Fórum: Trigonometria

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[55] PAL	2011-01-20 18:58:05
Szeretnék egy régi könyvben talált gyakorló példát megosztani veletek, illetve azokkal, akiknek van kedve kicsit gondolkozni rajta. Talán elsőre kicsit furcsa lehet, hogy miért ehhez a témakörhöz írom a következő feladatot, de legyetek türelemmel és nézzétek ezt el nekem, később ígérem, részletesen leírom, miért is írtam ide (feltéve, ha addig más valaki esetleg rá nem jön az okára - és persze, ha érdekel valakit ez a feladat egyáltalán, de azért remélem, igen...) Annyit elárulok előre, hogy bár első ránézésre kicsit nehéz észrevenni, de valójában ez a feladat kapcsolódik a nadorp által legutóbb leírt, szinuszos feladatra adott, – egyébként szerintem elég ügyes – bizonyításhoz. Nos tehát akkor, fel is adom, hátha van kedve valakinek megoldania, gyakorlásképpen (szerintem emelt szinteseknek jó kis tanító célzatú feladat lehet, és talán nem is okoz túl komoly problémát sem megbírkózni vele ;-)

Előzmény: [50] nadorp, 2010-10-18 15:27:57

[54] Róbert Gida	2010-10-20 00:17:42
Tényleg, sőt ez még simplify-al is megy, az eggyel korábbi verzióval néztem.
Előzmény: [53] sakkmath, 2010-10-19 23:30:02

[53] sakkmath	2010-10-19 23:30:02
A Maple 13.0 ezt adja:

Előzmény: [49] Róbert Gida, 2010-10-18 15:13:15

[52] Róbert Gida	2010-10-19 20:45:51
Mathematica 5.1 még nem tudta. Hanyas verzióval nézted?
Előzmény: [51] Lóczi Lajos, 2010-10-19 16:10:58

[51] Lóczi Lajos	2010-10-19 16:10:58
Ha beírod a szinuszos képletet a Mathematica-ba, a FullSimplify azonnal rávágja, hogy 32.
Előzmény: [49] Róbert Gida, 2010-10-18 15:13:15

[50] nadorp

2010-10-18 15:27:57

A sin 7x=0 egyenlet gyökei az $x=k\frac\pi7$ számok. Ezért a sin 7x=y jelöléssel (felhasználva sin 7x kifejtését) a

-64y⁷+112y⁵-56y³+7y=0 egyenlet gyökei:

$y=0,\pm\sin\frac\pi7,\pm\sin\frac{2\pi}7,\pm\sin\frac{3\pi}7$ , tehát

$-64y^7+112y^5-56y^3+7y=-64y\left(y^2-\sin^2\frac\pi7\right)\left(y^2-\sin^2\frac{2\pi}7\right)\left(y^2-\sin^2\frac{3\pi}7\right)$

Azaz az y²=z jelöléssel a

-64z³+112z²-56z+7=0 egyenlet gyökei: $\sin^2\frac\pi7,\sin^2\frac{2\pi}7,\sin^2\frac{3\pi}7$ , azaz a

7z³-56z²+112z-64=0 egyenlet gyökei: $\frac1{\sin^2\frac\pi7},\frac1{\sin^2\frac{2\pi}7},\frac1{\sin^2\frac{3\pi}7}$

Innen már az a⁴+b⁴+c⁴=(a²+b²+c²)²-2(a²b²+a²c²+b²c²) azonosság és a gyökök és együtthatók összefüggése alapján

$\frac1{\sin^4\frac\pi7}+\frac1{\sin^4\frac{2\pi}7}+\frac1{\sin^4\frac{3\pi}7}=\left(\frac{56}7\right)^2-2\left(\frac{112}7\right)=32$

Előzmény: [48] Agéla, 2010-10-18 00:20:10

[49] Róbert Gida	2010-10-18 15:13:15
Arra azért kíváncsi lennék, hogy mikor lesz képes a Mathematica vagy bármilyen más computeralgebra program ezt bebizonyítani.
Előzmény: [48] Agéla, 2010-10-18 00:20:10

[48] Agéla

2010-10-18 00:20:10

Üdv Mindenkinek!

Olyasvalaki segítségét szeretném kérni, aki trigonometriában elég jártas és válaszolni tud arra, hogy az alábbi kijelentés levezethető-e komplex-számok témakörének ismerete nélkül ?

