[204] Gubbubu | 2004-01-05 19:22:37 |
Üdvözlök mindenkit!
A két ünnep között egy nap azzal szórakoztam, hogy a természetes számok során valameddig végigmenve a számokat különféle nevezetes sorozatokba soroltam. Ennek során egész érdekes, könnyebb-nehezebb problémákra bukkantam, sokat egyáltalán nem tudok vagy nincs időm megoldani, de hátha másokat érdekel. Néhány példa:
46. feladat:
Van-e olyan p prím az 5-ön kívül, amelyre p-2, p és p+2 is prím? Keressünk minél többet, vagy lássuk be hogy nincs.
47. feladat:
Lássuk be vagy cáfoljuk meg, hogy 6 az egyetlen szám (poz. egész, egész, rac., valós vagy komplex), amely ugyanazon számtani sorozat elemeinek egyszerre az összege és a szorzata!
47. feladat:
Oldjuk meg a n2+1=2n egyenletet!
Egyenlőre ennyi.
(Várhatóan hétvégén jövök újra, addig megoldani!)
|
|
[203] jenei.attila | 2004-01-05 15:27:03 |
Kedves István!
A Te megoldásoddal az a baj, hogy miközben az x végigmegy a megfelelő egész számokon, nem biztos, hogy 1-től egyesével növekedve kapjuk a számokat [P/Q*x]-ből, hanem a sorozatban az egymás utáni tagok [P/Q]-val, vagy [P/Q]+1 -gyel növekszenek.
Vegyük a derékszögű koordináta rendszerben a P/Q meredekségű, origón áthaladó egyenest, és tekintsük az x=1, y=1, és x=[Q/2], y=[P/2] egyenesek által határolt téglalapot. Ekkor a bizonyítandó egyenlőség mindkét oldala, a téglalapban található rácspontok (mindkét koordinátája egész) számát adja (a határokat is beleértve). Ugyanis [P/Q*x] az x-en áthaladó függőleges egyenesen fekvő, P/Q meredekségű egyenes alatti, a szóbanforgó téglalapba eső rácspontok száma. Ha x végigfut a megfelelő egész számokon, nyilván megkapjuk az összes, téglalapba eső, P/Q meredekségű egyenes alatti rácspontok számát. A másik szumma ugyanígy az egyenes feletti rácspontok számát adja. A feltételek biztosítják, hogy nem esik rácspont a P/Q meredekségű egyenesre, így minden pontot csak egyszer számolunk. Márészt a jobboldali kifejezés közvetlenül a téglalapban fekvő rácspontok számát adja.
|
Előzmény: [194] lorantfy, 2003-12-17 23:58:40 |
|
|
|
|
[199] lorantfy | 2003-12-29 14:48:13 |
44. feladat: Arkhimédész "problema bovinum"-a (kb. 2222 éves faladat!) Volt a Napistennek egy bikákból és tehenekből álló csordája, amelyiknek egyik része fehér, egy másik része fekete, egy harmadik része tarka és egy negyedik része barna marhákból állt. A fehér bikák száma a fekete bikák számának felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké, a feketéké a tarka bikák számának negyedével meg ötödével, a tarkáké pedig a fehérek számának egyhatodával meg egyhetedével. A fehér tehenek száma az összes fekete marhák számának egyharmada meg egynegyede volt, a fekete tehenek száma az összes tarka marhák számának egynegyede meg egyötöde, a tarka tehenek száma az összes barna marhák számának egyötöde meg egyhatoda, a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede. Hogyan tevődött össze a csorda a különböző színű állatokból?
Szilveszter utáni önteszthez ajánlom ezt a feladatot! (Magamhoz tértem-e már?)
