Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3543] FlagD2012-01-15 10:14:46

Nekem megvan, de nem lőném le teljesen, csak annyira, hogy van ilyen számpár.

Egy ismert számelmélet feladat jutott rögtön eszembe, és 700, és 800 között találtam jó megoldást (nem tudom ez a számpár-e a legelső).

Előzmény: [3541] Sirpi, 2012-01-15 07:40:05
[3542] jonas2012-01-15 09:54:37

Ügyes feladat.

Előzmény: [3541] Sirpi, 2012-01-15 07:40:05
[3541] Sirpi2012-01-15 07:40:05

Tegnap este találtam ki ezt a feladatot, és szerintem érdekes:

Van-e két olyan nem szomszédos pozitív egész, hogy a köztük lévő minden számra teljesül, hogy nem relatív prím a két szám valamelyikéhez? (pl. a 90, 98 pár jó lenne, ha a 97 nem lenne köztük.) Egyébként sikerült is megoldani.

[3540] Róbert Gida2012-01-12 01:08:26

Megvan: Euler: 2r\leR és a harmadik feladatból triviálisan következik a második egyenlőtlenség.

Előzmény: [3539] Róbert Gida, 2012-01-12 00:47:15
[3539] Róbert Gida2012-01-12 00:47:15

Első feladatra: ha a háromszög tompaszögű, akkor trivi, mert a szorzat akkor negatív. Egyébként számtani-mértani egyenlőtlenség, majd Jensen egyenlőtlenség a [0,Pi]-n konkáv cos fv-re

Második feladatra nincs tippem.

Utolsó feladat: cos-ra használhatod a cos tételt, r=\frac Ts és R=\frac {abc}{4T}, ahol T a terület, s a félkerület. Továbbá T-re a Héron képletet. Ekkor mindenhol már csak a,b,c szerepel, azaz egy azonosságot kell kapnod, ha mindent behelyettesítesz. (itt már nem is lényeges, hogy ezek egy háromszög oldalai is.)

Előzmény: [3537] onkiejoe, 2012-01-11 23:45:20
[3538] onkiejoe2012-01-11 23:48:13

Elnézést, azt hiszem, nem jól sikerült a linkelés. Talán most: 12. és 9. feladat

Előzmény: [3537] onkiejoe, 2012-01-11 23:45:20
[3537] onkiejoe2012-01-11 23:45:20

Sziasztok! Lenne néhány feladatom, amin jó pár napja ülök, de egyszerűen nem tudom lebirkózni őket. Már mindent megpróbáltam, amit tudtam, de nem tudok rájönni a megoldás kulcsára. Két szélsőérték-feladat (igazolni kell minden háromszögre, melynek szögei A, B és C, valamint megmondani, hogy milyen A, B, C esetén van egyenlőség):

cos(A)*cos(B)*cos(C)\le1/8

(itt a * sima szorzásjel akar lenni)

cos(A)+cos(B)+cos(C)\le3/2

A feladat "trükkje" az lenne, hogy nem szabad deriválást alkalmazni. Egyébként innen származnak: (12. és 9. feladat) És van még egy, ez már nem szélsőérték (szintén bizonyítandó, az előzőektől függetlenül):

cos(A)+cos(B)+cos(C)=(r+R)/R

(r: beírható kör sugara, R: körülírt kör sugara)

Minden segítséget, választ, és esetlegesen megoldást is előre köszönök!

(És elnézést kérek, hogy nem igazán ismerem ki magam a program kód- és jelrendszerén.)

O.

[3536] Sirpi2011-12-19 08:32:31

Igen, ez jó. Én ezt találtam:

\left(kn+1\right)\left(2(k+1)n+1\right)-\left(2kn+1\right)\left((k+1)n+1\right)=n

Előzmény: [3535] Kemény Legény, 2011-12-18 19:10:23
[3535] Kemény Legény2011-12-18 19:10:23

Róbert Gida megoldását továbbgondolva:

(k2n+1)((k+1)2n+1)-(k(k+1)n+1)2=n

Előzmény: [3532] Sirpi, 2011-12-18 17:57:06
[3534] jonas2011-12-18 18:41:48

Hmm, várj, ez így nem jó, mert két összetett számot kértél. Akkor még gondolkozom egy kicsit.

Előzmény: [3533] jonas, 2011-12-18 18:40:56
[3533] jonas2011-12-18 18:40:56

Az n pozitív egész számot szeretnénk előállítani. Ehhez keressünk egy p prímet, ahol n<p. Ekkor bármilyen k természetes számra n=(pk+n)-pk. Mármost (pk+n) relatív prím pk-tól, mert az utóbbinak az egyetlen prímosztója a p, az előbbi pedig nem osztható p-vel.

Előzmény: [3529] Sirpi, 2011-12-18 10:51:32
[3532] Sirpi2011-12-18 17:57:06

Pótfeladat (ha már ilyen hamar lelövődött):

bizonyítsuk be, hogy minden számra végtelen sok ilyen előállítás létezik.

