Fórum: Érdekes matekfeladatok

Tippem szerint az állítás nem igaz.

Pl. n=4 esetén 8n+10=42, ami nem írható fel két páratlan egész szám négyzetösszegeként.

Helló! A következő kérdésre nem találok azonnali választ :-( "Ihazoljuk, hogy minden nemnegatív n egész szám esetén 8n+10 felírható két páratlan egész szám négyzetösszegeként!" Bármilyen tippet előre is köszönök! Üdv: epsilon

Megvallom őszintén, nekem a másodfokok váltig bennmaradtak, akárhogyan csűrtem-csavartam.

"Páronként" hogyan jönnek ki az általad felírtak?

Ezekből az egyenletekből páronként 2x=y+z, 2y=x+z, 2z=x+y, és ezekből x=y=z könnyen jön, ami valóban az említett egyenes. nem :D?

"Egy kocka 3 kitérő élétől egyenlő távolságra levő pontok halmaza micsoda?"

Erős meggyőződésem szerint a kérdéses mértani hely egy egyenes. Konkrétan az az egyenes, amely tartalmazza a kockának azon (egyetlen) testátlóját, amely mindhárom jelzett kitérő élhez képest kitérő.

Bizonyítani sajnos nem tudom. :-(

Eljutottam egy ilyen, a kérdéses mértani hely (x,y,z) pontjait leíró egyenletrendszerhez (a kocka élhossza 2a, élei a koordinátatengelyekkel párhuzamosak, középpontja az origóban):

(a-y)²+(a+z)²  =  (a-z)²+(a+x)²  =  (a-x)²+(a+y)²

Ennek a jelzett egyenes pontjai valóban eleget tesznek - de elvben talán más pontok is? Nem tudom.

Idáig ennyi kristályosodott ki (legépeltem, abban az egyenlőtlenséglánc az (e) amit előzetesen leírtam), ha valakinek van még ötlete, szívesen várom ;-)

Köszönöm a hozzászólásokat. Én Lóczi Lajoshoz hasonlóan csináltam. A sin(x+15^o)=sin18^o egyenletnek a 3^o és 147^o a megoldása. Ez a sin xcos15^o+cos xsin15^o=sin18^o egyenletre vezet. Ebből sin x-re egy másodfokú egyenletet kapunk, aminek a kisebbik gyöke sin3^o

Egy másik kifejezés:

http://mathforum.org/library/drmath/view/54149.html

Még van egy kifejezés, de azt nem tudom hogy jön ki:

A 18 fokos szög szögfüggvényeinek megállapításához (a készen kapható ötleteken kívül, persze) a 72-72-36 fokos szögekkel bíró egyenlőszárú háromszöget javaslom; ennek oldalarányai (ha ugyan fejből nem ismertek :-) ) annak felismerésével határozhatók meg, hogy az egyik 72 fokos szög felezője a szemközti oldalból saját magával azonos hosszúságú szakaszt metsz ki, a másik metszék pedig egy újonnan keletkezett kisebb, szintén 72-72-36 fokos háromszög legkisebb oldala.

Ha már a metódus közzététetett, akkor itt az eredmény; gyanítom, nem a legletisztultabb formában, de nekem nem sikerült egyszerűbben:

[Nyilván 3=18-15, és a félszögképlet miatt csak a 18 fok szinuszán kell kicsit gondolkodni, de a példatárakban (pl. Geom. feladatgyűjtemény) az aranymetszésnél ez utóbbi szög szinusza is ki van számolva (Mathematica alatt: Sin[3 Degree] // FunctionExpand, weben (még egy felezésre szükség van): http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/).]

igazad van...hát akkor A(n) egészrészére sincs képlet :-(

Mármint hány fixpont nélküli n-edrendű permutáció van:)

határozzik meg sin 3^o pontos értékét középiskolai módszerekkel

A₈ = 1

Már így álla helyzet:

Bocs, hogy így szotyogtatom, ez még kijött, és az a sejtésem, hogy a 2 eset eredményeit kapjuk más n számok esetén is de, hogy mikor melyiket, még nem látom :-(

Ha nem tévedtem, akkor az egészrészes eredmény páros teljes négyzet esetén mégis igaz, vagyis:

Igen, valóban erre sem jó, Én kicsi teljes négyzetekre, majd n=100 értékére próbáltam, ezekből próbáltam arra következtetni amit írtam, de hibásan :-( Végül is az érdekelne, hogy egyenlőek-e az An és Bn egészrészei, és mivel is egyenlőek ezek, ha n>=2 pozitív egész, és:

Még mindig nem jó. Pl. n = 49.

Bocs, az egészrész nem az, és az egyenlőtlenségeket is megnézem, ha valamit elszámoltam volna.Továbbá n>2. Az egészrészes ez kell legye:

Nekem már n = 4 -re se jön ki. Valamit rosszul értek?

Tisztelt Kollégák! Egy érdekes egyenlőtlenseég vezetett a következő kérdéshez: ha fennáll a következő egyenlőtlenséglánc, akkor igaz-e az egészrészre vonatkozó eredmény? Ha n négyzetszám, akkor Nekem kijött, de általában?Előre is köszönöm a válaszotokat!

Köszönöm a válaszokat, tényleg elég nehéznek tűnik paraméteresen megadni a megoldást, egy kicsit hanyagul megfogalmazott a feladat evvel a "mi lehet lnko(x,y)?"-nal.

Valóban. Tegnap már nagyon késő volt és egy mondat még lemaradt. A több megoldás közül melyikre keresed az lnko-t, mert szerintem a, b, c paraméteres ismeretében ez nem egyszerű feladat.

De nézzünk egy kokrét példát:

3x+5y=61

x:y = 2:11; 7:8; 12:5 és 17:2 ha a pozitív eredményeket tekintjük. Tehát elég bonyolult függvény adhatja meg paraméteresen lnko(x,y) lehetséges értékeit.

Kicsit továbbgondoltam a feladatot, pontosabban azt, hogy mikor megoldható az alapegyenlet. Úgy tűnik, két esetben nincs megoldhatóság:

Ha (a=b)&(c2*n*a) ill. ha páros(a,b)&páratlan(c)