(A feladat Heinrich Dörrie: A DIADALMAS MATEMATIKA c. könyvében található.)
|
|
|
[197] Ratkó Éva | 2003-12-18 16:18:12 |
34. feladat: Jártam a színházban, és beszéltem egy jegyszedövel is, aki természetesen tiltakozott. Szerinte csak véletlenül nem tudtak visszaadni. Annyit megtudtam, hogy 1000 Ft apróval indítják útnak a jegyszedöket, illetve 450 és 650 Ft-os árai vannak a füzeteknek (ennyi jutott akkor eszébe, persze lehet, hogy van más ár is). Így azt a kérdést tudjuk feltenni, hogy hány füzetet tud egy jegyszedö eladni legalább p valószínüséggel. És ha nem akarunk teljesen sötétségben tapogatózni, valamiféle felmérést kellene végezni arról, hogy milyen valószínüséggel van valakinél apró (ezt természetesen alaposan átgondolt kérdések formájában).
|
|
[196] lorantfy | 2003-12-18 12:42:47 |
Kedves Géza!
Köszönet a segítségért! Közben rájöttem, hogy ennyire egyszerű a megoldás. Gondolkodom a 34.c-n. Sajnos a Catalan-számokról fogalmam sincs. Akinek van segíthet!
Pontosítás az előző hozzászólásomhoz:
A 42. feladatról van szó!
|
Előzmény: [195] Kós Géza, 2003-12-18 10:52:47 |
|
|
[194] lorantfy | 2003-12-17 23:58:40 |
41. feladathoz: Legyen P=2p+1 és Q=2q+1, ahol p,q pozitív egész számok.
Ekkor a jobb oldal:
Bal oldalon az első szumma, miközben x végigsöpör az adott intervallumon, előállítja az egész számok összegét 1-től p-ig.
Hasonlóan a második szumma is. Így a bal oldal:
(P=3, Q=5 esetén 1+22)
Szóval itt valami baj van. Lehet, hogy tévedek, de valaki legalább hozzászól!
|
Előzmény: [182] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:18:19 |
|
[193] lorantfy | 2003-12-13 11:00:24 |
34.c) feladat b része
Ha a füzeteket áruló néni előrehívja azt az „x” számú embert aki 500 Ft-al tud fizetni, akkor miután eladta nekik a füzetet (k+x) 500Ft-os bankjegye lesz, hogy visszaadjon a megmaradó (n-x) 1000 Ft-al fizetőnek. Mikor nem tud visszaadni? Ha
(Egyenlőség NINCS, csak nem találok külön kisebb jelet! Segítség!)
Legyen (Elnézést! Az előző hozzászólásban ezt rosszul írtam!)
Tehát, ha az n ember közül csak 0,1,2 … m-1 tud 500 Ft-al fizetni, akkor nem tud a néni visszaadni. Ezen esetek összege:
A p2 valószínűség, (2n az összes esetek száma)
Tehát p1=2p2
|
Előzmény: [192] lorantfy, 2003-12-12 23:59:35 |
|
[192] lorantfy | 2003-12-12 23:59:35 |
Kedves Fórumosok!
Érdemes "beleélni" magatokat ebbe a füzeteladási feladatba, mert bár lassan de szépen alakul.
Próbáljuk megfogalmazni a bináris fa alapján készült előző táblázat eredményét általánosan.
k db 500 Ft van kezdetben az eladónál és n emberünk van.
Legyen az egyszerűbben írhatóság kedvéért k és n páros!
, E= az eladott könyvek száma, S=esetek száma.
E= |
... |
k |
k+1 |
k+2 |
k+3 |
... |
n-4 |
n-3 |
n-2 |
n-1 |
n |
S= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az, hogy a néni valamikor nem tud visszaadni azt jelenti nem adott el minden könyvet. Ezen esetek számának összege:
Megvan a 34.c) feladat a) részének p1 valószínűsége.
Már csak azt kell belátni, hogy
de erre már csak holnap kerülhet sor. :-)
|
Előzmény: [191] lorantfy, 2003-12-12 00:48:45 |
|
[191] lorantfy | 2003-12-12 00:48:45 |
Kedves Fórumosok!
Egy rövid folytatásra futotta ma az időmből, remélve, hogy lesz aki bekapcsolódik.
