Fórum: Trigonometria

Talán segítene, hogy miért pont ezzel a kifejezéssel foglalkozol. Ha tudom ennek okát, akkor ez is sokat segíthet.

Tegnap este 10kor kicsit álmoska voltam.... mindegy, leírtam, hogy mire gondolok, hátha ezzel is segítek. Szerintem nem tudsz szabadulni az "arc cos"-tól. Mostanában néztem a szabályos 7szög, 13szög, 19szög szerkesztését, ott is pont ilyen jellegű kifejezések vannak. Van a \(\displaystyle cos(\alpha)=4*cos^3(\alpha/3)-3*cos(\alpha/3)\) azonosság, hát ha ezt használom, akkor is kell harmadfokú egyenlet.

Annyiban egyébként jó a gondolat, hogy nyilván a látható harmadfokú egyenlet megoldása a keresett irracionális szám (segítségével felírt összefüggés), de hát amilyet keresünk konkrétan számok, olyanok anno a mi "Sárga Keményfedelesünkben (Matematikai Feladatgyűjtemény I., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 11. kiadás)" nem is a komplexeknél szerepeltek( II/9. fejezet 89-94 o.), hanem az Irracionális Számok fejezetében (II/7 fejezet 82-86 o.), így értettem, hogy tisztán "régi szakközepes" keretek között maradunk, a valósokon belül... ;)

Bocsánat, de ebből következtethetünk akkor valamire, hogy "Tehát itt is hasonló harmadfokú egyenletet kellene megoldani.", vagy már látható ebből a megoldás, csak lehet, hogy én még nem vettem észre?

Rajzoljunk egy olyan derékszögű háromszöget, amelynek egyik hegyesszöge x, az x-szel szemközti befogó gyök3, a másik befogó 37. Ilyenkor az átfogó 14*(gyök7). Kiemelve, majd az egyik addíciós tételt alkalmazva, azt kaptam, hogy -4*(gyök7)*sin((pi/6)+(x/3)).

sin(pi/2+x)=cosx=3*(sinA)-4*(sinA)*(sinA)*(sinA)=37/((gyök7)*14), ahol A=(pi/6)+(x/3)

Használtam a sin3B=3*(sinB)-4*(sinB)*(sinB)*(sinB) összefüggést is. Tehát itt is hasonló harmadfokú egyenletet kellene megoldani.

Bocsánatot kérek, lemaradt egy negatív előjel az enyimről, a tied van rendben, nem Te írtad el, hanem én. Még egyszer elnézést, valóban a második gyököd felel meg a kérdezettnek, de attól még az a kérdésem szempontjából tényleg kitérő, nem az elvárt válasz.

...és ha jól látom elírtad, és egyébként is a harmadik(legalsó) gyököd esik egybe az általam kérttel, de ez a kérdésem szempontjából most teljesen irreleváns ...viszont további szigorításként megemlítem akkor már, hogy olyan alakot tekintek egyszerűbbnek, ami a komplex számokat sem vezeti be, tehát úgy rövid, hogy közben valósokon belül marad(...nem Euler, meg ilyesmi, tisztán "szakközepes" forma, csak szebb, tömörebb, kompaktabb... ;-) Szép estét Mindenkinek!

Nem szeretnék butaságot kérdezni, de abban, amit megadtál, hol van kiküszöbölve az arcus, ami a kitűzésben szerepelt feltételként?

Ezt a megoldást, amit leírtál, megadja az összes megoldóképlet, kb.

A feladatot kérlek olvasd el...

Ez a szám gyöke az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenletnek. Az egyenlet gyökei:

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37}))\)

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37})+\frac{2\pi}{3})\)

\(\displaystyle 4*\sqrt7*cos(\frac{1}{3}*arctg(\frac{\sqrt3}{37})-\frac{2\pi}{3})\)

A második gyök az általad megadott szám.

(Amelyik hozzászólásomra válaszolok, azon a képen anno vétettem egy hibát, ha jól látom, a szumma alsó határa hibásan 1-től indul, de ahhoz, hogy az alsó azonosságom érvényes legyen, a szummázást 0-tól kell kezdeni, különben a konstans tag hiányozna... hát... ahogy az ember öregszik, a fiatalabb kori tévedéseire is jobban rálát... de most nem humorizálni jöttem, hanem... ;) )

Volna itt egy - remélhetőleg a korábbiaknál jóval egyszerűbb - felvetésem, hátha tud valaki segíteni, előre is köszönöm mindenkinek! :)

Nos, az elejére fölírtam a megoldást, bár pont a sin (nx) kifejtésével kapcsolatos részre még nem.

Igaz, igaz, Jonas, de mintha annál - az általad kitűzött feladatnál - is csak a feladatot látnám - vagyis mint ahogy magad is írod - az a változat túl gonosznak tűnik ahhoz, hogy megoldások is érkezzenek hozzá (nem is sok próbálkozást találtam a Csebisev-polinomos feladatodra a hivatkozáson az Érdekes feladatok között, persze lehet hogy én nem néztem át elég alaposan az utána érkező válaszokat). Lényegében én meg nem szeretem elvenni a gondolkodók kedvét, ezért egy kicsit egyszerűbben igyekeztem tálalni valami hasonló témába vágót, amolyan kedv csináló gyanánt...

