Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[661] jonas2004-12-23 23:10:27

Szoval a Pascal-haromszogben a paratlan szamok egy Sierpinski-haromszog nevu fraktalon helyezkednek el, es erdekes modon ezt a Sierpinski-haromszoget egy vonallal le lehet rajzolni:

Előzmény: [659] Lóczi Lajos, 2004-12-23 12:25:17
[660] jonas2004-12-23 22:08:13

Igen, tényleg rosszat írtam.

Tehát akkor  \binom{m}{n} páratlan akkor és csak akkor, ha n AND NOT m=0.

Előzmény: [659] Lóczi Lajos, 2004-12-23 12:25:17
[659] Lóczi Lajos2004-12-23 12:25:17

Megértettem, de szerintem pont fordítva van, mint ahogyan írtad:

Legyen pl. m=2, n=1, ekkor \binom{2}{1} páros, az 1 és 2 számok kettes számrendszerben 01 és 10, ezek bitenkénti AND NOT-ja kettes számrendszerben 01, azaz nem nulla.

Legyen most m=3, n=1, ekkor \binom{3}{1} páratlan, az 1 és 3 számok kettes számrendszerben 01 és 11, melyek bitenkénti AND NOT-ja kettes számrendszerben 00, azaz nulla.

Tehát \binom{m}{n} pontosan akkor páratlan, ha (a fenti átírás szerint, balról a megfelelő számú nullákkal kiegészítve) n BIT AND (NOT m) minden bináris jegye 0.

Az idézett honlapon viszont nem egyértelmű a kiszámítási utasítás, tehát nem mondhatjuk rá, hogy rossz: ott csak annyi van írva, hogy n XOR m kifejezésből lehet KISZÁMOLNI (de hogy hogyan, az kérdés).

Előzmény: [656] jonas, 2004-12-21 20:51:57
[658] Sirpi2004-12-23 12:10:57

Igaz, igaz, kicsit figyelmetlen voltam.

n=2-es számrendszerben mondjuk kicsit furcsa a dolog, de végülis ott is működik. Ott ugye minden számra S értéke éppen az n-1-es, azaz 1-es maradék (ezt igen ritka esetben szokta az ember használni általában), ami minden számra nulla, viszont 0 helyett mindig n-1-et, azaz 1-et kell venni, tehát 2-es számrendszerben minden számra S értéke 1.

Előzmény: [657] Lóczi Lajos, 2004-12-23 11:00:40
[657] Lóczi Lajos2004-12-23 11:00:40

Lényegében igen. Annyi pontosítást csak, hogy S(n) értéke a 9-cel való maradék, ha az nem nulla, és 9, ha n osztható 9-cel.

Előzmény: [655] Sirpi, 2004-12-21 20:41:19
[656] jonas2004-12-21 20:51:57

At kell irni oket kettes szamrendszerbe, hogy konnyen el tudd vegezni bitenkent a logikai muveleteket. (A tizes szamrendszer szerintem nem tartozik magahoz a szamhoz, az csak azt jelenti, hogy irod le oket.)

Ugy ertem, ha nimet jatszol, akkor bitenkenti xor muveletet kell vegezni a nyero strategia meghatarozasahoz, attol fuggetlenul, hogy milyen szamrendszerben irod fel a kovek szamat.

Előzmény: [653] Lóczi Lajos, 2004-12-21 15:05:43
[655] Sirpi2004-12-21 20:41:19

Dehát S értéke éppen a szám 9-es maradéka, az pedig hatványozás során nyilván periodikus sorozatot ad. És a 2-hatványokon éppen azért egyezik meg S értéke a 11-hatványokéval, mert ugyanazt a 9-es maradékot adják. Más (n-es) számrendszerre elvileg ugyanez megy, ott S értéke épp a szám n-1-es maradéka lesz.

Előzmény: [654] Lóczi Lajos, 2004-12-21 16:34:56
[654] Lóczi Lajos2004-12-21 16:34:56

A minap hallottam valakitől egy megfigyelést, ebből született az alábbi 130. feladat.

Jelölje S azt a pozitív egészeken értelmezett függvényt, amely egy n számhoz hozzárendeli azt az S(n) pozitív egész számot, amely úgy keletkezik, hogy összeadjuk n (tízes számrendszerbeli) számjegyeit, majd az eredmény számjegyeit ismét összeadjuk, stb., addig folytatva, amíg egyjegyű számot nem kapunk. Tehát pl. S(7331)=5, mert 7+3+3+1=14, és 1+4=5.