[47] Kepler	2009-01-24 19:15:47
Szia! Köszönöm Valóban így már menni fog :) Még egyszer köszönöm
Előzmény: [46] Valezius, 2009-01-23 18:12:03

[46] Valezius	2009-01-23 18:12:03
cos(2x)=cos(x+x) képletből levezeted. cos(3x)=cos(2x+x) az előző után már ezt is le tudod vezetni.
Előzmény: [45] Kepler, 2009-01-23 17:54:58

[45] Kepler	2009-01-23 17:54:58
Sziasztok! Matematikai segítségre lenne szükségem :S! Kellene nekem a cos3x levezetése , mert azt tudom hogy mivel egyenlő.... csak a Házim hogy vezessem le :S (cos3x=4cosköbx- 3cosx) Kérnék szépen egy kis gyors segítséget.... Előre is köszönöm! Üdv: Kepler

[44] KK07

2008-11-09 18:20:50

Helló! Ha gondolod, szívesen segítek ( persze ha tudok) Mit nem értesz? Üdv: K. Kristóf.

(vagy ide ültetem anyukám és majd ő segít :P, mert ő neki már legalább papírja van a matekról)

Előzmény: [42] Zoya, 2008-11-08 20:14:20

[42] Zoya	2008-11-08 20:14:20
Szeretnék segítséget kérni!Utolsó éves gimis vagyok. Kinek megy jól a trigonometria,vektorok?

[41] HoA

2008-11-03 21:20:24

Például itt:

http://www.cliffsnotes.com/WileyCDA/CliffsReviewTopic/ProductSum-and-SumProduct-Identities.topicArticleId-11658,articleId-11616.html

De a mi időnkben a tankönyvben is benne volt, gondolom most is.

Előzmény: [40] w.andris, 2008-11-03 15:16:45

[40] w.andris

2008-11-03 15:16:45

Sziasztok,

Nem tudja valaki, honnan lehetne megtudni a trigonometrikus azonosságok közül az összegek szorzattá alakításának a bizonyítását?

Kösz, Andris

[39] Hajba Károly

2007-03-24 00:12:29

Ha még nem késő

A lap alsó fertályán megtalálod a szinuszt is.

Előzmény: [38] csocsi, 2007-03-13 17:34:12

[38] csocsi	2007-03-13 17:34:12
Sziasztok! Nekem lenne egy trigonometriához kapcsolódó kérdésem. A kérdés a következő: hogy próbálták elnevezni a nyelvújítás során a szinuszfüggvényt? Ezt a kérdést órán kaptuk, és már égen földön kerestem, de még egy névhez sem tudtam kötni a kérdést sajnos. Remélem tudtok segíteni!