De persze, ha az enyimre sem nem jön válasz, mondjuk max 1-2 héten belül, én hamarosan mindenképp mellékelek egy megoldást is, csak a teljesség kedvéért (mert sosem szerettem, ha egy jó feladat megoldás nélkül marad, hiszen abból nehéz tanulni...) .

De köszönöm hogy rámutattál.

A sin (nx) kifejtéséről épp most volt szó: Érdekes matekfeladatok [3368].

Szóval végülis ezzel az egész dologgal éppen azt szerettem volna elérni, hogy kerüljön ide az általad felhasznált kifejtés általánosított bizonyítása is, azaz feltételezve az ismert 1. összefüggést, mutassuk meg, hogy következik belőle a második (vagyis az eredeti sorozatos feladatomban [a(2n+1)] helyett már sin(2n+1)x szerepel, és 2c legyen 2cosx)!

igen, köszönöm nadorp, pont ez lett volna következő kérdésem Róbert Gidához, hogy még azt is érdemes megnézni mi a helyzet, ha -1 <= c <= +1, vagyis hogyan alakul át az [a(n)] képlete, ha még ezzel is szigorítjuk a konstans értékét, de egyelőre én mellőztem a trigonometrikus azonosságok belekeverését, mivel így kicsit egyszerűbbnek tűnik a feladat. Egyébként éppen a sin(nx) azonosság kifejtése ( http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html ) miatt írtam ide, mert így a sorozat vizsgálatával elindulva, és az általad adott feladat megoldás vázlatát követve, egyszerű elemi úton bizonyítható például a Bázeli probléma is (vagy másképpen Riemann-Zeta fgv. a 2 helyen), és ezért írtam korábban azt, hogy a feladat tanító célzatú.

(A Bázeli-probléma elemi bizonyítása egyébként - nagy sajnálatomra - hiányzik a magyar Wikipedia-ról, megtalálható viszont az angol változaton, és ott az Urban János Határérték-számítás c. könyvében leírt módon igazolják, ettől azonban szerintem egyszerűbb változatot kapunk sin(nx) kifejtésével: http://en.wikipedia.org/wiki/Basel problem#The proof )

Bocs

x_n+1=ax_n+bx_n-1

Nem látom az összefüggést a rekurzió és a sin nx ( pontosabban sin7x) kifejtésében, csak ha |c|<1. Ekkor Róbert Gida megoldása egy kicsit átalakul, mert komplex esetben az általános megoldás A sin nq + B cos nq alakú,ahol q a x²-2cx+1=0 egyenlet komplex gyökének az argumentuma. Egyébként van általános forma az

x_n+1=axn_n+bx_n-1 alakú rekurzióra, érdemes utánanézned. Hasonló a konstans együtthatós másodrendű homogén differenciálegyenlet megoldásához, azaz keressünk megoldást qⁿ alakban. Innen már elég felhasználni, hogy bármely két megoldás lineáris kombinációja is megoldás, és a konstansokat az első két tag egyértelműen meghatározza.

Hát ez semmi valami bonyolult:

Valóban elírás történt, sajnos azt hiszem lemaradt egy fontos apróság.

Mégegyszer elnézért kérek, de persze megfogadom a tanácsod is, köszönöm!

A javítás tehát így szól:

a_n=n, mi ebben a bonyolult? Szerintem olvassál komolyabb könyveket!

Szeretnék egy régi könyvben talált gyakorló példát megosztani veletek, illetve azokkal, akiknek van kedve kicsit gondolkozni rajta. Talán elsőre kicsit furcsa lehet, hogy miért ehhez a témakörhöz írom a következő feladatot, de legyetek türelemmel és nézzétek ezt el nekem, később ígérem, részletesen leírom, miért is írtam ide (feltéve, ha addig más valaki esetleg rá nem jön az okára - és persze, ha érdekel valakit ez a feladat egyáltalán, de azért remélem, igen...) Annyit elárulok előre, hogy bár első ránézésre kicsit nehéz észrevenni, de valójában ez a feladat kapcsolódik a nadorp által legutóbb leírt, szinuszos feladatra adott, – egyébként szerintem elég ügyes – bizonyításhoz. Nos tehát akkor, fel is adom, hátha van kedve valakinek megoldania, gyakorlásképpen (szerintem emelt szinteseknek jó kis tanító célzatú feladat lehet, és talán nem is okoz túl komoly problémát sem megbírkózni vele ;-)

Tényleg, sőt ez még simplify-al is megy, az eggyel korábbi verzióval néztem.

A Maple 13.0 ezt adja:

Mathematica 5.1 még nem tudta. Hanyas verzióval nézted?

Ha beírod a szinuszos képletet a Mathematica-ba, a FullSimplify azonnal rávágja, hogy 32.