Előzmény: [3531] Sirpi, 2011-12-18 12:16:42
[3531] Sirpi2011-12-18 12:16:42

Ez gyors volt. Én is pont ezt találtam meg.

Előzmény: [3530] Róbert Gida, 2011-12-18 11:57:45
[3530] Róbert Gida2011-12-18 11:57:45

Legyen B=4*n2+4*n+1=(2*n+1)2 és A=4*n2+5*n+1=(n+1)*(4*n+1). Ekkor A-B=n, itt A,B összetett a faktorizáció miatt. És relatív prímek, hiszen:

lnko(A,B)=lnko(A-B,B)=lnko(n,4n2+5n+1)=lnko(n,1)=1

Előzmény: [3529] Sirpi, 2011-12-18 10:51:32
[3529] Sirpi2011-12-18 10:51:32

A feladatom nem teljesen explicit, de sebaj.

Adjunk minél egyszerűbb konstruktív bizonyítást arra, hogy minden pozitív egész szám előáll két relatív prím összetett szám különbségeként.

[3528] Lóczi Lajos2011-12-10 16:40:24

(Megtaláltam a számolásomban a hibát, amit írsz, tényleg jó f2-nek.)

Előzmény: [3527] Fálesz Mihály, 2011-12-07 11:05:19
[3527] Fálesz Mihály2011-12-07 11:05:19

L'Hospital szabállyal:


\lim_{x\to\infty} \frac{y-x\ln x}{f_2(x)} =
\lim_{x\to\infty} \frac{y'(x)-(x\ln x)'}{f_2'(x)},

ha \lim_\infty f_2=\infty és a jobboldali határérték létezik.

Azt már tudjuk, hogy ln y=ln x+ln ln x+o(1).

y'(x)-(x.ln x)'=ln y-ln x-1=ln ln x+O(1).

Olyan f2 kell tehát, aminek a deriváltja kb. ln ln x. Az x.ln ln x ilyen, mert a ln ln x lassan nő, de parciális integrálással is megtalálhatnánk:


\int\ln\ln x dx = x\cdot\ln\ln x - \int\frac{dx}{\ln x} =
x\cdot\ln\ln x + O\left(\frac{x}{\ln x}\right).

Előzmény: [3526] Lóczi Lajos, 2011-12-07 10:14:29
[3526] Lóczi Lajos2011-12-07 10:14:29

Ezt már próbáltam, de a kérdéses limesz végtelen lett. (Még ellenőrzöm a számolást egyszer.)

Előzmény: [3525] Fálesz Mihály, 2011-12-07 09:59:33
[3525] Fálesz Mihály2011-12-07 09:59:33

Próbáljuk ki ezt: f2(x)=x.ln ln x

Előzmény: [3524] Lóczi Lajos, 2011-12-07 04:27:31
[3524] Lóczi Lajos2011-12-07 04:27:31

Egyelőre én is pont eddig jutottam. Igen, jonas, a bizonyítás talán 1 oldalban összefoglalható lenne, tehát teljesen elemi megfontolásokat használtam csak (az Li függvényről is).

Ha f1(x):=xln (x), akkor tehát eddig azt tudjuk, hogy \lim_{\infty}\frac{y}{f_1}=1. Az is egyszerűen adódik, hogy \lim_{\infty}{(y-f_1)}=\infty.

A továbblépéshez keresendő tehát egy f2, hogy \lim_{\infty}\frac{y-f_1}{f_2} egy véges, nemnulla valós szám legyen. Aztán általában fk, hogy \lim_{\infty}\frac{y-\sum_{k=1}^n f_k}{f_{n+1}} létezik, véges és nemnulla.

Előzmény: [3521] nadorp, 2011-12-06 15:36:04
[3523] nadorp2011-12-06 16:29:38

Ezt az állítást asszem igen, de azért a Li(x) függvényről felhasználtakat nem biztos, hogy kéne :-)

Előzmény: [3522] jonas, 2011-12-06 15:52:50
[3522] jonas2011-12-06 15:52:50

Be is tudod bizonyítani?

Előzmény: [3521] nadorp, 2011-12-06 15:36:04
[3521] nadorp2011-12-06 15:36:04

Az megfelel-e, hogy

\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x\ln x}=1

Előzmény: [3520] Lóczi Lajos, 2011-12-01 19:51:40
[3520] Lóczi Lajos2011-12-01 19:51:40

Igen, én is erre. A további kérdés persze az, hogy x^\alpha helyett a nevezőbe milyen függvényt írjunk, hogy véges, nemnulla limeszt kapjunk a végtelenben. Vagyis adjuk meg az y függvény aszimptotikus sorának elejét.

Előzmény: [3519] nadorp, 2011-12-01 17:04:13
[3519] nadorp2011-12-01 17:04:13

Egyelőre erre jutottam

\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x^\alpha}=\left\{\matrix{\infty &ha&\alpha\le1 \cr 0 &ha& \alpha>1}\right.

Előzmény: [3518] Lóczi Lajos, 2011-11-28 21:14:23

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]