Ha k értékét 1-el növeljük akkor azon esetekben, ahol eddig 0 db-ot adtunk el, most 1-et fogunk, ahol eddig 1-et, most 2 db-ot adunk el... Az esetek száma 1-el nagyobb db-számra tolódik el. n= 5 esetében ezt mutatja a táblázat. Az 5-ös eladás oszlopában összegződnek a jobbra tolódó értékek. Jobb oldalon annak a valószínüsége , hogy minden (5db) könyvet eladtunk. (Az esetek számával (25=32) osztottam az 5 db-os eladások számát.)Annak valószinüsége, hogy a néni valamikor nem tudott visszaadni 1-, hiszen akkor nem adott el minden könyvet. Tehát csak ezt kell n-re megfogalmazni és megvan Géza 34.c) feladatának a) része!
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0 |
1 |
1 |
5 |
5 |
10 |
10 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
5 |
5 |
20 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
5 |
25 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
30 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
31 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
32 |
1 |
|
|
Előzmény: [186] lorantfy, 2003-12-10 13:41:47 |
|
|
[189] lorantfy | 2003-12-11 22:40:16 |
Megoldás a 43. feladatra:
A háromszög körülírt körének O középpontja csak akkor van a háromszög kerületén, ha az derékszögű. Ekkor viszont az M magasságpont a derékszögű csúcsba esik. Így OM = R= AB/2, OM csak a rövidebbik befogóval egyezhet meg. Tehát a háromszög szögei 30-60-90 fok. Szerkesztése: 2OM=AB fölé Thálesz kört, aztán A-ból OM=R-el körözve kimetszük a C pontot. (A feladat szövegében ez áll:„tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is” - ez csak annyit jelent, hogy azt még nem tudjuk, hogy a másik végpontja is (De mostmár tudjuk!), nem pedig azt, hogy a másik végpontja nem lehet a háromszög pontja)
Euler egyenes: A háromszög O, S, M ponjai erre az egyenesre esnek. Ráadásul MS=2OS.
Aki kíváncsi az Euler egyenes nevezetes pontjai és a beírt kör K középpontjának kapcsolatára, nézze meg a „Nehezebb matematikai problémák” témában Rácz Béla 7. feladatát.
|
|
Előzmény: [188] Hajba Károly, 2003-12-11 01:06:29 |
|
[188] Hajba Károly | 2003-12-11 01:06:29 |
Elnézést, pontosítok:
43. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!
HK
|
Előzmény: [187] Hajba Károly, 2003-12-11 01:03:40 |
|
[187] Hajba Károly | 2003-12-11 01:03:40 |
35. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!
HK
|
|
[186] lorantfy | 2003-12-10 13:41:47 |
Kedves Fórumosok!
Reméltem, hogy valakinek megtetszik ez a bináris fa, de még nem késő! Felírtam a csúcsokhoz az eladások számát. A táblázatban az első oszlopban az n értéke, a következő oszlopokban az áll, hogy adott n esetén hány esetben volt 0,1,2,3,4,5 füzet eladás.
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
3 |
3 |
|
|
4 |
1 |
1 |
4 |
4 |
6 |
|
5 |
1 |
1 |
5 |
5 |
10 |
10 |
|
Ezek a számsorok mindenkinek ismerősek (Pascal hrsz. Binomiális tétel) A sorrend kicsit más. Remélhetőleg valaki be is bizonyítja, én most csak ebből a pár értékből általánosítok: Legyen egész része: m. Ekkor a 2n esetből esetben fogunk n db füzetet eladni k=0 befektettéssel. Következik k értékének 1-el való növelése. Ekkor ennek a fának a jobb oldali (fél) részfájára kell áttérni.
|
|
Előzmény: [184] lorantfy, 2003-12-09 12:37:33 |
|
[185] Kós Géza | 2003-12-10 13:16:34 |
Egy kis érdekesség.
Továbbra is feltételezzük , hogy a vendégeknél 50-50% valószínűséggel van egyetlen 500 vagy egyetlen 1000 forintos bankjegy. A vendégek száma n, a jegyszedőnél kezdetben k darab 500 forintos van.
a) A vendégek véletlenszerűen sorbaállnak, fizetnek, a jegyszedő néni visszaad, ha tud. Jelöljük p1-gyel annak a valószínűségét, hogy valamikor nem tud visszaadni.
b) A jegyszedő úgy dönt, hogy a sorban előrehívja azokat, akiknél 500 forintos pénz van. Jelöljük p2-vel annak a valószínűségét, hogy így sem sikerül mindenkinek visszaadni.