[37] HoA	2006-12-15 23:42:38
Szélsőérték számítás nélküli bizonyítás arra, hogy a kifejezés (k) értéke hegyesszögű háromszögre $> 1 + \frac1{\sqrt2}$ , derékszögűt is megengedve pedig ez a minimum. Vizsgáljuk k változását, ha a háromszög két szögét számtani közepükkel helyettesítjük. Legyen $\beta$ $\ge$ $\alpha$ , $\beta$ + $\alpha$ =2 $\epsilon$ , $\beta$ - $\alpha$ =2 $\delta$ Mikor igaz ez az egyenlőtlenség? $\frac{sin(\epsilon-\delta)+sin(\epsilon+\delta)+sin(\gamma)}{cos(\epsilon-\delta)+cos(\epsilon+\delta)+cos(\gamma)} \le \frac{2sin(\epsilon)+sin(\gamma)}{2cos(\epsilon)+cos(\gamma)}$ $\frac{sin(\epsilon)cos(\delta)-cos(\epsilon)sin(\delta)+sin(\epsilon)cos(\delta)+cos(\epsilon)sin(\delta)+sin(\gamma)}{cos(\epsilon)cos(\delta)+sin(\epsilon)sin(\delta)+cos(\epsilon)cos(\delta)-sin(\epsilon)sin(\delta)+cos(\gamma)} \le \frac{2sin(\epsilon)+sin(\gamma)}{2cos(\epsilon)+cos(\gamma)}$ Egyszerűsítés után a kifejezés ilyen alakú: $\frac{cA+B}{cC+D} \le \frac{A+B}{C+D}$ , ahol c=cos( $\delta$ ),A=2*sin( $\epsilon$ ),B=sin( $\gamma$ ),C=2*cos( $\epsilon$ ),D=cos( $\gamma$ ) Átrendezve cAC +BC + cAD + BD <= cAC + cBC + AD + BD BC + cAD <= cBC + AD (1-c)(AD-BC) >= 0 Mivel c egy hegyesszög cosinusa, 0 < c < 1, az egyenlőtlenség AD - BC előjelétől függ. AD-BC=2sin( $\epsilon$ )cos( $\gamma$ )-2*cos( $\epsilon$ )sin( $\gamma$ )=2*sin( $\epsilon$ - $\gamma$ ) Hegyesszögekről lévén szó egyenlőtlenségünk irányát $\epsilon$ és $\gamma$ nagyságviszonya szabja meg. Ha gamma a legnagyobb szög, alfát és bétát átlagukkal helyettesítve a k kifejezés csökken. Ezt az esetet illusztrálja Bohner Géza ábrája: Az OS egyenes meredeksége akkor a legkisebb, ha F E-től legtávolabbi és így S G-től legtávolabbi helyzetébe kerül, vagyis mikor alfa = beta . Ha gamma a legkisebb szög, alfát és bétát átlagukkal helyettesítve a k kifejezés nő, alfa és béta különbségét növelve k csökken. Ezt mutatja az itteni ábra. Ha háromszögünk legfeljebb derékszögű lehet, F az egységkörtől nem juthat E-ig csak E'-ig, így S is csak G'-ig juthat G helyett. K legkisebb értékét az OG' egyenes meredeksége adja. Legyen egy tetszőleges H₀ hegyesszögű háromszögre k értéke k₀ . Legyen $\gamma$ $\le$ $\beta$ $\le$ $\alpha$ . Ekkor $\gamma$ -t rögzítve $\alpha$ -t 90^o-ra növelve az új H₁ háromszögre k=k₁<k₀ . Betűzzük át H₁ szögeit, úgy hogy $\alpha$ $\le$ $\beta$ < $\gamma$ =90^o legyen. Most $\gamma$ -t rögzítve (90^o ) $\alpha$ = $\beta$ =45^o adja a legkisebb k értéket jelentő H₂ háromszöget, melyre $k = k_2 = 1 + \frac1{\sqrt2} \le k_1 < k_0$ . Mivel H₀ tetszőleges hegyesszögű háromszög volt, a bizonyítást befejeztük.

Előzmény: [32] Ali, 2006-10-05 14:16:48

[36] S.Ákos	2006-10-18 19:55:07
Köszi
Előzmény: [35] jonas, 2006-10-17 19:00:05

[35] jonas	2006-10-17 19:00:05
Ha ilyesmit keresel, nekem a Csebisev polinomok az egyik kedvenc témám. Magyarul a Pólya György--Szegő Gábor feladatgyüjteményben olvashatsz róluk bővebben.
Előzmény: [34] S.Ákos, 2006-10-17 18:52:22

[34] S.Ákos

2006-10-17 18:52:22

szerintem eléggé lejártaom magam ezzel, de én még nem találkoztam olyan képlettel, amely megadta volna

sin $\lambda$ $\alpha$ ,cos $\lambda$ $\alpha$ ,tg $\lambda$ $\alpha$ ,ctg $\lambda$ $\alpha$ értékét. $\lambda$ -n egy adott konstanst értek

[33] BohnerGéza	2006-10-05 18:59:05
Az Euklides-szel való játszadozás alapján biztosra vehető, máshogy még nem néztem.
Előzmény: [32] Ali, 2006-10-05 14:16:48

[32] Ali	2006-10-05 14:16:48
És az igaz-e, hogy hegyesszőgű háromszögre a kérdéses kifejezés értéke nagyobb, mint $1+1/\sqrt2$ ?
Előzmény: [31] BohnerGéza, 2006-10-05 09:13:31

[31] BohnerGéza	2006-10-05 09:13:31
A 6. hozzászolás feladatának megoldása: . .

Előzmény: [6] epsilon, 2006-09-22 05:54:52

[30] epsilon	2006-10-01 13:23:36
Hát igen, újra átolvasva a megoldásodat, az ottani jelölésrendszerrel is már látszott, és nem vettem észre :-( Kösz az ismételt magyarázatot!

[1] [2] [3] [4] [5]

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?