. Tekintsük az összes kúpszeletet, amelyek áthaladnak ezen a négy ponton. Mi az ilyen tulajdonságú kúpszeletek középpontjának mértani helye?

Adott a síkon négy egyenes. Tekintsük az összes kúpszeletet, amelyek érintik ezt a négy egyenest. Mi az ilyen tulajdonságú kúpszeletek középpontjának mértani helye?

Mivel A'B'C< + CB'C'< = 60 fok, ezért A'B'C'< kisebb kell legyen 60 foknál... Én is ezzel a remek ellenbizonyítással kaptam a feladatot.

Annyit tennék még hozzá, hogy a szemlélet szerint A'B', B'C', C'D' és D'A' szakaszok ugyanakkorák, de a szemlélet nem indokolja hogy A'C' és B'D' is ugyanakkora legyen velük, szögekről meg pláne nem mond semmit.

Na de mekkorák a szögei?

Miért ne lenne A'B'C'D' is szabályos? Az A'BB' stb háromszögek egybevágók, 1 és 2 hosszú oldalaik 120 fokos szöget zárnak be.

ABCD egy egységnyi oldlélű szabályos tetraéder. Legyen A' az A pont B-re vonatkozó tükörképe, B' a B pont C-re vonatkozó tükörképe, s.í.t. ciklikusan!

Határozzuk meg az így kapott A'B'C'D' tetraéder élszögeit.

Köszönöm!

Tényleg szuper volt és érdekes :)

B.4562-re egy érdekes megközelítés:

Tekintsük azt az E középpontú 90 fokos forgatva nyújtást, amire (A)=C. Legyen az képe a ! Ekkor X olyan pont, melyre AC és CX merőleges egymásra (hisz a forgatás szöge 90 fokos), továbbá AEX=AEC+90^o=180^o. Vagyis X rajta van a BC és AE egyenesen is, emiatt X=B és így (C)=B. Tehát az AC egyenes képe a BC egyenes, amiért F képe, Y, a BC egyenesen van. Mivel viszont a BC egyenes D és Y pontjára is igaz, hogy FED=90^o=FEY, ezért D=Y kell legyen. Ha pedig F az ACE kör középpontja, akkor D középpontja lesz a (ACE)=CBE körnek. Tehát egyenlő szárú lesz.

1. A megoldás , mert az AC és BD átló pontosan akkor metszi egymást, ha ABCD négyszög konvex (lehetne konkáv és hurkolt is), és annyi konvex négyszög van, amennyiféle csúcsnégyes választható ki.

2. A mértani hely egy szakasz, két parabolaív és egy negyedkörív. Ennek belátása egészen triviális, rád hagyom.

Ohh de jó tényleg, az így ment, a másikra valami ötlet? :)

Definiáld a térbeli inverzió esetén a szögtartóságot, és bizonyítsd be!

Hát ezt még mindig nem látom át, de majd gondolkodom rajta

Az 1. feladatra segítség: vegyél tetszőleges két átlót: AC-t és BD-t, majd nézd meg az ABCD négyszöget. ;-)

A 2. feladatban a két félegyenes legyen az x-tengely és az y-tengely nemnegatív része. A mértani helyet egyenként keresd meg a négy síknegyedben.

Hali mindenkinek! Valaki tudna ezekben segíteni!?

1) Adott egy konvex n szög. Hány olyan átlópárja van, amelyek a sokszög belsejében metszik egymást.

2) Adott két közös kezdőpontú egymásra merőleges két félegyenes. Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyeknek a két félegyenestől mért távolságának összege állandó?

szerk: a hatványvonalból az új sík ideális egyenese lesz