Nézzük meg az S függvény értékeit a hatványokon. Azt állítom, hogy az alábbi ismétlődő mintázat keletkezik.

S(11)=1,S(12)=1,...

S(21)=2,S(22)=4,S(23)=8,S(24)=7,S(25)=5,S(26)=1,S(27)=2,S(28)=4,...

S(31)=3,S(32)=9,S(33)=9,...

S(41)=4,S(42)=7,S(43)=1,S(44)=4,S(45)=7,S(46)=1,...

S(51)=5,S(52)=7,S(53)=8,S(54)=4,S(55)=2,S(56)=1,S(57)=5,S(58)=7,...

S(61)=6,S(62)=9,S(63)=9,...

S(71)=7,S(72)=4,S(73)=1,S(74)=7,S(75)=4,S(76)=1,...

S(81)=8,S(82)=1,S(83)=8,S(84)=1,...

S(91)=9,S(92)=9,...

S(101)=1,S(102)=1,...

...

Tehát azt állítom, hogy az 1-hatványokon felvett értékei S-nek ciklikusak, 1-periódussal; a 2-hatványokon felvett értékei S-nek ciklikusak, 6-os periódushosszal; stb. mind-mind periodikusak; sőt, a 10-hatványoktól kezdve az egész eddigi blokk megismétlődik és az ismétlődés folytatódik, tehát pl. S értékei a 11-hatványokon ugyanazok, mint S értékei a 2-hatványokon, stb.

Kérdés: helyes-e az állításom/megfigyelésem?

Mi a helyzet, ha 10-es helyett más számrendszert választok?

[653] Lóczi Lajos2004-12-21 15:05:43

Nem értem. Hogy van értve két tízes számrendszerbeli szám logikai művelettel való összekapcsolása?

Előzmény: [652] jonas, 2004-12-20 22:49:24
[652] jonas2004-12-20 22:49:24

Je! Nem tudom, eszrevetted-e, hogy ezen az oldalon, amit mutattal: http://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html van egy hiba.

Azt irja, hogy az  \binom mn paritasat az n XOR m kifejezesbol lehet kiszamolni, holott a helyes kifejezes n AND NOT m; pontosabban  \binom mn paratlan acsa, ha n AND NOT m\ne0.

Előzmény: [651] Lóczi Lajos, 2004-12-20 19:21:46
[651] Lóczi Lajos2004-12-20 19:21:46

Egy újabb összefüggést mutatnak a

http://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html

oldal (20)-(22) formulái.

Előzmény: [648] Csimby, 2004-12-16 22:01:15
[650] Lóczi Lajos2004-12-20 19:16:20

Egy másik összefüggés az

http://binomial.csuhayward.edu/Identities.html

oldal Catalog # : 3900015 -számú azonossága.

Előzmény: [648] Csimby, 2004-12-16 22:01:15
[649] Lóczi Lajos2004-12-20 18:44:46

Egy lehetséges összefüggésre példa:

http://binomial.csuhayward.edu/proofs/pf1200003.html

Előzmény: [648] Csimby, 2004-12-16 22:01:15
[648] Csimby2004-12-16 22:01:15

129.feladat

Keressünk összefüggést a Pascal háromszög és a Fibonacci sorozat között.

[647] Csimby2004-12-16 21:44:11

128. feladat

Egy 8×8-as sakktáblán 8 bástyát helyeztünk el úgy, hogy semelyik kettő sem üti egymást. Bizonyítsuk be, hogy páros sok bástya áll fekete mezőn. (Arany Dani döntő volt, a KöMaL-ban szerepel, de nem mindenkinek jár az újság)

[645] Lóczi Lajos2004-12-10 21:16:22

Nekem 45454 darab jött ki.

Előzmény: [644] Szabó Dániel, 2004-12-10 20:02:27
[644] Szabó Dániel2004-12-10 20:02:27

Matekszakkörön találkoztam a következő feladattal: hány olyan 1000000-nál kisebb természetes szám van, melynek a számjegyeinek összege páros, s a nála eggyel nagyobb szám számjegyeinek összege is páros. Leszámoltam Turbo Pascallal, az eredmény 45455. Tanárom szerint 45454. Melyikünknek van igaza?