34.c feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha n és k azonos paritású, akkor p1=2p2.
(A Catalan-számokat jól ismerők előnyben!)
|
Előzmény: [138] Ratkó Éva, 2003-12-03 14:33:47 |
|
[184] lorantfy | 2003-12-09 12:37:33 |
Pontosítás az előzőhöz:
A következő vevőnek 50% eséllyel van 500 Ft-osa és 50%, hogy 1000 Ft-osa van. Ez végig állandó. (Nem függ attól, hányan fizettek már pl. 1000 Ft-al.)
|
Előzmény: [183] lorantfy, 2003-12-09 01:07:25 |
|
[183] lorantfy | 2003-12-09 01:07:25 |
Kedves Éva!
Egy újabb próbálkozás:
34.b feladat
n db füzetet szeretnénk eladni n embernek. A füzet ára 500 Ft. Az emberek felének van 500 Ft-ja, másik felének csak 1000 Ft-osa van.
1.Ha 1000 Ft-al akar fizetni valaki és nincs 500 Ft-unk vissza, akkor nem vesz, ha tudunk visszaadni, akkor vesz.
2.Ha 500 Ft-al fizet valaki, akkor persze vesz füzetet és lesz egy visszaadható 500 Ft-unk.
Mennyi a valószinüsége, hogy mind az n könyvet eladjuk:
1.Ha kezdetben nincs 500 Ft-osunk (k=0)
2.Ha k db 500 Ft-ossal indulunk.
Árázoljuk az eseményeket egy bináris fával. A csúcsokba írjuk az 500 Ft-osaink számát. Az élek szine kék ha vettek, piros, ha nem vettek füzetet. Ha jobbra lépek 500 Ft-al fizettek, ha balra akkor 1000 Ft-al. Piros a vonal, ha nullás pontból balra lépünk, különben kék. Az összes eset száma 2n. Ahány kék vonallal jutunk le, annyi füzetet adtunk el.
Próbáljátok általánosítani! n=5 esetén a következő értékek adódnak:
k=0 : 50%, k=1 : 62,5%, k=2 : 78%, k=3 : 93%, k=4 : 97%, k=5 : 100
|
|
Előzmény: [181] Ratkó Éva, 2003-12-08 17:17:54 |
|
[182] Pach Péter Pál | 2003-12-08 20:18:19 |
Két újabb feladat:
41. feladat
Legyenek a,b,c,d,e egész számok. Tudjuk, hogy összegük és négyzetösszegük is osztható a páratlan p számmal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a5+b5+c5+d5+e5-5abcde is osztható p-vel.
42. feladat
Legyenek P és Q pozitív páratlan relatív prím számok. Bizonyítsuk be, hogy
|
|
[181] Ratkó Éva | 2003-12-08 17:17:54 |
Kedves Mindenki!
Ajánlom figyelmetekbe a 34. feladatot, amit nem én találtam ki, hanem egy valóban létező probléma. (A színházat nem akartam megnevezni, nem az a lényeg.) És kíváncsi vagyok, együttes erővel lehet-e vele valamit kezdeni.
|
Előzmény: [142] lorantfy, 2003-12-04 00:37:11 |
|
[180] Hajba Károly | 2003-12-08 10:43:39 |
40. feladat: Tekintsük az ábra szerinti M*N-es lapocskát a kör helyekkel, melynek d szimmetriatengelye van. Képezzük az összes (n) olyan változatot, melyben k szinezett korongot helyeztünk el és sem tüktözéssel, sem forgatással két változatot nem lehet egymásba mozgatni. Mennyi n értéke M, N és k függvényében?
Kedves Topikolók!
Bevallom, a fenti feladatot kitaláltam, de a választ rá nem tudom, még nem találtam meg a pontos összefüggést, így szabad a gazda, a válasz engem is nagyon izgat. :o)
HK
|
|
|