[643] Lóczi Lajos2004-12-09 10:14:55

Gratulálok, nagyon szép, egyszerű megoldást találtál! LL

Előzmény: [642] Kemény Legény, 2004-12-08 20:43:54
[642] Kemény Legény2004-12-08 20:43:54

Ha valamelyik ismeretlen 1,akkor a többi is az,és ez megoldás. A 3 egyenlet logaritmusát összeszorozva kapjuk,hogy : xyzlog(x)log(y)log(z)=log(x)log(y)log(z),mivel egyik sem 1(ezt már feltehetjük) xyz=1.Ha nem mind 1: vagy van 2 db 1-nél kisebb vagy lesz 2 db 1-nél nagyobb.Ha pl x és y 1-nél nagyobb: z=x**y>1,azaz xyz>1*1*1=1,nem lehetséges.Ha x és y 1-nél kisebbek z=x**y<1 azaz xyz<1*1*1=1 nem lehetséges.Igy x=y=z=1 a megoldás. (A ** jelöli a hatványozást).

Előzmény: [631] Lóczi Lajos, 2004-11-26 01:04:46
[641] Csimby2004-12-08 18:39:12

A bal alsó sarokban szereplő számjegy a feltételek miatt nem szerepelhet megegyszer a szürkével jelölt négyzeteken. A skatulya-elv miatt rögtön látszik, hogy mindegyik számjegy pontosan 6-szor kell, hogy előforduljon. Tehát a fennmaradt fehér mezőkön összesen 5-ször kell elhelyezni azt a számjegyet ami a bal alsó sarokban szerepel. Ekkor a két egybevágó fehér rész közül az egyikben 3-szor kell, hogy szerepeljen ez a számjegy. Ez pedig már könnyen látszik, hogy nem lehetséges...

Előzmény: [639] rizs, 2004-12-08 14:28:16
[640] rizs2004-12-08 14:29:44

Van egy számológépünk, ami kicsit komolyabb, mint egy négyműveletes, tehát tud olyan műveleteket (az inverzeikkel együtt!), hogy gombnyomásra négyzet- és köbgyököt von, van rajta sinus, cosinus, tangens (mindezek hiperbolikus változatai is), 1/x, 10 és e alapú logaritmus, faktoriális. Egy cetlire fel van írva két különböző pozitív egész szám (többjegyű is lehet). Az elsőt még be tudjuk pötyögni a cetliről, de azután már az összes számjegy gombja (0-9) és a tizedesvessző, valamint a négy alapművelet gombja is elromlottnak tekintendő, még az = sem működik. Ezekhez nem szabad nyúlni. A feladat az, hogy csak a rendelkezésre álló matematikai funkciók gombjainak használatával elérjük, hogy a beírt szám helyett előbb-utóbb a cetlin lévő másik pozitív egész szám legyen a kijelzőn. Tehát olyan eljárást kell keresni, amelynek kiindulása az egyik pozitív egész szám, végeredménye pedig a másik, azok értékétől és különbségétől függetlenül. (A kiindulási szám akármennyivel kisebb, de nagyobb is lehet a másiknál.) A módszernek tehát olyannak kell lennie, hogy bármely két pozitív egész számra működjön.

[639] rizs2004-12-08 14:28:16

sziasztok!

szerintetek lehet rajzolni olyan 6*6-os bűvös négyzetet, amelynek mindegyik sorában, oszlopában és átlójában (átlóként értelmezünk minden átlót, tehát a sarok elemeket, az azok mellett elhelyezkedő 2 elemű átlót, stb.) az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok midegyike legfeljebb 1 alkalommal fordul elő. Természetesen ez azt jelenti, hogy a sorokban, az oszlopokban, és a főátlókban mindegyik szám pontosan egyszer szerepel.

[638] Csimby2004-12-07 22:07:15

Ha valakit érdekel, a "Bizonyítások a Könyből" című könyvben (Könyvajánló [27] és [28]) például 3 bizonyítást is adnak erre :

\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

Ebből:

\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k)^2}+\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^2}

\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k)^2}=\frac14(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...)=\frac14\zeta(2)

Tehát:

\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^2}=\frac34\zeta(2)=\frac34\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}

Megjegyzés:

A Riemann-féle \zeta(s) zéta függvényt s>1-re \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}-ként definiáljuk.

Előzmény: [636] Lóczi Lajos, 2004-12-03 17:44:57
[636] Lóczi Lajos2004-12-03 17:44:57

A pontos érték egyébként \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}-1\approx 0.233701.

Előzmény: [633] lorantfy, 2004-12-02 11:34:29
[635] Csimby2004-12-02 20:05:02

Teljesen igazad van, csak rohantam az OKTV-re és azt hittem, hogy majd ez megtördeli magának. Tiszta béna lett az egész lap, sorry.

Előzmény: [634] lorantfy, 2004-12-02 13:47:46

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]